《代數(shù)基本概念》是沙法列維奇的經(jīng)典名著之一，目的是對(duì)代數(shù)學(xué)、它的基本概念和主要分支提供一個(gè)一般性的全面概述，論述代數(shù)學(xué)及其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中的地位。
《代數(shù)基本概念》高度原創(chuàng)且內(nèi)容充實(shí)，涵蓋了代數(shù)中所有重要的基本概念，不只是域、群、環(huán)、模，而且包括群表示、lie群與lie代數(shù)、上同調(diào)、范疇論等。它不是按照代數(shù)教科書(shū)的傳統(tǒng)模式寫(xiě)的，而是反映了作者的強(qiáng)烈觀點(diǎn)：“用基本例子的一批樣本，它會(huì)表達(dá)得更好。這給數(shù)學(xué)家提供了動(dòng)機(jī)和實(shí)質(zhì)性的定義，同時(shí)給出這個(gè)概念的真實(shí)意義�！�
書(shū)中共有精心挑選的164個(gè)例子和45幅圖，給讀者提供了物理背景和直覺(jué)，通過(guò)它們能夠?qū)Τ橄蟮母拍町a(chǎn)生更深的印象。相對(duì)而言，書(shū)中只有6個(gè)引理和104個(gè)定理，而且這些定理往往不加證明，只給出證明思路，這將大大刺激讀者的思考，激發(fā)更大的興趣。
《代數(shù)基本概念》起點(diǎn)并不高，大學(xué)數(shù)學(xué)系二、三年級(jí)的學(xué)生能夠讀懂大部分內(nèi)容。本書(shū)文前附季理真撰寫(xiě)的有關(guān)本書(shū)作者和本書(shū)內(nèi)容的精彩介紹。讀者對(duì)象是大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生、數(shù)學(xué)專業(yè)任何方向的研究生、教師和研究工作者，包括已經(jīng)成名的數(shù)學(xué)家。理論物理學(xué)家和其他自然科學(xué)領(lǐng)域的專家也會(huì)對(duì)本書(shū)有興趣。
作者簡(jiǎn)介：
i.r. 沙法列維奇(igor r. shafarevich)，著名代數(shù)學(xué)家。1923年6月3日生于烏克蘭日托米爾 (zhytomyr)，羅蒙諾索夫國(guó)立莫斯科大學(xué)教授。早年在斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所獲得博士學(xué)位（師從boris delone）。對(duì)代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和算術(shù)代數(shù)幾何有基本的重要貢獻(xiàn)。工作包括shafarevich-weil定理，golod-shafarevich定理、tate-shafarevich群、 grothendieck-ogg-shafarevich公式、néron-ogg-shafarevich 準(zhǔn)則、有限可解群是有理數(shù)域上的galois群的證明、關(guān)于代數(shù)曲面的研究等。1959年獲得列寧獎(jiǎng)?wù)�。蘇聯(lián)（俄羅斯）科學(xué)院通訊院士和美國(guó)科學(xué)院外籍院士。
李福安，1944年1月生，浙江杭州人。1966年7月畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，1978年考取中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所代數(shù)專業(yè)研究生（師從萬(wàn)哲先院士），1981年12月獲理學(xué)碩士學(xué)位，1986年3月獲理學(xué)博士學(xué)位。從1981年12月起在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）工作，1993年11月晉升為研究員。任algebra colloquium副主編。
目錄：
《代數(shù)基本概念》
《數(shù)學(xué)概覽》序言
中文版前言
前言
第1節(jié) 什么是代數(shù)？
坐標(biāo)化的思想。例子：量子力學(xué)詞匯表，關(guān)聯(lián)公理和平行性的有限模型的坐標(biāo)化。
第2節(jié) 域
域的公理，同構(gòu)。獨(dú)立變量的有理函數(shù)域；平面代數(shù)曲線的函數(shù)域。laurent級(jí)數(shù)域和形式 laurent 級(jí)數(shù)域。
第3節(jié) 交換環(huán)
環(huán)的公理；零因子和整環(huán)。分式域。多項(xiàng)式環(huán)。平面代數(shù)曲線上的多項(xiàng)式函數(shù)環(huán)。冪級(jí)數(shù)環(huán)與形式冪級(jí)數(shù)環(huán)。boole環(huán)。環(huán)的直和。連續(xù)函數(shù)環(huán)。因子分解；唯一因子分解整環(huán)（ufd）ufd的例子。
第4節(jié) 同態(tài)和理想
同態(tài)，理想，商環(huán)。同態(tài)定理。函數(shù)環(huán)中的限制同態(tài)。主理想整環(huán)；與ufd的關(guān)系。理想的積。域的特征。給定多項(xiàng)式有根的擴(kuò)張。代數(shù)閉域。有限域。用極大理想和素理想上的函數(shù)表示一般環(huán)的元素。作為函數(shù)的整數(shù)。超積與非標(biāo)準(zhǔn)分析。交換的微分算子。
第5節(jié) 模
直和與自由模。張量積。模的張量?jī)�、�?duì)稱冪和外冪，對(duì)偶模。等價(jià)的理想和模的同構(gòu)。微分形式模和向量場(chǎng)。向量空間族與模族。
第6節(jié) 從代數(shù)角度看維數(shù)
模的秩。有限型模。主理想整環(huán)上的有限型模。noether 模和noether環(huán)。noether環(huán)和有限型環(huán)。分次環(huán)的情形。擴(kuò)張的超越次數(shù)。有限擴(kuò)張。
第7節(jié) 無(wú)窮小概念的代數(shù)觀點(diǎn)模2階無(wú)窮小的函數(shù)和流形的切空間。奇點(diǎn)。向量場(chǎng)與1階微分算子。高階無(wú)窮小。射流和微分算子。環(huán)的完備化，p進(jìn)數(shù)。賦范域。有理數(shù)域和有理函數(shù)域的賦值。數(shù)論中的p進(jìn)數(shù)域。
第8節(jié) 非交換環(huán)
基本定義。環(huán)上的代數(shù)。模的自同態(tài)環(huán)。群代數(shù)。四元數(shù)與可除代數(shù)。扭曲子纖維化�？沙鷶�(shù)上n維向量空間的自同態(tài)。張量代數(shù)和非交換多項(xiàng)式環(huán)。外代數(shù)；超代數(shù)；cli?ord代數(shù)。單環(huán)和單代數(shù)。可除代數(shù)上向量空間自同態(tài)環(huán)的左理想和右理想。
第9節(jié) 非交換環(huán)上的模
.模和表示。代數(shù)用矩陣形式的表示。單模，合成列，jordan-holder定理。環(huán)或模的長(zhǎng)度。模的自同態(tài)環(huán)。schur引理。
第10節(jié) 半單模和半單環(huán)
半單性。群代數(shù)是半單的。半單環(huán)上的模。有限長(zhǎng)度的半單環(huán)；wedderburn定理。有限長(zhǎng)度的單環(huán)與射影幾何基本定理。因式和連續(xù)幾何。代數(shù)閉域上有限秩的半單代數(shù)。對(duì)有限群表示的應(yīng)用。
第11節(jié) 有限秩的可除代數(shù)
r或有限域上的有限秩可除代數(shù)。tsen定理和擬代數(shù)閉域。p進(jìn)數(shù)域和有理域上有限秩的中心可除代數(shù)。
第12節(jié) 群的概念
變換群，對(duì)稱，自同構(gòu)。動(dòng)力系統(tǒng)的對(duì)稱和守恒律。物理定律的對(duì)稱。群，正則作用。子群，正規(guī)子群，商群。元素的階。理想類群。模的擴(kuò)張的群。brauer 群。兩個(gè)群的直積。
第13節(jié) 群的例子：有限群
對(duì)稱群和交錯(cuò)群。正多邊形和正多面體的對(duì)稱群。格的對(duì)稱群。晶體的類。由反射生成的有限群。
第14節(jié) 群的例子：無(wú)限離散群
離散變換群。晶體群。lobachevsky平面的離散運(yùn)動(dòng)群。模群。自由群。由生成元和關(guān)系確定的群。邏輯問(wèn)題�；救�。紐結(jié)群。辮群。
第15節(jié) 群的例子：lie 群和代數(shù)群
lie群。環(huán)面。在liouville定理中的作用。
a 緊致lie群
典型的緊致群以及它們之間的一些關(guān)系。
b 復(fù)解析lie群
典型的復(fù)lie群。其他一些lie群。lorentz群。
c 代數(shù)群
代數(shù)群，ad`ele群。tamagawa數(shù)。
第16節(jié) 群論的一般結(jié)果
直積。wedderburn-remak-shmidt 定理。合成列，jordan-h¨older
定理。單群，可解群。單緊致 lie 群。單復(fù) lie 群。有限單群，分類。
第17節(jié) 群表示
a 有限群的表示
表示，正交關(guān)系。
b 緊致lie群的表示
緊致群的表示。在群上積分。helmholtz-lie 理論。緊致 abel 群的特征標(biāo)和 fourier 級(jí)數(shù)。4維riemann幾何中的weyl和ricci 張量。su(2)和so(3)的表示。zeeman 效應(yīng)。
c 典型復(fù) lie 群的表示
非緊致lie群的表示。有限維典型復(fù)lie群表示的完全不可約性。
第18節(jié) 群的一些應(yīng)用
a galois 理論
galois理論。根式解方程。
b 線性微分方程的galois理論(picard-vessiot 理論)
c 非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群。
d 不變式理論
不變式理論的第一基本定理。
e 群表示和基本粒子的分類
第19節(jié) lie 代數(shù)和非結(jié)合代數(shù)
a lie 代數(shù)
poisson括號(hào)作為lie代數(shù)的例子。lie環(huán)和lie代數(shù)。
b lie 理論
lie群的lie代數(shù)。
c lie 代數(shù)的應(yīng)用
lie 群與剛體運(yùn)動(dòng)。
d 其他非結(jié)合代數(shù)
cayley 數(shù)。8 維空間的 6 維子流形上的殆復(fù)結(jié)構(gòu)。非結(jié)合的實(shí)可除代數(shù)。
第20節(jié) 范疇
圖和范疇。泛映射問(wèn)題。函子。拓?fù)渲邪l(fā)生的函子：圈空間，雙角錐。范疇中的群對(duì)象。同倫群。
第21節(jié) 同調(diào)代數(shù)。
a 同調(diào)代數(shù)概念的拓?fù)淦鹪?br/> 復(fù)形及其同調(diào)。多面體的同調(diào)和上同調(diào)。不動(dòng)點(diǎn)定理。微分形式和 de rham 上同調(diào)；de rham 定理。長(zhǎng)正合上同調(diào)序列。
b 模和群的上同調(diào)
模的上同調(diào)。群上同調(diào)。離散群上同調(diào)的拓?fù)湟饬x。
c 層上同調(diào)
層；層上同調(diào)。有限性定理。riemann-roch 定理。
第22節(jié) k-理論
a 拓?fù)?k-理論
向量叢和函子 vec(x)。周期性和函子 kn(x)。k1(x) 和無(wú)限維線性群。橢圓微分算子的符號(hào)。指標(biāo)定理。
b 代數(shù) k-理論
投射模類的群。環(huán)的 k0，k1 和 kn，域的 k2 及其與 brauer群的關(guān)系。k-理論和算術(shù)。
關(guān)于文獻(xiàn)的注釋
參考文獻(xiàn)
人名索引
主題索引
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