有人將分形和混沌理論譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后的20世紀(jì)物理學(xué)的第三次革命。本書(shū)首先描述了各種分形的基礎(chǔ)知識(shí)和特性，包括線性迭代產(chǎn)生的分形如分形龍、科和曲線等，以及非線性迭代產(chǎn)生的曼德勃羅集、朱利亞集等。通過(guò)這些例子，介紹了自相似性及分?jǐn)?shù)維的概念。然后，遵循混沌現(xiàn)象發(fā)展的歷史，通過(guò)講述龐加萊的三體問(wèn)題、洛倫茨的蝴蝶效應(yīng)等等故事和趣聞，將讀者帶進(jìn)神奇混沌理論的天地中。再進(jìn)一步通過(guò)對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單混沌系統(tǒng)--邏輯斯蒂映射的探討，詳細(xì)介紹分岔理論、穩(wěn)定性、及費(fèi)根鮑姆普適常數(shù)等概念。
本書(shū)后半部分，介紹了分形和混沌在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用及前景、分形和混沌的關(guān)系、以及與分形混沌密切相關(guān)而發(fā)展起來(lái)的非線性科學(xué)。
俗話說(shuō)：“授人以魚(yú)不如授人以漁”，作為科普書(shū)，介紹知識(shí)固然重要，傳授科學(xué)研究之方法更為重要，本書(shū)極力體現(xiàn)這個(gè)宗旨。作者不僅介紹科學(xué)，還煞費(fèi)苦心地重點(diǎn)介紹科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時(shí)的思路歷程，帶領(lǐng)讀者一起思考，從前人的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)中得到深刻啟示，從而激發(fā)讀者的好奇心和創(chuàng)造力。
一本老少皆宜、文理兼容的科普讀物。圖文并茂，用輕松有趣的語(yǔ)言，加之通俗生動(dòng)的圖解，來(lái)講述深?yuàn)W難懂的科學(xué)理論。為廣大讀者剝開(kāi)理論的堅(jiān)果，使不同領(lǐng)域的人士，都能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)及物理學(xué)的無(wú)窮魅力。
作者簡(jiǎn)介：
張?zhí)烊兀�，四川成都人。美�?guó)得克薩斯州奧斯汀大學(xué)理論物理博士，現(xiàn)住美國(guó)芝加哥。研究過(guò)黑洞輻射、費(fèi)曼路徑積分、毫微微秒激光、高頻及微波通訊的EDA集成電路軟件等。發(fā)表專(zhuān)業(yè)論文三十余篇。2008年出版科普小說(shuō)《新東方夜譚》；2010年11月出版懸疑小說(shuō)《美國(guó)房客》。2012年開(kāi)始，在科學(xué)網(wǎng)發(fā)表一系列科普博文，其文風(fēng)深入淺出，趣味盎然，且保持科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，深得讀者喜愛(ài)。
目錄：
序一科學(xué)可以很有趣
序二玄機(jī)妙語(yǔ)話混沌
前言
第一篇：美哉分形
1.1：從分形龍談起
1.2：簡(jiǎn)單分形
1.3：分?jǐn)?shù)維是怎么回事？
1.4：再回到分形龍
1.5：大自然中的分形
1.6：分形之父的啟示
1.7：美妙的曼德勃羅集
1.8：美妙的朱利亞集
第二篇：奇哉混沌
2.1：拉普拉斯妖
2.2：洛倫茨的迷惑序一 科學(xué)可以很有趣
序二 玄機(jī)妙語(yǔ)話混沌
前言
第一篇：美哉分形
1.1：從分形龍談起
1.2：簡(jiǎn)單分形
1.3：分?jǐn)?shù)維是怎么回事？
1.4：再回到分形龍
1.5：大自然中的分形
1.6：分形之父的啟示
1.7：美妙的曼德勃羅集
1.8：美妙的朱利亞集
第二篇：奇哉混沌
2.1：拉普拉斯妖
2.2：洛倫茨的迷惑
2.3：奇異吸引子
2.4：蝴蝶效應(yīng)
2.5：超越時(shí)代的龐加萊
2.6：三體問(wèn)題及趣聞
2.7：生命繁衍和混沌
2.8：有序到無(wú)序
2.9：混沌魔鬼不穩(wěn)定
第三篇：分形天使處處逞能
3.1：分形音樂(lè)
3.2：分形藝術(shù)
3.3：分形用于圖像處理
3.4：人體中的分形和混沌
第四篇：天使魔鬼一家人
4.1：萬(wàn)變之不變
4.2：再回魔鬼聚合物
4.3：混沌游戲產(chǎn)生分形
4.4：混沌和山西拉面
第五篇：混沌魔鬼大有作為
5.1：?jiǎn)螖[也混沌
5.2：混沌電路
5.3：大海撈針
5.4：混沌在通信中的應(yīng)用
第六篇：一生二，二生三，三生萬(wàn)物
6.1：三生混沌
6.2：自組織現(xiàn)象
6.3：孤立子的故事
6.4：生命游戲
6.5：木匠眼中的月亮由真正懂科學(xué)的人以中文介紹科學(xué)，有長(zhǎng)期的必要。而能將科學(xué)栩栩如生地介紹給公眾的作者，在中文世界還是鳳毛麟角，本書(shū)的作者張?zhí)烊鼐褪瞧渲兄弧Ｈ绻鷷r(shí)間不夠不能全面閱讀，也不妨將這本書(shū)放在自己的書(shū)架上，也許不經(jīng)意可以影響親朋好友，也在中文世界推廣了科學(xué)和理性。
——北京大學(xué)教授 饒毅這本書(shū)是從物理的角度開(kāi)始，用通俗易懂的語(yǔ)言和嫻熟的數(shù)學(xué)技巧剖析混沌的本質(zhì)，然后推而廣之，述及混沌在其它各學(xué)科的應(yīng)用。張?zhí)烊夭┦考扔泻苌畹膶W(xué)術(shù)造詣,又有入木三分的文筆，使得這本書(shū)既保持了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，令讀者開(kāi)卷有益，收獲真知；又能深入淺出、趣味盎然、引人入勝。
——中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院教授 程代展愛(ài)好科學(xué)的年輕人最需要知道的不是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，而是新思想的靈感來(lái)自何處？本書(shū)不僅僅是介紹那些耀眼的新思想，更是讓讀者了解發(fā)現(xiàn)新思想的源動(dòng)力。
——科學(xué)網(wǎng)網(wǎng)友 Kevin 序科學(xué)可以很有趣北大教授 饒毅雖然科學(xué)進(jìn)入中國(guó)已幾百年，但恐怕還很難說(shuō)中國(guó)是一個(gè)普遍理解科學(xué)的國(guó)度。如果科學(xué)真深入了中國(guó)文化，就難以解釋為什么即使是今天，中國(guó)民眾也還經(jīng)常誤讀科學(xué)、甚至在極端少數(shù)人推動(dòng)下，可以出現(xiàn)反科學(xué)的思潮。由真正懂科學(xué)的人以中文介紹科學(xué)，有長(zhǎng)期的必要。而能將科學(xué)栩栩如生地介紹給公眾的作者，在中文世界還是鳳毛麟角，本書(shū)的作者張?zhí)烊鼐褪瞧渲兄�。她的文筆也許有助于改善中國(guó)很多人只注重科學(xué)的功用而不欣賞科學(xué)的趣味的問(wèn)題。張?zhí)烊厥俏覈?guó)留美的物理博士。她念物理的時(shí)代，是我國(guó)青年對(duì)物理學(xué)趨之若鶩的時(shí)代。本來(lái)也喜歡物理、后來(lái)卻念了醫(yī)學(xué)再轉(zhuǎn)生物的我，對(duì)此深有體會(huì)。我自己喜歡科學(xué)，也喜歡了解其他學(xué)科，十幾年來(lái)也寫(xiě)科學(xué)介紹，所以對(duì)張?zhí)烊氐目破崭怯芍缘呐宸�。張博士的文章，不僅把科學(xué)講的很透徹，而且豐富多彩，引人入勝，是科學(xué)普及的極佳材料。我希望不僅青少年，而且愛(ài)好科學(xué)、崇尚智力、推崇理性的成年人都成為張博士的讀者。如果您時(shí)間不夠不能全面閱讀，也不妨將這本書(shū)放在自己的書(shū)架上，也許不經(jīng)意可以影響親朋好友，也在中文世界推廣了科學(xué)和理性。玄機(jī)妙語(yǔ)話混沌中國(guó)科學(xué)院教授程代展自從Lorenz20世紀(jì)60年代偶爾由數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來(lái),混沌理論在許多領(lǐng)域中得到迅猛的發(fā)展.混沌以其千姿百態(tài)的分形與吸引子,以及難以捉摸的蝴蝶效應(yīng),令人感到一種縹緲虛幻的玄妙和一絲撲朔迷離的詭異.“混沌理論”最早起源于物理學(xué)家的研究，但卻不是正統(tǒng)物理學(xué)的范圍，它當(dāng)然也不是正統(tǒng)數(shù)學(xué)理論,它可算是在許多領(lǐng)域都能應(yīng)用的邊緣學(xué)科.每個(gè)學(xué)科的人都以不同的方式來(lái)理解它。搞生物的人用它分析生物體的結(jié)構(gòu)和生命的進(jìn)化；搞經(jīng)濟(jì)的人用它探索金融股市的規(guī)律；作數(shù)學(xué)的則更多地將它與非線性及微分方程穩(wěn)定性理論等聯(lián)系起來(lái).這本書(shū)是從物理的角度開(kāi)始，應(yīng)用通俗易懂的語(yǔ)言和嫻熟的數(shù)學(xué)技巧剖析混沌的本質(zhì),然后推而廣之,述及混沌在其它各學(xué)科的應(yīng)用.要寫(xiě)好一本通俗讀物,有兩點(diǎn)是很重要的:一是對(duì)該學(xué)科的深刻理解,沒(méi)有這種理解就會(huì)把通俗讀物混同幻想小說(shuō);二是文筆的生動(dòng)流暢,否則會(huì)寫(xiě)成簡(jiǎn)版的教科書(shū).張?zhí)烊夭┦考扔泻苌畹膶W(xué)術(shù)造詣,又有入木三分的文筆,使得這本書(shū)既保持了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,令讀者開(kāi)卷有益,收獲真知;又能深入淺出、趣味盎然、引人入勝.張博士系文革中大學(xué)畢業(yè)生,是我當(dāng)年第一屆科學(xué)院研究生院的同學(xué),后來(lái)在美國(guó)德克薩斯州奧斯汀大學(xué)獲物理學(xué)博士,與我經(jīng)歷相似.細(xì)讀該書(shū),為之感動(dòng),故不揣孤陋,以為序.2.1﹕拉普拉斯妖“很多文章中，分形總是和混沌連在一起，現(xiàn)在，我對(duì)分形好像學(xué)到了不少，但卻還完全不知道混沌是什么啊？你們知道嗎？”王二問(wèn)兩位師兄。張三也說(shuō)：“分形的確太奇妙了，特別是計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的圖像，真可算是一門(mén)特別的藝術(shù)！不過(guò)我還沒(méi)有看出來(lái)它和我們學(xué)的科學(xué)有什么關(guān)系��？”李四快畢業(yè)了，正在準(zhǔn)備考某某教授的研究生，說(shuō)那個(gè)X教授做的課題與混沌有關(guān)。因此，最近讀了一些分形以及混沌理論相關(guān)的書(shū)和文章。什么叫‘混沌’？要用一個(gè)簡(jiǎn)單的方法來(lái)講清楚‘混沌理論’是很困難的。不過(guò)，我們的老祖宗早就使用了‘混沌’這個(gè)詞來(lái)描述和表達(dá)中國(guó)古代人的宇宙觀：“天地混沌如雞子，盤(pán)古生其中�！北P(pán)古開(kāi)天地是我們十分熟悉的神話，無(wú)愧于中國(guó)幾千年的文明，我們的祖先早就認(rèn)識(shí)到我們有序的文明社會(huì)是誕生于混沌之中：“天地混沌如雞子”，有點(diǎn)像現(xiàn)代物理學(xué)所描述的‘宇宙大爆炸’后的世界。不過(guò),‘盤(pán)古開(kāi)天地’的故事只說(shuō)了一半，說(shuō)的是有關(guān)我們的過(guò)去的那一半。就算宇宙的過(guò)去是天地混沌一片吧。宇宙的未來(lái)如何呢？預(yù)測(cè)未來(lái)總是比探討過(guò)去更具誘惑力和實(shí)用性。不是嗎？氣象預(yù)報(bào)讓你能未雨綢繆；預(yù)測(cè)股市的走向可能使你發(fā)大財(cái)；研究未來(lái)的學(xué)者文人頗受人尊重；還有那些張大師、李大師之流，也得靠自稱有先知先覺(jué)的功能，來(lái)蒙蔽人們，招搖撞騙。我們將要解釋的‘混沌理論’，就與預(yù)測(cè)未來(lái)有點(diǎn)關(guān)系。其實(shí)，科學(xué)的目的之一就是要解釋世界，放眼未來(lái)。問(wèn)題是這些“未來(lái)事件”在什么條件下可以被預(yù)測(cè)？在多大程度上可以被預(yù)測(cè)？先見(jiàn)之明者能有多遠(yuǎn)的眼光？預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性又如何？常言道:“人有旦夕禍福，天有不測(cè)風(fēng)云”，利用今后日新月異的科學(xué)技術(shù)，是否就能完全預(yù)知將要發(fā)生的“旦夕禍�！迸c“不測(cè)風(fēng)云”，及未來(lái)的一切了呢？這一類(lèi)有關(guān)“將來(lái)”的問(wèn)題，用如今學(xué)術(shù)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，叫做：“研究一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為”。1975年，美國(guó)數(shù)學(xué)家約克，和他的華裔研究生李天巖，將“混沌”這個(gè)詞賦予科學(xué)的定義，用以描述某些系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)期觀察時(shí)表現(xiàn)的奇異行為。因此，這里我們將討論的混沌理論，有別于通常意義的“混沌”，有別于盤(pán)古開(kāi)天地時(shí)的混沌。它探索的課題，與“世界的可知/不可知”這類(lèi)哲學(xué)問(wèn)題有關(guān)……張三見(jiàn)李四好像準(zhǔn)備要夸夸其談地大談?wù)軐W(xué)，耐不住了，說(shuō)：“我可看不出來(lái)，你講的這些混沌哲學(xué)，與我們了解的分形有什么關(guān)系呢？”李四叫他別急，慢慢聽(tīng)下去吧。剛才我們不是說(shuō)過(guò)，混沌理論是研究一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為嗎？你們應(yīng)該還記得曼德勃羅圖是怎么畫(huà)出來(lái)的吧，那時(shí)我們考慮的不就是一個(gè)非線性方程，在進(jìn)行無(wú)限次迭代后，結(jié)果產(chǎn)生的不同行為嗎？對(duì)于不同的初始值，無(wú)限次迭代后結(jié)果將不一樣，有些跑到無(wú)窮遠(yuǎn)處，有些保持有限數(shù)值。在分形中的“無(wú)限次迭代后的行為”，就相當(dāng)于這兒混沌理論中所說(shuō)的“長(zhǎng)期行為”啊！兩個(gè)朋友有些開(kāi)竅，王二興奮起來(lái)：“啊，原來(lái)是這么回事！對(duì)，‘無(wú)限次迭代’就是生物中的代代相傳，有繼承自相似性的遺傳，也有因隨機(jī)偶然因素引起的變異，一代又一代綿延下去……”張三也有所領(lǐng)悟：“那么，我在寫(xiě)分形程序時(shí)所用的迭代方程，就是相應(yīng)于混沌理論中所說(shuō)的物理系統(tǒng)遵循的規(guī)律了，比如說(shuō)，牛頓定律？從牛頓定律也可能得出混沌嗎……對(duì)了，聽(tīng)說(shuō)有個(gè)三體問(wèn)題……”對(duì)��！這就是為什么我們還得扯到牛頓那個(gè)時(shí)代，還得扯到哲學(xué)，李四得意洋洋地繼續(xù)講下去。我們的世界到底是決定的，還是非決定的？是可預(yù)測(cè)的，還是不可預(yù)測(cè)的？這一直是令古今中外的學(xué)者、哲人們困惑、爭(zhēng)論的基本問(wèn)題。三百多年前牛頓力學(xué)的誕生是科學(xué)史上的一個(gè)重要的里程碑。牛頓主義的因果律和機(jī)械決定論認(rèn)為：世界是可以精確預(yù)測(cè)的。根據(jù)牛頓物理學(xué)，宇宙似乎可以被想象成一個(gè)巨大的機(jī)器，其中的每種事件都是有序的、規(guī)則的及可預(yù)測(cè)的。牛頓三大定律似乎放之四海而皆準(zhǔn)，用于萬(wàn)物無(wú)不可。運(yùn)動(dòng)方程有了，只要初始條件給定了，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡則應(yīng)該完全可知、可預(yù)測(cè)，直到宇宙毀滅的那一天。可以想象，一幅決定論的、簡(jiǎn)單的、井井有條的、可預(yù)測(cè)的、似乎已經(jīng)完美無(wú)缺的理論體系和世界圖景是何等誘人，它使當(dāng)年的科學(xué)界歡呼雀躍、陶醉不已。以至于連神學(xué)界主宰一切的上帝之類(lèi)也想來(lái)插上一手。因此，牛頓力學(xué)的時(shí)代，宿命論、神秘主義甚囂一時(shí)。天才的牛頓也未能免俗，認(rèn)為造物主實(shí)在偉大非凡，造出的世界精妙絕倫、天衣無(wú)縫。因此，晚年的牛頓潛心研究神學(xué)。牛頓走了，拉普拉斯來(lái)了。拉普拉斯也醉心牛頓力學(xué)完美的理論體系，他把萬(wàn)有引力定律應(yīng)用到整個(gè)太陽(yáng)系，研究太陽(yáng)系及其它天體的穩(wěn)定性問(wèn)題，被譽(yù)為“天體力學(xué)之父”。不過(guò)，和牛頓不一樣，拉普拉斯并不將功勞歸之于上帝，而是把上帝趕出了宇宙。拿破侖看過(guò)拉普拉斯所寫(xiě)的《天體力學(xué)》一書(shū)之后，奇怪其中為何只字未提上帝？拉普拉斯自豪地說(shuō)了一句話，令拿破侖目瞪口呆。拉普拉斯說(shuō)：“我不需要上帝這個(gè)假設(shè)！”。 圖(2.1.1)宣稱決定論的拉普拉斯拉普拉斯不信上帝，卻仍然堅(jiān)信決定論。他不需要假設(shè)上帝存在而造出了宇宙，但他卻假設(shè)有某個(gè)‘智能者’，后人稱之為‘拉普拉斯妖’的東西，能完全計(jì)算出宇宙的過(guò)去和未來(lái)。當(dāng)年的阿基米德對(duì)國(guó)王說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能推動(dòng)地球！”。拉普拉斯仿效阿基米德的口氣，對(duì)世人立下這樣的豪言壯語(yǔ)：“假設(shè)能知道宇宙中每個(gè)原子現(xiàn)在的確切位置和動(dòng)量，‘智能者’便能根據(jù)牛頓定律，計(jì)算出宇宙中事件的整個(gè)過(guò)程！計(jì)算結(jié)果中，過(guò)去和未來(lái)都將一目了然！”過(guò)去和未來(lái)，盡在拉普拉斯妖的掌控之中，這代表了拉普拉斯信奉的決定論哲學(xué)。不可否認(rèn),決定論的牛頓力學(xué)迄今為止取得了、也必將繼續(xù)取得輝煌的成就。它是人類(lèi)揭開(kāi)宇宙奧秘，尋找大自然秩序的漫漫長(zhǎng)途上的第一個(gè)偉大的里程碑。它曾用簡(jiǎn)單而精確的計(jì)算結(jié)果,預(yù)測(cè)了海王星、冥王星的存在及其它天體的運(yùn)動(dòng);又以普適而優(yōu)美的數(shù)學(xué)表述，對(duì)各種地面物體的復(fù)雜現(xiàn)象做出了統(tǒng)一的解釋。借助牛頓力學(xué),人類(lèi)發(fā)明了各類(lèi)機(jī)械設(shè)備、設(shè)計(jì)了各種運(yùn)載火箭,并把航天飛機(jī)送到了宇宙空間�？v觀周?chē)h(huán)繞我們的事物:穿梭于云層里的飛機(jī)、高速公路上飛駛的汽車(chē)、城市中高聳入云的摩天大樓、遍布全球的鐵路橋梁,無(wú)一不包含著牛頓力學(xué)的功勞。繼拉普拉斯之后，19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)現(xiàn)的不可逆過(guò)程、熵增加定律等，已經(jīng)使得拉普拉斯妖的預(yù)言成為不可能。再以后，量子力學(xué)中的不確定原理，以及混沌理論所展示的、確定性系統(tǒng)出現(xiàn)內(nèi)在“隨機(jī)過(guò)程”的可能性，更是給了決定論致命的一擊�！盁o(wú)可奈何花落去,似曾相識(shí)燕歸來(lái)”。任何理論都不無(wú)例外地有其局限性。20世紀(jì)初期的量子物理和相對(duì)論的發(fā)展打破了經(jīng)典力學(xué)的天真。相對(duì)論挑戰(zhàn)了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀,量子力學(xué)則質(zhì)疑微觀世界的物理因果律。根據(jù)量子力學(xué)中海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理，在同一時(shí)刻，你不可能同時(shí)獲知某個(gè)粒子的精確位置和它的精確動(dòng)量。你也不能分兩步來(lái)測(cè)量，因?yàn)閷?duì)于微觀世界而言，測(cè)量本身就已經(jīng)改變了被測(cè)量物的狀態(tài)。所以拉普拉斯所需要的數(shù)據(jù)是不可能精確得到的，自然也不可能存在可以預(yù)知一切的物理學(xué)理論。量子力學(xué)的規(guī)律揭示了微觀世界的不可預(yù)測(cè)性，混沌理論則從根本上否定了事件的確定性，把非決定論推至成熟�；煦绗F(xiàn)象表明，避開(kāi)微觀世界的量子效應(yīng)不說(shuō),即使在只遵循牛頓定律的、通常尺度下的、完全決定論的系統(tǒng)中，也可以出現(xiàn)隨機(jī)的行為。除了廣泛存在的外在隨機(jī)性之外，確定論系統(tǒng)本身也普遍具有內(nèi)在的隨機(jī)性。也就是說(shuō),混沌能產(chǎn)生有序，有序中也能產(chǎn)生隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的混沌結(jié)果。即使某些決定的系統(tǒng)，也表現(xiàn)出復(fù)雜的、奇異的、非決定的、不同于經(jīng)典理論可預(yù)測(cè)的那種長(zhǎng)期行為。從另一個(gè)角度說(shuō)，混沌理論揭示了有序與無(wú)序的統(tǒng)一、確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一，使得決定論和概率論,這兩大長(zhǎng)期對(duì)立，互不相容,對(duì)于統(tǒng)一的自然界的描述體系之間的鴻溝正在逐步消除。有人將混沌理論與相對(duì)論、量子力學(xué)同列為二十世紀(jì)的最偉大的三次科學(xué)革命,認(rèn)為牛頓力學(xué)的建立標(biāo)志著科學(xué)理論的開(kāi)端,而包括相對(duì)論、量子物理、混沌理論三大革命的完成,則象征著科學(xué)理論的成熟。 2.2﹕洛倫茨的迷惑李四洋洋灑灑地高談闊論了一番，張三笑起來(lái)了，說(shuō)李四犯了和他的物理界老祖宗們一樣的毛病，把物理當(dāng)成哲學(xué)了。物理畢竟不是哲學(xué)，你還是給我們講一些具體點(diǎn)的東西吧，講與你的那個(gè)X教授做的課題有點(diǎn)關(guān)系的。李四扶正了帶著的深度近視眼鏡，仍然不緊不慢的，一邊打開(kāi)一本書(shū)，一邊說(shuō)，這不馬上就要進(jìn)到正題了嗎：經(jīng)典力學(xué)為何導(dǎo)出了決定論?混沌理論又是怎樣證明一個(gè)決定論的系統(tǒng)也可以出現(xiàn)隨機(jī)的行為的呢?你們看，當(dāng)我們翻開(kāi)任何一本關(guān)于混沌數(shù)學(xué)的書(shū),差不多都能看到與圖（2.2.1）類(lèi)似的圖案。那是混沌理論的著名標(biāo)簽：洛倫茨吸引子【C】。 圖（2.2.1）：洛倫茨吸引子【C】“什么是‘吸引子’��？”王二問(wèn)。李四摸了摸大腦袋說(shuō)：“你的問(wèn)題提得好啊，不過(guò)，‘吸引子’這個(gè)題目超前了一點(diǎn)兒，以后再講。今天，我先講講這個(gè)圖的來(lái)由，講講洛倫茨的工作吧……”愛(ài)德華?洛倫茨（1917-2008）是一位在美國(guó)麻省理工學(xué)院做氣象研究的科學(xué)家。上世紀(jì)的60年代初,他試圖用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬影響氣象的大氣流。當(dāng)時(shí)，他用的還是由真空管組成的計(jì)算機(jī)，那是一個(gè)充滿整間實(shí)驗(yàn)室的龐然大物啊。我想，那機(jī)器雖然大，計(jì)算速度還遠(yuǎn)不及我們現(xiàn)在用的這些電腦吧。所以，可想而知，洛倫茨沒(méi)日沒(méi)夜的，工作得很辛苦。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)家不放心只算了一次的結(jié)果,決定再作一次計(jì)算。為了節(jié)約一些時(shí)間,他對(duì)計(jì)算過(guò)程稍微作了些改變，決定利用一部分上次得到的結(jié)果,省略掉前一部分計(jì)算。因此，那天晚上，他辛辛苦苦地工作到深夜，直接將上一次計(jì)算后的部分?jǐn)?shù)據(jù)一個(gè)一個(gè)打到輸入卡片上，再送到計(jì)算機(jī)中。好，一切就緒了，開(kāi)始計(jì)算！洛倫茨才放心的回家睡大覺(jué)去了。第二天早上，洛倫茨興致勃勃地來(lái)到MIT計(jì)算機(jī)房，期待他的新結(jié)果能驗(yàn)證上一次的計(jì)算。可是，這第二次計(jì)算的結(jié)果令洛倫茨大吃一驚：他得到了一大堆和第一次結(jié)果完全不相同的數(shù)據(jù)！換句話說(shuō)，結(jié)果1和結(jié)果2千差萬(wàn)別！這是怎么回事呢？洛倫茨只好再計(jì)算一次，結(jié)果仍然如此。又再回到第一種方法，計(jì)算后得到原來(lái)的結(jié)果1。洛倫茨翻來(lái)覆去地檢查兩種計(jì)算步驟，又算了好幾次，方法1總是給出結(jié)果1，方法2總是給出結(jié)果2。兩種結(jié)果如此大大不同，必定是來(lái)自于兩種方法的不同。但是，兩種方法中，最后的計(jì)算程序是完全一樣的，唯一的差別是初始數(shù)據(jù)：第一種方法用的是計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)，而第二種方法用的是洛倫茨直接輸入的數(shù)據(jù)。這兩組數(shù)據(jù)應(yīng)該一模一樣�。÷鍌惔慕�(jīng)過(guò)若干次的檢查和驗(yàn)證，盯著一個(gè)一個(gè)的數(shù)字反反復(fù)復(fù)看。啊，終于看到了。兩組數(shù)據(jù)的確稍微有所不同，若干個(gè)數(shù)據(jù)中，有那么幾個(gè)數(shù)字，被四舍五入后，有了一個(gè)微小的差別。難道這么微小的差別（比如，.000127）就能導(dǎo)致最后結(jié)果如此大的不同嗎？洛倫茨百思而不解。 圖（2.2.2）：實(shí)線和虛線分別是洛侖茲的兩次計(jì)算過(guò)程：初始值的微小差別，導(dǎo)致最后的結(jié)果完全不同【48】。上面的示意圖中，顯示的是與洛倫茨氣象預(yù)報(bào)研究有關(guān)的結(jié)果。其中橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示洛倫茨所模擬，也就是想要預(yù)報(bào)的氣候中的某個(gè)參數(shù)值，比如說(shuō)，大氣氣流在空間某點(diǎn)的速度、方向，或者是溫度、濕度、壓力之類(lèi)的變量等等。根據(jù)初始值以及描述物理規(guī)律的微分方程，洛倫茨對(duì)這些物理量的時(shí)間演化過(guò)程進(jìn)行數(shù)字模擬，以達(dá)到預(yù)報(bào)的目的。但是，洛倫茨發(fā)現(xiàn)，初始值的微小變化，會(huì)隨著時(shí)間增加而被指數(shù)放大，如果初始值稍稍變化，就使得結(jié)果大相徑庭的話，這樣的預(yù)報(bào)還有實(shí)際意義嗎？王二似乎恍然大悟：“啊，難怪氣象臺(tái)播的氣象預(yù)報(bào)經(jīng)常都不準(zhǔn)，招來(lái)罵聲一片，看來(lái)他們也有他們的苦衷��！”張三說(shuō)，圖（2.2.2）這個(gè)曲線的意思比較容易理解，但是那個(gè)圖（2.2.1）是怎么得來(lái)的啊？我看它沒(méi)完沒(méi)了的繞圈圈，這與洛倫茨的氣象預(yù)報(bào)計(jì)算有什么關(guān)系呢？李四說(shuō)，慢慢聽(tīng)，當(dāng)然有關(guān)系！當(dāng)時(shí)的洛倫茨雖然甚感迷惑，卻未必見(jiàn)得認(rèn)識(shí)到了這個(gè)偶然發(fā)現(xiàn)的重要性,也不一定能想到與此相關(guān)的‘混沌型’解將在非線性動(dòng)力學(xué)中掀起一場(chǎng)軒然大波。盡管如此，洛倫茨畢竟是一位數(shù)學(xué)訓(xùn)練有素的科學(xué)家。實(shí)際上，洛倫茨年輕時(shí)在哈佛大學(xué)主修數(shù)學(xué)，只是因?yàn)楹髞?lái)爆發(fā)了第二次世界大戰(zhàn)，他才服務(wù)于美國(guó)陸軍航空隊(duì)，當(dāng)了一名天氣預(yù)報(bào)員。沒(méi)想到經(jīng)過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)中這幾年與氣象打交道的生涯，洛倫茨喜歡上了這個(gè)專(zhuān)業(yè)。戰(zhàn)后，他便改變方向，到MIT專(zhuān)攻氣象預(yù)報(bào)理論，之后又成為了MIT的教授。他要利用他的數(shù)學(xué)頭腦，還有當(dāng)時(shí)剛剛初露鋒芒的計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算技術(shù)，來(lái)更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)天氣，這是洛倫茨當(dāng)時(shí)夢(mèng)寐以求的理想。可是，這兩次計(jì)算結(jié)果千差萬(wàn)別，這種結(jié)果對(duì)初始值的分外敏感性給了洛倫茨的美好理想當(dāng)頭一棒！使洛倫茨覺(jué)得自己在氣象預(yù)報(bào)工作中似乎顯得山窮水盡、無(wú)能為力。為了走出困境，他繼續(xù)深究下去。然而，越是深究下去，越是使洛倫茨不得不承認(rèn)他的“準(zhǔn)確預(yù)測(cè)天氣”的理想是實(shí)現(xiàn)不了的！因?yàn)楫?dāng)他研究他的微分方程組的解的穩(wěn)定性時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些非常奇怪和復(fù)雜的行為。洛倫茨以他非凡的抽象能力,將氣象預(yù)報(bào)模型里的上百個(gè)參數(shù)和方程,簡(jiǎn)化到如下一個(gè)僅有三個(gè)變量及時(shí)間的、系數(shù)完全決定了的微分方程組。dx/dt=10(y-x) （2.2.1）dy/dt=R*x–y–xz （2.2.2）dz/dt=(8/3)z+xy （2.2.3）這兒方程組中的x,y,z，并非任何運(yùn)動(dòng)粒子在三維空間的坐標(biāo)，而是三個(gè)變量。這三個(gè)變量由氣象預(yù)報(bào)中的諸多物理量，如流速、溫度、壓力等等簡(jiǎn)化而來(lái)。方程（2.2.2）中的R在流體力學(xué)中叫做瑞利數(shù)，與流體的浮力及粘滯度等性質(zhì)有關(guān)。瑞利數(shù)的大小對(duì)洛侖茲系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生至關(guān)重要，以后還要談到。這是一個(gè)不能用解析方法求解的非線性方程組。洛侖茲將瑞利數(shù)R=28，然后，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行反復(fù)迭代,即首先從初始時(shí)刻x、y、z的一組數(shù)值x0、y0、z0，計(jì)算出下一個(gè)時(shí)刻它們的數(shù)值x1、y1、z1，再算出下一個(gè)時(shí)刻的x2、y2、z2……如此不斷地進(jìn)行下去。將逐次得到的x、y、z瞬時(shí)值,畫(huà)在三維坐標(biāo)空間中，這便描繪出了圖（2.2.1）的奇妙而復(fù)雜的‘洛倫茨吸引子’圖。2.3﹕奇異吸引子現(xiàn)在回到王二的問(wèn)題：什么叫吸引子？或者說(shuō)，什么叫‘動(dòng)力系統(tǒng)’的吸引子？還有張三的問(wèn)題，那個(gè)圖中繞圈圈的軌道是怎么回事？我們首先得弄清楚‘系統(tǒng)’這個(gè)概念。什么是‘系統(tǒng)’呢?簡(jiǎn)單地說(shuō),系統(tǒng)是一種數(shù)學(xué)模型。是一種用以描述自然界及社會(huì)中各類(lèi)事件的,由一些變量及數(shù)個(gè)方程構(gòu)成的一種數(shù)學(xué)模型。世界上的事物盡管千變?nèi)f化,繁雜紛紜,但在數(shù)學(xué)家們的眼中,在一定的條件下,都不外乎是由幾個(gè)變量和這些變量之間的關(guān)系組成的‘系統(tǒng)’。在這些‘系統(tǒng)’模型中,變量的數(shù)目或多或少,服從的規(guī)律可簡(jiǎn)可繁,變量的性質(zhì)也許是確定的,也許是隨機(jī)的,每個(gè)系統(tǒng)又可能包含另外的‘子系統(tǒng)’。由‘系統(tǒng)’性質(zhì)之不同，又有了諸如‘決定性的系統(tǒng)’、‘隨機(jī)系統(tǒng)’、‘封閉系統(tǒng)’、‘開(kāi)放系統(tǒng)’、‘線性系統(tǒng)’、‘非線性系統(tǒng)’、‘穩(wěn)定系統(tǒng)’、‘簡(jiǎn)單系統(tǒng)’、‘復(fù)雜系統(tǒng)’等等一類(lèi)的名詞。例如:地球環(huán)繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng),可近似為一個(gè)簡(jiǎn)單的二體系統(tǒng)；密閉罐中的化學(xué)反應(yīng),可當(dāng)成趨于穩(wěn)定狀態(tài)的封閉系統(tǒng)；每一個(gè)生物體，都是一個(gè)自適應(yīng)的開(kāi)放系統(tǒng)；人類(lèi)社會(huì)，股票市場(chǎng)，則可作為復(fù)雜的、隨機(jī)性系統(tǒng)的例子。無(wú)論是何種系統(tǒng)，大多數(shù)的情形下，我們感興趣的是系統(tǒng)對(duì)時(shí)間的變化，稱其為‘動(dòng)力系統(tǒng)’研究。這是理所當(dāng)然的，誰(shuí)會(huì)去管那種固定不變的系統(tǒng)呢？研究系統(tǒng)對(duì)時(shí)間變化的一個(gè)有效而直觀的方法就是利用系統(tǒng)的‘相空間’，一個(gè)系統(tǒng)中的所有獨(dú)立變量構(gòu)成的空間叫做系統(tǒng)的‘相空間’。相空間中的一個(gè)點(diǎn)，確定了系統(tǒng)的一個(gè)‘狀態(tài)’，對(duì)應(yīng)于一組給定的獨(dú)立變量值。研究狀態(tài)點(diǎn)隨著時(shí)間在相空間中的‘運(yùn)動(dòng)’情形，則可看出系統(tǒng)對(duì)時(shí)間的變化趨勢(shì)，以觀察混沌理論中最感興趣的‘動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為’。狀態(tài)點(diǎn)在相空間中運(yùn)動(dòng)，最后趨向的極限圖形，就叫做該系統(tǒng)的‘吸引子’。換句通俗的話說(shuō)，吸引子就是一個(gè)系統(tǒng)的‘最后歸屬’。舉幾個(gè)簡(jiǎn)單例子，更易于說(shuō)明問(wèn)題。一個(gè)被踢出去的足球，在空中飛了一段距離之后，掉到地上，又在草地上滾了一會(huì)兒，然后靜止停在地上，如果沒(méi)有其它情況發(fā)生，靜止不動(dòng)就是它的最后歸屬。因此，這段足球運(yùn)動(dòng)的吸引子，是它的相空間中的一個(gè)固定點(diǎn)。人造衛(wèi)星離開(kāi)地面被發(fā)射出去之后，最后進(jìn)入預(yù)定的軌道，繞著地球作二維周期運(yùn)動(dòng)，它和地球近似構(gòu)成的二體系統(tǒng)的吸引子，便是一個(gè)橢圓。兩種顏色的墨水被混合在一起，它們經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的擴(kuò)散，互相滲透，最后趨于一種均勻混合的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，如果不考慮分子的布朗運(yùn)動(dòng)，這個(gè)系統(tǒng)的最后歸屬-吸引子，也應(yīng)該是相空間的一個(gè)固定點(diǎn)。在發(fā)現(xiàn)‘混沌現(xiàn)象’之前，也可以粗略地說(shuō)，在洛倫茨研究他的系統(tǒng)的最后歸屬之前，吸引子的形狀可歸納為如下左圖所示的幾種‘經(jīng)典吸引子’，也稱‘正常吸引子’： 圖（2.3.1）經(jīng)典吸引子和奇異吸引子第一種是穩(wěn)定點(diǎn)吸引子，這種系統(tǒng)最后收斂于一個(gè)固定不變的狀態(tài)；第二種叫極限環(huán)吸引子，這種系統(tǒng)的狀態(tài)趨于穩(wěn)定振動(dòng)，比如天體的軌道運(yùn)動(dòng)；第三種是極限環(huán)面吸引子，這是一種似穩(wěn)狀態(tài)。如圖（2.3.1）左圖所示，一般地說(shuō)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的方程的解的經(jīng)典吸引子是相空間中一個(gè)整數(shù)維的子空間。例如：固定點(diǎn)是一個(gè)零維空間；極限環(huán)是一個(gè)一維空間；而面包圈形狀的極限環(huán)面吸引子則是一個(gè)二維空間。鐘擺是個(gè)簡(jiǎn)單直觀的例子。任何一個(gè)擺，如果不給它不斷地補(bǔ)充能量的話，最終都會(huì)由于摩擦和阻尼，而停止下來(lái)。也就是說(shuō)，系統(tǒng)的最后狀態(tài)是相空間中的一個(gè)點(diǎn)。因此，這種情況下的吸引子是第一種：固定點(diǎn)。如果擺有能量來(lái)源，像掛鐘，有發(fā)條，或電源，不停下來(lái)的話，系統(tǒng)的最后狀態(tài)是一種周期性運(yùn)動(dòng)。這種情況下的吸引子就是第二種：極限環(huán)。剛才我說(shuō)的擺，都只是在一個(gè)方向擺動(dòng)，設(shè)想有一個(gè)擺，如果除了左右擺動(dòng)之外，上面加了一個(gè)彈簧，于是就又多了一個(gè)上下的振動(dòng)，這就形成了擺的耦合振蕩行為，具有兩個(gè)振動(dòng)頻率。王二反應(yīng)快：“哦，明白了！第三種，極限‘面包圈吸引子’就是對(duì)應(yīng)于好幾個(gè)頻率的情形�！蓖醵矚g自作聰明，得意地說(shuō)。可是，張三卻反駁：“好像不完全是這樣。在大學(xué)一年級(jí)“普通物理”中學(xué)過(guò)的，如果這兩個(gè)頻率的數(shù)值成簡(jiǎn)單比率的關(guān)系，也就是說(shuō)，兩個(gè)頻率的比值是一個(gè)有理數(shù)，那在實(shí)質(zhì)上仍然是周期性運(yùn)動(dòng)，吸引子仍是第二種：歸于極限環(huán)那種。如果這兩個(gè)頻率之間不成簡(jiǎn)單比率關(guān)系，也就是說(shuō)，比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，就是那種小數(shù)表達(dá)式包含無(wú)窮多位，并且沒(méi)有重現(xiàn)的模式的數(shù)。當(dāng)組合系統(tǒng)具有無(wú)理頻率比值時(shí)，代表組合系統(tǒng)的相空間中的點(diǎn)環(huán)繞環(huán)面旋轉(zhuǎn)，自身卻永遠(yuǎn)不會(huì)接合起來(lái)。這樣的系統(tǒng)看起來(lái)幾乎是周期的，卻永遠(yuǎn)不會(huì)精確地重復(fù)自身，被稱作‘準(zhǔn)周期的’，但是，運(yùn)動(dòng)軌道總是被限制在一個(gè)面包圈上，這就應(yīng)該對(duì)應(yīng)于圖中的第三種情形�！笨偠灾�，用上述三種吸引子描述的自然現(xiàn)象還是相當(dāng)規(guī)則的。這些是屬于經(jīng)典理論的吸引子，根據(jù)經(jīng)典理論，初始值偏離一點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果也只會(huì)偏離一點(diǎn)點(diǎn)。因此，科學(xué)家甚至可以提前相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間預(yù)測(cè)極復(fù)雜的系統(tǒng)的行為。這一點(diǎn)，是‘拉普拉斯妖’決定論的理論基礎(chǔ)，也是洛侖茲夢(mèng)想進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的根據(jù)。但是，從兩次計(jì)算的巨大偏差，洛侖茲感到情況不妙，于是，才想到了把他的計(jì)算結(jié)果畫(huà)出來(lái)。也就是將上一章中給出的三個(gè)方程（2.2.1-3）中x、y、z對(duì)時(shí)間的變化曲線，畫(huà)到了三維空間中，看看它到底是三種吸引子中的哪一種？這一畫(huà)就畫(huà)出了一片新天地！因?yàn)槁鍋銎澰趺匆膊荒馨阉?huà)出的圖形歸類(lèi)到任何一種經(jīng)典吸引子。看看自己畫(huà)出的圖形，即圖（2.3.1）的右圖，洛侖茲覺(jué)得這個(gè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為十分有趣：似穩(wěn)非穩(wěn)，似亂非亂，亂中有序，穩(wěn)中有亂。這是一個(gè)三維空間里的雙重繞圖，軌線看起來(lái)是在繞著兩個(gè)中心點(diǎn)轉(zhuǎn)圈，但又不是真正在轉(zhuǎn)圈，像張三所說(shuō)的，方程解的軌道，繞來(lái)繞去繞不出個(gè)名堂！因?yàn)樗鼈冸m然被限制在兩翼的邊界之內(nèi)，但又決不與自身相交。這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)永不重復(fù)，是非周期性的。也就是說(shuō),這個(gè)具有確定系數(shù),確定方程,確定初始值的系統(tǒng)的解,是一個(gè)外表和整體上呈貌似規(guī)則而有序的兩翼蝴蝶形態(tài),而內(nèi)在卻包含了無(wú)序而隨機(jī)的混沌過(guò)程的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。當(dāng)時(shí)，眼光不凡的洛倫茨準(zhǔn)確地將此現(xiàn)象表述為‘確定性非周期流’。他的文章發(fā)表在1963年的《大氣科學(xué)》雜志上。2.4﹕蝴蝶效應(yīng)“圖（2.3.1）中，右邊的洛侖茲吸引子，看起來(lái)就顯然不同于那幾個(gè)經(jīng)典的。不屬于經(jīng)典理論的吸引子，就叫做奇異吸引子，對(duì)吧？”張三問(wèn)。對(duì)，但是我們還是得從數(shù)學(xué)上弄明白，奇異吸引子到底有哪些特別之處。我們?cè)谇耙徽轮刑岬竭^(guò)：幾個(gè)經(jīng)典吸引子分別是0、1、2維的圖形。那你們看看，下面圖中這個(gè)畫(huà)在3維空間的洛侖茲吸引子像是多少維呢？“多少維？”王二眼睛一亮：“這個(gè)維數(shù)一定是個(gè)分?jǐn)?shù)？” 圖（2.4.1）：洛倫茨吸引子是個(gè)2.06維的分形【C】張三想了想說(shuō)：“等等，這個(gè)圖形的確像一個(gè)分形。但是分形的維數(shù)不一定就是分?jǐn)?shù)。圖形雖然復(fù)雜，但是看起來(lái)，每個(gè)分支基本上都還是在各自的平面上轉(zhuǎn)圈圈�？偣彩莾蓚�(gè)平面，這個(gè)圖形可能還是2維。有點(diǎn)類(lèi)似分形龍的圖形那樣，曲線繞來(lái)繞去，繞來(lái)繞去，最后充滿一部分面積……所以我猜是2維�！睆那皫渍聦�(duì)分形的介紹中,我們已經(jīng)知道:不僅有整數(shù)維的幾何圖形，也有分?jǐn)?shù)維的幾何形狀存在。表現(xiàn)出‘混沌現(xiàn)象’的系統(tǒng)的吸引子-奇異吸引子，就是一種分形。整數(shù)維數(shù)的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期運(yùn)動(dòng)解，分?jǐn)?shù)維數(shù)的吸引子（奇異吸引子）則是相關(guān)于‘非線性系統(tǒng)’的非光滑的混沌解。圖（2.4.1）所示的洛倫茨吸引子的曲線,只是象征性地顯示了曲線的一部分。吸引子實(shí)際上是一個(gè)具有無(wú)窮結(jié)構(gòu)的分形。如讀者用本書(shū)最后給出的鏈接，到‘洛倫茨吸引子’程序,進(jìn)一步觀察,則會(huì)發(fā)現(xiàn),狀態(tài)點(diǎn),也就是洛倫茨系統(tǒng)的解,將隨著時(shí)間的流逝不重復(fù)地,無(wú)限次數(shù)地奔波于兩個(gè)分支圖形之間。有數(shù)學(xué)家仔細(xì)研究了洛倫茨吸引子的分形維數(shù)，得出的結(jié)果是2.06（+、-）0.01。從奇異吸引子的形狀及幾何性質(zhì)，我們看到了混沌和分形關(guān)聯(lián)的一個(gè)方面：分形是混沌的幾何表述。奇異吸引子不同于正常吸引子的另一個(gè)很重要特征是它對(duì)初始值的敏感性：前面一章中所說(shuō)的三種經(jīng)典吸引子對(duì)初始值都是穩(wěn)定的，也就是說(shuō)，初始狀態(tài)接近的軌跡始終接近，偏離不遠(yuǎn)。而奇異吸引子中，初始狀態(tài)接近的軌跡之間的距離卻隨著時(shí)間的增大而指數(shù)增加。這就是為什么使得在數(shù)學(xué)上造詣?lì)H深的洛倫茨迷惑的原因。因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)，用他的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果大大地違背了經(jīng)典吸引子應(yīng)有的結(jié)論。因?yàn)榻o定初始值的一點(diǎn)點(diǎn)微小差別，將使得結(jié)果完全不同。這個(gè)敏感性體現(xiàn)在氣象學(xué)中，就是說(shuō)：計(jì)算結(jié)果隨著被計(jì)算的天氣預(yù)報(bào)的時(shí)間,成指數(shù)地放大,在洛倫茨所計(jì)算的兩個(gè)月的預(yù)報(bào)之中,每隔四天的預(yù)報(bào)計(jì)算,差別就被放大一倍。因此，最后得到了顯然不同的結(jié)果。由此,洛倫茨意識(shí)到，‘長(zhǎng)時(shí)期的氣象現(xiàn)象是不可能被準(zhǔn)確無(wú)誤地預(yù)報(bào)的’。因?yàn)�，�?jì)算結(jié)果證明：初始條件的極微小變化,可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的巨大差別。而氣象預(yù)報(bào)的初始條件,則由極不穩(wěn)定的環(huán)球的大氣流所決定。這個(gè)結(jié)論被他形象地稱為‘蝴蝶效應(yīng)’，用以形容結(jié)果對(duì)初值的極其敏感。意思是說(shuō)，只是因?yàn)榘臀鞯囊恢缓秳?dòng)了一下翅膀，而改變了氣象站所掌握的初始資料，三個(gè)月之后，就有可能引發(fā)美國(guó)德克薩斯州出乎意料之外地刮起一陣未曾預(yù)報(bào)到的龍卷風(fēng)。用中國(guó)人的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，則叫做：‘差之毫厘,失之千里’也。 圖（2.4.2）：‘蝴蝶效應(yīng)’示意圖王二笑著說(shuō)：“好像也有人說(shuō)，叫做蝴蝶效應(yīng)是因?yàn)槁鍋銎澪拥膱D看起來(lái)很像兩個(gè)抖動(dòng)的蝴蝶翅膀。不管怎么樣，我喜歡這個(gè)名字，這個(gè)名字也啟發(fā)了文學(xué)藝術(shù)家們無(wú)限的想象，產(chǎn)生出不少作品……”‘洛倫茨吸引子’是第一個(gè)被深入研究的‘奇異吸引子’。洛倫茲模型是第一個(gè)被詳細(xì)研究過(guò)的可產(chǎn)生混沌的非線性系統(tǒng)。張三說(shuō)：“具有‘奇異吸引子’的系統(tǒng)應(yīng)該是比較少的特例吧？我記得在洛倫茨的方程組中有一個(gè)叫瑞利數(shù)的參數(shù)R，當(dāng)R=28的時(shí)候，方程才有混沌解。在許多別的R值，哈哈，巴西的蝴蝶煽動(dòng)不煽動(dòng)翅膀都沒(méi)關(guān)系的！”可李四說(shuō)，這是一個(gè)誤解。其實(shí),象洛倫茨發(fā)現(xiàn)的這類(lèi)具有‘奇異吸引子’的系統(tǒng)并非什么鳳毛麟角的例外，而是自然界隨處可見(jiàn)的極普遍的現(xiàn)象，是經(jīng)典力學(xué)所描述的事物的常規(guī)。然而，經(jīng)典力學(xué)已建立三百多年,為什么經(jīng)典系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象卻直到三十多年前才被發(fā)現(xiàn)呢?這其中的原因不外乎如下幾點(diǎn):一是人們的觀念上總是容易被成熟的,權(quán)威的理論所束縛;二則又是與近二,三十年來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)展分不開(kāi)的。洛倫茨吸引子被發(fā)現(xiàn)之后,許多類(lèi)似的研究結(jié)果也相繼問(wèn)世。有趣的是，各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家還紛紛抱怨說(shuō)他們?cè)缇陀^測(cè)到諸如此類(lèi)的現(xiàn)象了�？墒钱�(dāng)時(shí)，或是得不到上司的認(rèn)可,或是文章難以發(fā)表,或是自己以為測(cè)量不夠精確,或是認(rèn)為由于噪聲的影響,等等等等�？偠灾�，各種原因，使他們失去了千載難逢的第一個(gè)發(fā)現(xiàn)奇異吸引子，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的機(jī)會(huì)。王二提出一個(gè)使他迷惑的問(wèn)題：“剛才說(shuō)到：奇異吸引子的行為廣泛地存在于經(jīng)典力學(xué)所描述的現(xiàn)象中。這句話是什么意思��？奇異吸引子不是與經(jīng)典吸引子不同嗎？”李四說(shuō)：“這兒，‘經(jīng)典’這個(gè)字用得有點(diǎn)混淆。本來(lái)，所謂經(jīng)典物理，是指有別于量子物理而言。奇異吸引子與量子物理是兩回事。比如說(shuō)吧，洛倫茨得到的微分方程組，是從經(jīng)典物理理論、經(jīng)典力學(xué)規(guī)律得到的方程組。既不是隨機(jī)統(tǒng)計(jì)的，也與量子理論無(wú)關(guān)。但是，這種符合經(jīng)典理論的方程卻有混沌行為的解。”奇異吸引子的行為廣泛地存在于經(jīng)典力學(xué)所描述的現(xiàn)象中，存在于各類(lèi)非線性系統(tǒng)中。由于‘奇異吸引子’和‘混沌行為’是非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，這些發(fā)現(xiàn)，又將非線性數(shù)學(xué)的研究推至高潮。上個(gè)世紀(jì)的八十年代，九十年代，各門(mén)傳統(tǒng)學(xué)科都在譜寫(xiě)自己的非線性篇章，即使在人文，社會(huì)學(xué)的研究系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了一批奇異吸引子和混沌運(yùn)動(dòng)的實(shí)例。因此，混沌理論的創(chuàng)立與牛頓的經(jīng)典理論發(fā)生沖突，給了決定論致命的一擊，拉普拉斯妖也無(wú)能為力了。張三卻仍然固執(zhí)己見(jiàn)，說(shuō)：“蝴蝶效應(yīng)雖然說(shuō)明了某些情況下，結(jié)果對(duì)初值非常敏感，但是，這并不等于就否定了決定論啊！比如說(shuō)到洛倫茨的天氣預(yù)報(bào)吧，由于混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，目前的計(jì)算技術(shù)使他的誤差在四天后增加一倍，但是如果將來(lái)計(jì)算機(jī)的速度加快、精度提高，對(duì)初始值也測(cè)量得更準(zhǔn)確，就可能使得誤差在四十天、或四百天后，才增加一倍，這不就等于能‘準(zhǔn)確預(yù)報(bào)’了嗎？我覺(jué)得世界還是決定論的，只是計(jì)算及測(cè)量的精度問(wèn)題……”王二不同意，但卻反駁不到點(diǎn)子上，他只是堅(jiān)信決定論是不對(duì)的：“怎么可能像拉普拉斯妖所說(shuō)那樣，這個(gè)世界，還有你、我、他，將來(lái)的一切都被決定了呢？我們?nèi)齻�(gè)人此時(shí)此刻說(shuō)的每一句話都在大爆炸的那個(gè)時(shí)刻就決定了，這聽(tīng)起來(lái)太荒謬絕倫了吧。事情的發(fā)展太多偶然因素，不可能都是命中注定的……”張三大笑：“你那天不是還在朗誦一首詩(shī)，說(shuō)林零是你命中注定的愛(ài)人嗎……”王二急了：“唉，你不懂，那是情感的宣泄、文學(xué)的東西……不是科學(xué)……”李四則認(rèn)為，數(shù)學(xué)解決不了決定論還是非決定論的問(wèn)題。就物理學(xué)的角度而言，起碼有兩點(diǎn)證據(jù)，不支持決定論。一是已經(jīng)有100多年歷史的量子理論的發(fā)展。量子物理中的不確定原理表明：位置和動(dòng)量不可能同時(shí)確定，時(shí)間和能量也不可能同時(shí)確定。因此，初始條件是不確定的，永遠(yuǎn)不可能有所謂‘準(zhǔn)確的初始條件’，當(dāng)然，結(jié)果也就不可能確定。這是其一。另外，經(jīng)典的物理規(guī)律，大多數(shù)都是用微分方程組的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述的。建立微分方程的目的，本來(lái)就是為了研究那些確定的、有限維的、可微的演化過(guò)程。因此，微分方程的理論是機(jī)械決定論的基礎(chǔ)。但是，微分方程組不一定就真是描述世界所有現(xiàn)象的最好方法，事實(shí)上，在牛頓力學(xué)以外的許多物理現(xiàn)象，不能只用微分方程來(lái)研究，而對(duì)大自然中廣泛存在的分形結(jié)構(gòu)、物理中的湍流、布朗運(yùn)動(dòng)、生命形成過(guò)程，等等，微分方程理論也是勉為其難，力不從心。既然作為決定論基礎(chǔ)的微分方程并不能用來(lái)解決世界的許多問(wèn)題，“皮之不存，毛將焉附”�；A(chǔ)沒(méi)有了，決定論失去了依托，拉普拉斯妖還有話說(shuō)嗎？恐怕只能躲在天國(guó)里唉聲嘆氣了！……
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