《數(shù)學(xué)與猜想》是著名數(shù)學(xué)家G. 波利亞撰寫的一部經(jīng)典名著，書中討論的是自然科學(xué)、特別是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中與嚴(yán)密的論證推理完全不同的一種推理方法——合情推理（即猜想）。這部著作通過許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀點(diǎn)：不但要學(xué)習(xí)論證推理，也要學(xué)習(xí)合情推理，以豐富人們的科學(xué)思想，提高辯證思維能力，書中的例子不僅涉及數(shù)學(xué)各學(xué)科，也涉及到物理學(xué)，全書內(nèi)容豐富，談古論今，敘述生動(dòng)，能使人看到數(shù)學(xué)中真正的奧妙。
全書共分兩卷，第一卷為數(shù)學(xué)中的歸納和類比，第二卷為合情推理模式。第一卷主要講述數(shù)學(xué)中各種合情推理的實(shí)例。
目錄：
第一卷
譯者的話
序言
對讀者的提示
第一章 歸納方法
引言
1.經(jīng)驗(yàn)和信念
2.啟發(fā)性聯(lián)想
3.支持性聯(lián)想
4.歸納的態(tài)度
第一章的例題和注釋, l~~14.[12.是與非.13.經(jīng)驗(yàn)與行為.14.邏輯學(xué)家. 數(shù)學(xué)家. 物理學(xué)家和工程師.]
第二章 一般化. 特殊化. 類比
1.一般化. 特殊化. 類比和歸納
2.一般化
3.特殊化
4.類比
5.一般化. 特殊化和類比
6.由類比作出的發(fā)現(xiàn)
7.類比和歸納
第二章的例題和注釋, 1~~46, [第一部分, 1~~20, 第二部分,21~~46].[1.正確的推廣.5.一個(gè)極端的特殊情形.7.起主導(dǎo)作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可類比的情形.18.偉大的類比.19.明確的類比.20.幾位數(shù)學(xué)家的名句摘錄.21.猜想E.44.對猜想的一個(gè)疑問和證明的第一步嘗試.45.證明的第二步嘗試.46.類比的危險(xiǎn).]
第三章 立體幾何中的歸納推理
1.多面體
2.支持猜想的第一批事實(shí)
3.支持猜想的更多事實(shí)
4.一次嚴(yán)格的檢驗(yàn)
5.驗(yàn)證再驗(yàn)證
6.一種很不同的情形
7.類比
8.空間的分割
9.修改一下問題的提法
10.一般化. 特殊化. 類比
11.一個(gè)類似的問題
12.類似問題的一張表格
13.解決一大批問題有時(shí)比解決單獨(dú)一個(gè)問題更容易
14.一個(gè)猜想
15.預(yù)言與證明
16.再來一次, 使它更好
17.歸納法引向演繹法, 特例引向一般證明
18.更多的猜想
第三章的例題和注釋, l~~41.[21.歸納過程:思想的適應(yīng), 語言的適應(yīng).31.笛卡兒對多面體的研究工作.36.立體補(bǔ)角,互補(bǔ)球面多邊形.]
第四章 數(shù)論中的歸納方法
1.邊長為整數(shù)的直角三角形
2.平方和
3.關(guān)于四奇數(shù)平方和問題
4.考察一個(gè)例子
5, 把觀察結(jié)果列成表
6.有什么規(guī)則
7.關(guān)于歸納發(fā)現(xiàn)未知事物的性質(zhì)
8.關(guān)于歸納證據(jù)的性質(zhì)
第四章的例題和注釋,1~~26.[1.符號表示法.26.歸納法的危險(xiǎn).]
第五章 歸納法雜例
l.函數(shù)的展開式
2.近似式
3.極限
4.設(shè)法推翻它
5.設(shè)法證明它
6.歸納階段的作用
第五章的例題和注釋, 1~~18.[15.解釋觀察到的規(guī)律性.16.把觀察到的事實(shí)進(jìn)行分類.18.差別是什么 ]
第六章 更一般性的陳述
1.歐拉
2.歐拉的研究報(bào)告
3.從實(shí)踐到抽象的一般觀點(diǎn)
4.歐拉研究報(bào)告的概述
第六章的例題和注釋,l~~25.[1.母函數(shù).7.平面幾何的一個(gè)組合問題.10.平方和.19.另一個(gè)遞推公式.20.整數(shù)因子和的另一個(gè)奇特規(guī)律.24.歐拉怎樣遺漏一個(gè)發(fā)現(xiàn).25.歐拉定理關(guān)于σn 的一種推廣.]
第七章 數(shù)學(xué)歸納法
1.歸納階段
2.論證階段
3.研究的飛躍
4.數(shù)學(xué)歸納法的技巧
第七章的例題和注釋, l~~18.[12.多證可能反而更省事.14.權(quán)衡你的定理.15.展望.17.任何n個(gè)數(shù)都相等嗎 ]
第八章 極大和極小
1.模式
2.例子
3.相切的等高線模式
4.兩個(gè)例子
5.局部變動(dòng)的模式
6.算術(shù)平均與幾何平均的定理及其初步推論
第八章的例題和注釋, 1~~63, [ 第一部分, 1~~32, 第二部分,33~~63].[1.平面幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平面上的等高線.4.空間中的等值面.11.穿過尊等高線的原則.22.局部變動(dòng)原則.23.極值的存在性.24.局部變動(dòng)模式的一個(gè)變形:無限過程.25.局部變動(dòng)模式的另一個(gè)變形:有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多面體.面積和周長.體積和表面.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圓柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正對頂棱錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂棱錐.43.幾何應(yīng)用于代數(shù).45.代數(shù)應(yīng)用于幾何.51.具有正方形底的正棱錐.52.正圓錐.53.一般的正棱錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]
第九章 物理數(shù)學(xué)
1.光學(xué)解釋
2.力學(xué)解釋
3.反復(fù)解釋
4.吉恩·伯努利關(guān)于捷線的發(fā)現(xiàn)
5.阿基米德關(guān)于積分法的發(fā)現(xiàn)
第九章的例題和注釋,1~~38.[3.內(nèi)接于已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點(diǎn)交通中心.10.平面上四點(diǎn)交通中心.11.四點(diǎn)交通網(wǎng).12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多面體表面上的最短線.24.曲面上的最短線(測地線).26.折紙法的一個(gè)設(shè)計(jì).27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那么深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截面平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的回顧.]
第十章 等周問題
1.笛卡兒的歸納理由
2.潛在的理由
3.物理原因
4.瑞利的歸納理由
5.導(dǎo)出結(jié)論
6.證明結(jié)論
7.非常密切的關(guān)系
8.等周定理的三種形式
9.應(yīng)用與問題
第十章的例題和注釋, 1~~43, [第一部分, 1~~15, 第二部分,16~~43].[1.回顧.2.你能用不同的方法推出某些部分的結(jié)果嗎 3.比較詳細(xì)地重新敘述.7.你能將此方法用于其他某些問題嗎 8.等周定理的更清晰的形式.16.桿和繩.21.兩根桿和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平面區(qū)域的等分錢.34.封閉曲面的等分線.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由]
第十一章 更多種類的合情推理
1.猜一猜
2.根據(jù)有關(guān)情形判定
3.根據(jù)一般情形判定
4.提出一個(gè)比較簡單的猜想
5.背景
6.無窮盡的過程
7.常用的啟發(fā)性假設(shè)
第十一章的例題和注釋,1~~23.[16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啟發(fā)性假設(shè).21.樂觀的報(bào)酬.23.數(shù)值計(jì)算與工程師.]
后紀(jì)
問題的解答
參考文獻(xiàn)~
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