本書(shū)以初等函數(shù)為重點(diǎn)，介紹了微積分相關(guān)的內(nèi)容，包括微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、傅里葉展開(kāi)和勒貝格積分等9章內(nèi)容. 作者采用講義式的敘述方式，把數(shù)學(xué)看成有生命的東西，讓讀者有一種別樣的新鮮感.
本書(shū)是一本經(jīng)典的微積分教材，原版被日本各大學(xué)普遍采用，適合數(shù)學(xué)專業(yè)及其他各理工科專業(yè)高年級(jí)本科生和低年級(jí)研究生用作教材或參考書(shū).
作者簡(jiǎn)介
日本數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為日本現(xiàn)代數(shù)學(xué)第一人。他于1903年獲理學(xué)博士學(xué)位，次年任東京帝國(guó)大學(xué)教授。1920年，他完全解決了虛二次數(shù)域上的克羅內(nèi)克猜想， 使得類域論取得巨大突破。他于1925年當(dāng)選為帝國(guó)學(xué)士院會(huì)員（在日本這是最高的終生榮譽(yù)學(xué)銜），于1932年當(dāng)選為國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)主席及第一屆費(fèi)爾茲獎(jiǎng) 評(píng)委會(huì)成員，于1940年獲得日本最高科學(xué)榮譽(yù)文化勛章。除本書(shū)外，他還著有多本大學(xué)教材、專著、中小學(xué)教科書(shū)及各種普及讀物。
目錄：
第1 章 基本概念 1
1 數(shù)的概念 1
2 數(shù)的連續(xù)性 2
3 數(shù)的集合 上確界 下確界 3
4 數(shù)列的極限 5
5 區(qū)間套法 9
6 收斂條件與柯西判別法 11
7 聚點(diǎn) 13
8 函數(shù) 16
9 關(guān)于連續(xù)變量的極限 20
10 連續(xù)函數(shù) 23
11 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 26
12 區(qū)域 邊界 28
習(xí)題 32
第2 章 微分 34
13 微分與導(dǎo)函數(shù) 34
14 微分法則 36
15 復(fù)合函數(shù)的微分 38
16 反函數(shù)的微分法則 41
17 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 45
18 導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì) 47
19 高階微分法則 51
20 凸函數(shù) 52
21 偏微分 53
22 可微性與全微分 55
23 微分的順序 56
24 高階全微分 59
25 泰勒公式 61
26 極大極小 67
27 切線和曲率 74
習(xí)題 85
第3 章 積分 88
28 古代求積方法 88
29 微分發(fā)明之后的求積方法 90
30 定積分 93
31 定積分的性質(zhì) 99
32 積分函數(shù), 原函數(shù) 102
33 積分定義擴(kuò)展(廣義積分) 106
34 積分變量的變換 114
35 乘積的積分(分部積分或分式積分) 116
36 勒讓德球函數(shù) 123
37 不定積分計(jì)算 126
38 定積分的近似計(jì)算 130
39 有界變差函數(shù) 133
40 曲線的長(zhǎng)度 136
41 線積分 141
習(xí)題 144
第4 章 無(wú)窮級(jí)數(shù)與一致收斂 148
42 無(wú)窮級(jí)數(shù) 148
43 絕對(duì)收斂和條件收斂 149
44 絕對(duì)收斂的判別法 153
45 條件收斂的判別法 157
46 一致收斂 159
47 無(wú)窮級(jí)數(shù)的微分和積分 162
48 關(guān)于連續(xù)變量的一致收斂, 積分符號(hào)下的微分和積分 167
49 二重?cái)?shù)列 177
50 二重級(jí)數(shù) 179
51 無(wú)窮積 184
52 冪級(jí)數(shù) 188
53 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù) 196
54 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系,對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù) 201
習(xí)題 207
第5 章 解析函數(shù)及初等函數(shù) 209
55 解析函數(shù) 209
56 積分 212
57 柯西積分定理 217
58 柯西積分公式, 解析函數(shù)的泰勒展開(kāi) 222
59 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 226
60 z = 1 處的解析函數(shù) 230
61 整函數(shù) 231
62 定積分計(jì)算(實(shí)變量) 232
63 解析延拓 238
64 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù) 241
65 對(duì)數(shù)ln z 和一般冪z? 249
66 有理函數(shù)的積分理論 254
67 二次平方根的不定積分 258
68 ? 函數(shù) 260
69 斯特林公式 270
習(xí)題 276
第6 章 傅里葉展開(kāi) 282
70 傅里葉級(jí)數(shù) 282
71 正交函數(shù)系 283
72 任意函數(shù)系的正交化 284
73 正交函數(shù)列表示的傅里葉展開(kāi) 286
74 傅里葉級(jí)數(shù)累加平均求和法(費(fèi)耶定理) 289
75 光滑周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi) 291
76 非連續(xù)函數(shù)的情況 292
77 傅里葉級(jí)數(shù)的例子 295
78 魏爾斯特拉斯定理 298
79 積分第二中值定理 301
80 關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷{若爾當(dāng)條件 303
81 傅里葉積分公式 306
習(xí)題 308
第7 章 微分續(xù)篇(隱函數(shù)) 309
82 隱函數(shù) 309
83 反函數(shù) 314
84 映射 317
85 對(duì)解析函數(shù)的應(yīng)用 321
86 曲線方程 326
87 曲面方程 331
88 包絡(luò)線 334
89 隱函數(shù)的極值 336
習(xí)題 339
第8 章 多變量積分 342
90 二元以上的定積分 342
91 面積的定義和體積的定義 343
92 一般區(qū)域上的積分 348
93 化簡(jiǎn)成一元積分 351
94 積分意義的擴(kuò)展(廣義積分) 357
95 多變量定積分表示的函數(shù) 364
96 變量變換 366
97 曲面面積 377
98 曲線坐標(biāo)(體積、曲面積和弧長(zhǎng)等的變形) 384
99 正交坐標(biāo) 391
100 面積分 395
101 向量記號(hào) 397
102 高斯定理 399
103 斯托克斯定理 406
104 全微分條件 409
習(xí)題 413
第9 章 勒貝格積分 416
105 集合運(yùn)算 416
106 加法集合類(? 系) 419
107 M 函數(shù) 420
108 集合的測(cè)度 424
109 積分 427
110 積分的性質(zhì) 430
111 可加集合函數(shù) 438
112 絕對(duì)連續(xù)性和奇異性 441
113 歐式空間和區(qū)間的體積 444
114 勒貝格測(cè)度 446
115 零集合 451
116 開(kāi)集合和閉集合 453
117 博雷爾集合 456
118 積分表示的集合測(cè)度 458
119 累次積分 463
120 與黎曼積分的比較 464
121 斯蒂爾切斯積分 466
122 微分定義 468
123 Vitali 覆蓋定理 470
124 可加集合函數(shù)的微分 472
125 不定積分的微分 476
126 有界變差和絕對(duì)連續(xù)的點(diǎn)函數(shù) 477
附錄I 無(wú)理數(shù)論 480
1 有理數(shù)分割 480
2 實(shí)數(shù)的大小 481
3 實(shí)數(shù)的連續(xù)性 482
4 加法 483
5 絕對(duì)值 485
6 極限 485
7 乘法 486
8 冪和冪根 488
9 實(shí)數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì) 488
10 復(fù)數(shù) 489
附錄II 若干特殊曲線 491
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