作品介紹
與數(shù)學優(yōu)秀生一起思考清華新世紀教育教學金典叢書
作者：金榮生 整理日期：2016-04-26 00:46:35
怎樣思考才能夠品味到數(shù)學之美數(shù)學實質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化!數(shù)學的發(fā)展依賴于數(shù)學家的創(chuàng)造"數(shù)學學習要重視親
身體驗"其核心是學生的“再創(chuàng)造”！在本書中"作者就如何培養(yǎng)數(shù)學優(yōu)秀生"用學生自己的
思維方式進行再創(chuàng)造做了詳細的講述!
作者簡介：
金榮生，上海市數(shù)學特級教師、市北中學校長助理、上海市基礎教育特聘教授。曾獲第10屆蘇步青數(shù)學教育獎一等獎。在市北中學組建“我愛數(shù)學社”，創(chuàng)辦校本數(shù)學雜志《簡單》，其指導的學生陳波宇曾獲第三屆丘成桐中學數(shù)學獎金獎。在《數(shù)學通報》《數(shù)學教學》等雜志發(fā)表論文20余篇。
目錄：
1?3好玩的數(shù)學50“我愛你”的逆否命題531?4大哉，數(shù)學之為用54最優(yōu)逃生線路562?提問，創(chuàng)新的起點582?1質(zhì)疑58同年同月同日生的概率究竟是多少？622?2類比67三項式定理712?3歸納73關于sinnx展開式的猜想762?4考慮逆向問題77記一堂數(shù)列探究課812?5從不同的角度看問題84證2003年聯(lián)賽不等式題的多種方法88求二元一次不等式表示區(qū)域的一種新方法90線面垂直判定定理的一種新證法91一道數(shù)列題的多種解法912?6生活中的問題92汽車轉(zhuǎn)彎路寬的估計963?從簡單開始，一種探究的策略993?1特例探路100不含孤立元的子集個數(shù)的探索103一個反例的構(gòu)造1083?2著眼于極端情況110圓錐曲線中的蝴蝶定理及其應用112一個下界的探求116IXVIII3?3分類討論117三階幻方的性質(zhì)研究119“井”字游戲討論122再論與空間不共面的四點距離為定比的平面?zhèn)�數(shù)130一類軌跡問題的探求1323?4爬坡式推理135怎樣求1k2k…nk?137高斯求和的推廣138關于兩點的球面距離的探究1414?信息技術(shù)，一種幫助我們思考的工具1434?1作圖143頂點在圓錐曲線上的直角三角形的一個性質(zhì)147利用幾何畫板探索函數(shù)f(x)=xax的性質(zhì)148運用幾何畫板的迭代功能畫曼德布羅特分形集1504?2計算152折角過道問題155用TI編程求整點最優(yōu)解159最優(yōu)解問題的處理方式161用編程求解簡單的數(shù)論問題167利用幾何畫板探索x-x1x-x2…x-xn的最小值1684?3模擬170用隨機數(shù)求π的近似值171TI中利用隨機數(shù)畫分形曲線172讓學生用幾何畫板做數(shù)學173利用幾何畫板探索一類最短距離問題177第3章不能急，我們都需要鼓勵的目光179成長1791?把學生一輩子的成長裝在心里1801?1要讓學生學會思考182三折線段構(gòu)成三角形的概率問題及其推廣1831?2潤物還需細無聲189追求自然的數(shù)學課堂1921?3失誤也能帶來精彩1932?《簡單》，我們自己的數(shù)學雜志1972?1《簡單》創(chuàng)刊了197給我們的刊物起名198為什么要辦這本雜志？198如何辦好這本雜志？199給誰看？200現(xiàn)在我來向大家介紹一下這本雜志的第一期200我來談談第二期201Mandelbrot集202卷首語2032?2想法從哪里來203一定要有自己的想法203數(shù)學有趣的一面更需要被我們發(fā)現(xiàn)和重視204數(shù)學武俠小說——刀刀斬出玲瓏面2052?3你的路未止于此207參考文獻210 前言
上海市市北中學首任校長唐乃康早在百年前就指出：“教誨學子，首在葆其天真。”要培養(yǎng)數(shù)學優(yōu)秀生，比知識更重要的是好奇心。首先要學生保持對世界、對數(shù)學的一種純真的態(tài)度，再選擇適合學生特點的方法來教育學生，發(fā)揮長處，彌補不足，促進全面發(fā)展。
如何切實落實《普通高中課程標準》中所提出的“高中數(shù)學課程應具有多樣性和選擇性，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，真正做到“以學生的發(fā)展為本”，重視人的差異性和個性，重視社會對人才的多層次需求，使對數(shù)學有特殊興趣或特殊天賦的學生有進一步發(fā)展的空間？可以說，中國學生的數(shù)學平均成績在世界上處于領先地位，但是數(shù)學優(yōu)秀生所受的數(shù)學教育遠不如西方國家，對數(shù)學優(yōu)秀生的學習特點和培養(yǎng)策略開展研究，具有十分重要的意義。
陳波宇是我最得意的學生之一。他關于維爾斯特拉斯函數(shù)的數(shù)學論文，在全球582個參賽隊中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學數(shù)學獎（Shing?Tung YauHigh School Ma
上海市市北中學首任校長唐乃康早在百年前就指出：“教誨學子，首在葆其天真。”要培養(yǎng)數(shù)學優(yōu)秀生，比知識更重要的是好奇心。首先要學生保持對世界、對數(shù)學的一種純真的態(tài)度，再選擇適合學生特點的方法來教育學生，發(fā)揮長處，彌補不足，促進全面發(fā)展。
如何切實落實《普通高中課程標準》中所提出的“高中數(shù)學課程應具有多樣性和選擇性，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，真正做到“以學生的發(fā)展為本”，重視人的差異性和個性，重視社會對人才的多層次需求，使對數(shù)學有特殊興趣或特殊天賦的學生有進一步發(fā)展的空間？可以說，中國學生的數(shù)學平均成績在世界上處于領先地位，但是數(shù)學優(yōu)秀生所受的數(shù)學教育遠不如西方國家，對數(shù)學優(yōu)秀生的學習特點和培養(yǎng)策略開展研究，具有十分重要的意義。
陳波宇是我最得意的學生之一。他關于維爾斯特拉斯函數(shù)的數(shù)學論文，在全球582個參賽隊中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學數(shù)學獎（Shing?TungYauHighSchoolMathematicsAward）唯一的金獎。
按常規(guī)的數(shù)學人才“擅長解題”的標準，陳波宇在我們班并非特別出挑。就他最后的高考數(shù)學分數(shù)136分而言，在我們班46人中排名第21位，僅比班級平均分高2分。但在高一開學前的家訪中我就發(fā)現(xiàn)，他是真的喜歡數(shù)學，他沉迷于看《幾何原本》等數(shù)學經(jīng)典著作。在上課時，我喜歡引導學生大膽質(zhì)疑，讓學生發(fā)表自己的看法，有時我們會就一道題而展開激烈的爭論。陳波宇就是一個喜歡與我爭論的學生：他會發(fā)現(xiàn)我講課中的漏洞；他會提出自己對數(shù)學問題的獨到想法；有時候我們在課堂上提出一個數(shù)學猜想，過了若干時間，當我也把這個猜想忘記了的時候，陳波宇可能會來與我討論這個猜想，他是能長時間地思考一個數(shù)學問題的人。陳波宇的這些特質(zhì)在常規(guī)的考試中不見得能起作用，但我認為他非常適合做數(shù)學研究。
對陳波宇的教育，我的成功之處在于以下三點：
一、一份期待：天生他材必有用
陳波宇喜歡泡圖書館、讀課外書，事實上他后面撰寫的論文就是有關大學微積分的內(nèi)容，其難度可以作為研究生的畢業(yè)論文，這些知識都是陳波宇在課余通過自學獲得的。這些閱讀和對新知識的入迷都需要花費大量的時間，他也曾經(jīng)因此而遲交作業(yè)、上課遲到、影響高中學科的學習，但我一直相信天生他材必有用，對他的學習我經(jīng)常提醒、鼓勵，而不去限制。
二、一種氛圍：哪里有數(shù)，哪里就有美
我的學生王夢橋曾說：“在市北沒有被困于升學與競賽的壓力和指標，而是可以真切地去接觸數(shù)學的有趣和美麗，從單純應試做題的機械乏味轉(zhuǎn)變?yōu)閷硇灾赖男蕾p贊嘆。TI圖形計算器上繪制的那些設想奇妙的畫面，曼德布羅特分形構(gòu)造出的斑斕圖案，用乒乓球捏成的正二十面體，三年來我不知多少次感到驚奇與震撼。”
前言讓學生因為數(shù)學理性思維的美而熱愛數(shù)學，讓學生在學數(shù)學的過程中體驗成功，一直是我努力的方向，陳波宇對數(shù)學持久的熱愛，也得益于他在一個熱愛數(shù)學的班級。
三、一本雜志：創(chuàng)新，從《簡單》開始
學習數(shù)學的興趣總是和成功的喜悅緊密相連的，如獨立地解決一道數(shù)學難題、做出一個數(shù)學猜想、想出一種新的解題方法等，都能使學生從這些“成功”中體驗到創(chuàng)造的喜悅，激發(fā)起更高的學習熱情。我鼓勵學生將數(shù)學學習中的感悟以小論文的形式記錄下來，編輯成“校本”（schoolbased）雜志，雜志名字叫《簡單》。學生自己寫稿、審稿、編輯、排版。雜志中有數(shù)學小論文、數(shù)學小說、數(shù)學游戲攻略等，文章雖然“簡單”，但都有學生自己的想法，對學生本人來說是一種創(chuàng)新，這些創(chuàng)作能喚起同學們對數(shù)學問題的思考。
陳波宇在高中階段寫了兩篇論文，第一篇是《簡單》第一期的第一篇;第二篇是《簡單》第二期的第一篇，就是后來獲得了丘成桐獎的這一篇。
由于陳波宇在英語等學科上的基礎較差，我也擔心他的升學和考試成績。無心插柳柳成蔭，學生的數(shù)學學習興趣和信心的提升，也促進了學生的全面發(fā)展，陳波宇的弱勢學科在高中最后一年取得了長足的進步。
教育學生不能只看學生眼前的成績，要看到他未來20年的發(fā)展。
在我20多年教學工作中，培養(yǎng)了許多讓我引以為傲的學生，如溫州中學第一個進奧林匹克數(shù)學國家集訓隊的學生陳然、溫州中學第一個進浙江省隊參加數(shù)學冬令營的學生王中要、市北中學第一個參加數(shù)學冬令營的學生江昊琛等。本書也是對《數(shù)學，引導學生創(chuàng)新》金榮生.數(shù)學，引導學生創(chuàng)新［M］.上海：上海教育出版社,2011.的擴寫，是我培養(yǎng)數(shù)學優(yōu)秀生實踐與思考的總結(jié)。
本書能夠成稿并得以出版，離不開顧鴻達先生、杭順清先生、李大元先生、方仁工先生、溫州中學校長胡海帆先生和市北中學校長陳軍先生的鼓勵與指導，離不開我的學生的幫助與支持，在這里深表感謝！宗介華先生為我們的工作付出了大量的勞動，在此一并致謝！平臺·成果·搖籃
我們正處在這樣一個時期，傳統(tǒng)的教育理論在相當程度上仍然影響著我們的
教學實踐，而引進的多種現(xiàn)代教育理論，在給我們帶來啟示與借鑒的同時，尚難
以通過與中國教育實踐的整合形成體系。所以，努力創(chuàng)造適合我國國情的教育就
成為深化教育改革的迫切任務。
《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2027年）》指出，進一步提
高我國基礎教育水平，當前最重要的任務，一方面是推進教育公平，促進義務教
育的均衡發(fā)展；另一方面是提高教育質(zhì)量，全面推進素質(zhì)教育。我國基礎教育的
規(guī)模發(fā)展已經(jīng)取得令世人矚目的成就，接受教育的機會公平問題已經(jīng)基本解決，
但是接受保證教育質(zhì)量的機會公平問題依然突出，基礎教育的主要任務已經(jīng)從規(guī)平臺·成果·搖籃
我們正處在這樣一個時期，傳統(tǒng)的教育理論在相當程度上仍然影響著我們的
教學實踐，而引進的多種現(xiàn)代教育理論，在給我們帶來啟示與借鑒的同時，尚難
以通過與中國教育實踐的整合形成體系。所以，努力創(chuàng)造適合我國國情的教育就
成為深化教育改革的迫切任務。
《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2027年）》指出，進一步提
高我國基礎教育水平，當前最重要的任務，一方面是推進教育公平，促進義務教
育的均衡發(fā)展；另一方面是提高教育質(zhì)量，全面推進素質(zhì)教育。我國基礎教育的
規(guī)模發(fā)展已經(jīng)取得令世人矚目的成就，接受教育的機會公平問題已經(jīng)基本解決，
但是接受保證教育質(zhì)量的機會公平問題依然突出，基礎教育的主要任務已經(jīng)從規(guī)
模發(fā)展轉(zhuǎn)向內(nèi)涵發(fā)展，提高教育質(zhì)量成為今后基礎教育改革與發(fā)展的著力點。
提高教育質(zhì)量，重要途徑是深化教育改革，創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式�；A教育將
以繼續(xù)深化課程改革為重點，堅定不移地推進基礎教育領域的各項改革，不斷提
升教育的整體水平。
中國的教育事業(yè)正伴隨著社會的變化經(jīng)歷著艱難的轉(zhuǎn)型。教育從來沒有像今
天這樣有著這么多的利益相關體，引起社會這樣廣泛的關注；也從來沒有像今天
這樣，人們借鑒國內(nèi)外各種教育理論，從不同的視角來審視中國的教育問題；更
沒有像今天這樣，每一種教育主張的提出，都會產(chǎn)生多種反響，引起不同的評價。
這是社會轉(zhuǎn)型期活力的張揚，也是社會轉(zhuǎn)型期發(fā)展的困惑，歸根結(jié)底是對教育工
作者如何正確地回答中國面臨的諸多教育問題的挑戰(zhàn)。歷史經(jīng)驗證明，由于社會
轉(zhuǎn)型期提出的教育問題最多，所以，也最需要和最可能有一批教育工作者從理論和實踐相結(jié)合的角度來進行回答，能夠回答其中一個或者幾個問題的人，就是教
育家。我們現(xiàn)在所處的時代正是最需要和最可能產(chǎn)生教育家的時代。中國是世界
上學校數(shù)量最多的國家，中國需要教育家辦學當然不是只需要幾個人，我們期待
著每一位教育工作者，都正視當前教育存在的問題，都努力從自己的崗位上用革
新者的姿態(tài)探索解決問題的途徑，創(chuàng)造突出的業(yè)績。這是當代教育工作者的歷史
使命與責任擔當。
教育事業(yè)的發(fā)展需要理念與實踐的引領與示范，轉(zhuǎn)型期的教育事業(yè)發(fā)展更需
要理念與實踐的引領與示范。優(yōu)質(zhì)教育歸根結(jié)底是優(yōu)質(zhì)學校和優(yōu)質(zhì)教師進行的教
育，素質(zhì)教育歸根結(jié)底是高素質(zhì)學校和高素質(zhì)教師進行的教育。基礎教育要聚焦
于學校發(fā)展和教師隊伍建設，進一步激發(fā)廣大教育工作者的積極性和創(chuàng)造熱情。
教育是科學，教育是藝術(shù)，教育更是一種修煉。這套叢書的出版目的就是搭建一
個教師專業(yè)發(fā)展的平臺，展示廣大教育工作者改革與創(chuàng)新的成果，使其成為促進
教育家成長的搖籃。
我祝賀它的出版，希望它能成為教育工作者的朋友，為我國新世紀偉大教育
目標的實現(xiàn)增添一份助力!第1章
數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”
著名數(shù)學教育學家弗賴登塔爾認為，數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”，數(shù)學是最容易創(chuàng)造的一門科學.
數(shù)學實質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化.數(shù)學的發(fā)展依賴于數(shù)學家的創(chuàng)造，學習數(shù)學同樣要重視學生的親身體驗，用學生自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數(shù)學知識.教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學生，而是應該創(chuàng)造合適的條件，提供具體的例子，讓學生在實踐的過程中，自己“再創(chuàng)造”出各種運算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關的各種定律.
建構(gòu)主義學習理論認為學習者存在個體差異，這不僅是指主體已具有的知識，而且也包含了認知風格、學習態(tài)度、信心、觀念和學習動機等，學習活動在很大程度上取決于主體已有的知識和經(jīng)驗.知識不能簡單地通過教師傳授得到，而是每個學生在一定的情境即社會文化背景下，借助教師和同學的幫助，利用必要的學習資料，通過人際間的協(xié)作活動，依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗主動地加以意義建構(gòu).因此，“情境”“協(xié)作”“交流”和“意義建構(gòu)”是學習環(huán)境中的四大要素.其理論核心可以概括為：以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構(gòu).因此數(shù)學學習是主體對數(shù)學知識的認識過程，學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿、練習等被動的吸收過程，而應是在教師指導下的主動建構(gòu)學習的過程；這個建構(gòu)過程依賴于學習者已有的認知結(jié)構(gòu)，因此必須具有個體的特殊性.
當我們在進行優(yōu)秀生的分班培養(yǎng)是否與教育平等相違背的爭論時，2500多年前孔子早就給出了答案，既要“有教無類”也要“因材施教”.“因材施教”是宋代“二程”（北宋思想家、教育家程顥、程頤的并稱）和朱熹從孔子的教育實踐活動中概括出來的，曰：“夫子教人，各因其材”.孔子能夠針對學生的性格特點和智力水平，用不同的方法進行教育，把學生培養(yǎng)成各種不同的人才.孔子在《論語·雍也》中指出“中人以上，可以語上也；中人以下，不可以語上也”，就是說：“中等水平以上的人，可以告訴他高深學問；中等水平以下的人，不可以告訴他高深學問”.
加德納的多元智能理論指出，人的智能領域是多方面的，每個學生都有自己的智力強項和學習風格.多元智能理論強調(diào)每個個體不可能擁有完全相同的智能，單個個體有很高的某種智能，卻不一定有同樣程度的其他智能.這種內(nèi)隱的智能差異的外顯化就是學生的個體差異性，只有當這種差異性被考慮到時，教學才是有效的.
相對于教師主導取向的有意義接受學習，數(shù)學優(yōu)秀生更需要自主取向的深究學習.鞏子坤，宋乃慶.數(shù)學優(yōu)秀生培養(yǎng)中需明確的幾個觀點［J］.當代教育科學，2004（21）：61-62.對數(shù)學優(yōu)秀生的培養(yǎng)，最重要的是學習能力的培養(yǎng).教是為了不教，就是做“授之以漁”的工作，教學生學會思考問題，然后讓他們用自己的創(chuàng)造思維去學習.
1?探究性學習，一種優(yōu)秀生的培養(yǎng)策略
1?1優(yōu)秀生的培養(yǎng)模式
世界范圍的綜合國力競爭，歸根到底是人才特別是創(chuàng)新型人才的競爭.我國科技人才總量居世界前列，但創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)拔尖人才和領軍人才嚴重不足.
第1章數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”美國有英才教育的政策和法律，1958年頒布的《國防教育法》指出：“為了國家的安全，必須選拔大批的天才兒童，并努力進行天才教育”，1973年通過了《天才教育法》.潘發(fā)勤，楊得國.英才教育·素質(zhì)教育·學科結(jié)構(gòu)［J］.上海教育科學，1997（1）：16-18，21.
法國的教育受拿破侖的影響很深，拿破侖認為“教育好20%的人口很重要，因為這20%的人是帶動法國前進的火車頭”.袁震東.教育公平與英才教育——數(shù)學教育改革中的一個重大問題［J］.數(shù)學教學，2003（7）：封2.
在日本，精英教育曾被視為違反教育民主的制度而受到批判，但過度的教育平等嚴重阻礙優(yōu)秀人才的培養(yǎng).1978年，當時的首相福田赳夫指出：“日本在經(jīng)濟趕超的時代依靠的是模仿，但是今后必須具有獨創(chuàng)性的能力.因此，實施‘英才教育’的時代來臨了.”日本文部科學省2002年公布的《勸學》，及稍后由日本文部科學大臣遠山敦子發(fā)布的《開拓新時代——培養(yǎng)有能力的日本人，從整齊劃一到自立和創(chuàng)造》都強調(diào)了“英才教育”的理念.趙晉平.從理科高中看日本的精英教育［J］.外國教育研究，2004（5）:24-28.
英吳明海.英國伊頓公學的英才教育［J］.中國教師，2005（5）：53-55.原青林.英國公學英才教育的主要特點探析［J］.外國中小學教育,2006（12）:12-18.、德閆瑾.德國培養(yǎng)科研后備人才的政策措施［J］.世界教育信息，2008（3）：15-17.、俄倪明.從戰(zhàn)略上重視數(shù)學英才教育——俄羅斯數(shù)學物理學校的啟示［J］.數(shù)學教學,2006（12）:封2，49.、韓李水山.韓國的“平準化教育”和英才教育的發(fā)展［J］.基礎教育參考，2007（8）：29-30.等國家也都有針對英才培養(yǎng)的措施和政策.
在我國，1993年教育部基礎教育司委托北大附中、清華附中、北師大附中、華師大二附中四所學校辦高中理科實驗班.受此影響，許多省市重點中學也辦了針對數(shù)學或理科優(yōu)秀生的實驗班.10多年來，理科實驗班在優(yōu)秀學生的教育教學方面進行了積極探索和有益嘗試，但是也引起了社會上對教育公平、學科競賽的利弊等問題的爭論.2004年教育部辦公廳下發(fā)了《關于全國理科實驗班停止招生的通知》，于是大部分學校又停止了或名義上停止了理科實驗班的招生.在轟轟烈烈的理科實驗班教育的實驗中，常見各個學校理科競賽成績的羅列，少見教育得失的探討，更少見優(yōu)秀生教育規(guī)律的研究.
近二十年來對英才教育與素質(zhì)教育的探討一直異常激烈.有人將英才教育與素質(zhì)教育相對立，認為我國教育的弊端在于只重視英才而忽略了大多數(shù).而教育家呂型偉認為：“我國為什么沒有涌現(xiàn)世界級大師，沒有涌現(xiàn)特別出類拔萃的頂尖人才，甚至沒有超過前輩頂尖人物的人才，在國內(nèi)沒有一個得諾貝爾獎的.一個原因是只講全面發(fā)展，不許講個性發(fā)展，結(jié)果是實行‘求全責備，扼長補短，求同去異’，學生的才能受到壓制，特別是壓制了那些奇才、怪才、偏才和狂才，不少有才華的學生被扼殺在搖籃里了.”呂型偉.要重視英才教育問題［J］.教育發(fā)展研究，1999（5）：12-15.教育家張奠宙指出：“高考體制，是制約數(shù)學優(yōu)秀生成長的瓶頸，減負且深挖洞，形成了陷阱式的考試題，大家一齊陪著做，沒有多少數(shù)學含量.”張奠宙，趙小平.高校自主招生和數(shù)學英才培養(yǎng)［J］.數(shù)學教學,2006（12）:封底.正所謂“高考減負一刀平，數(shù)學英才何處尋？”
從“不懂幾何者莫入”的柏拉圖的學園到現(xiàn)在各國普遍開設的數(shù)學物理學校，人類在數(shù)學優(yōu)秀生的培養(yǎng)上積累了豐富的經(jīng)驗.
數(shù)學優(yōu)秀生培養(yǎng)歷史中的標志性事件是匈牙利男爵埃特沃斯在1894年舉辦的匈牙利中學生數(shù)學競賽，及建立數(shù)學物理特設學校，由此鼓舞了一批數(shù)學天才，后來匈牙利產(chǎn)生了許多著名科學家，比如分析學家費葉爾、舍貴、拉多、哈爾、里斯，組合數(shù)學家蔻尼希，以及著名力學家馮·卡門，著名經(jīng)濟學家、1994年因博弈論而獲諾貝爾經(jīng)濟學獎的豪爾紹尼等鼎鼎大名的人物.
數(shù)學競賽成為培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學英才的一個重要途徑.在蘇聯(lián)，人們把數(shù)學競賽稱作“數(shù)學奧林匹克”，認為數(shù)學是“思維的體操”.1934年在列寧格勒（今圣彼得堡），著名數(shù)學家狄隆涅主持舉辦了中學生數(shù)學競賽；1935年，莫斯科也開始舉辦數(shù)學競賽；1961年全俄（后改“全蘇”）數(shù)學競賽舉辦.在美國，1938年開始舉辦普特南數(shù)學競賽，獲獎者中有的后來成為杰出人物——菲爾茲獎獲得者芒福德、米爾諾、奎倫和諾貝爾物理學獎得主費曼、威爾遜等；1972年起，開始舉辦美國數(shù)學奧林匹克，最終選拔出來的國家隊隊員得以與父母一同到白宮接受總統(tǒng)接見.1956年，在著名數(shù)學家華羅庚、蘇步青等人的倡導下，由中國數(shù)學會發(fā)起，北京、天津、上海、武漢首先舉辦了高中數(shù)學競賽，此后由于各種原因而中斷.1978年，隨著“科學的春天”的到來，華羅庚主持了全國八省市的中學數(shù)學競賽.1981年，中國數(shù)學會決定舉行全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽.從1985年開始我國派隊參加了IMO（國際數(shù)學奧林匹克），并且在IMO上取得了非常優(yōu)異的成績.可以說我國的數(shù)學競賽起步較晚，但后勁十足.第一屆IMO于1959年在羅馬尼亞舉辦，IMO為發(fā)現(xiàn)數(shù)學人才做出了突出貢獻，許多IMO優(yōu)勝者后來成了杰出的數(shù)學家，如沃爾夫獎獲得者盧瓦茲、菲爾茲獎獲得者德林菲爾德、約克茲、博切茲、高爾斯、馬古利斯、拉佛閣、佩雷爾曼、陶哲軒、吳寶珠等.熊斌，葛之.歷史與現(xiàn)實：中國奧林匹克數(shù)學競賽現(xiàn)象的背后［N］.中華讀書報,2005-04-27.曾獲2000年第41屆IMO滿分金牌的惲之瑋，因在“表示論、代數(shù)幾何和數(shù)論等方向諸多基本性的貢獻”榮獲2012年“拉馬努金”獎，這標志著我國的IMO獲獎者，開始走向數(shù)學研究領域的最前沿.
匈牙利的特設學校成了蘇聯(lián)數(shù)學物理學校的模型，再以后蘇聯(lián)數(shù)學物理學校引起了美國、英國和其他國家精英學校的產(chǎn)生，由此拉開了區(qū)別一般學生教育的精英教育的序幕，并建立了一整套特長生培養(yǎng)的課程安排、學生選擇、培養(yǎng)措施、發(fā)展規(guī)劃等培養(yǎng)體系.20世紀80年代末，蘇聯(lián)有各種類型的數(shù)學中學近300所，每年的畢業(yè)生約占全國中學畢業(yè)生的3%,因解決了龐加萊猜想而在2006年世界數(shù)學家大會上獲菲爾茲獎的佩雷爾曼，就是從列寧格勒數(shù)學物理中學成長起來的.倪明.從戰(zhàn)略上重視數(shù)學英才教育——俄羅斯數(shù)學物理學校的啟示［J］.數(shù)學教學,2006（12）:封2，49.
數(shù)學優(yōu)秀生的數(shù)學課程安排，主要有兩種模式.
一種注重數(shù)學知識的學習，把大學的數(shù)學內(nèi)容提早滲透到高中課程中，強調(diào)數(shù)學知識加深，教學進度加快.如大數(shù)學家A?H?柯爾莫哥羅夫為莫斯科大學附屬數(shù)學物理寄宿學校制定的“深入學習數(shù)學的學�；虬嗉壍慕虒W大綱”的指導思想是：包含寬廣的知識面，基本原理和基本理論，以及這些原理和理論建立和發(fā)展的歷史過程、思想實質(zhì)、相應的事實、豐富的具體材料——聯(lián)系于當前和可以預見的未來的社會實踐.其中的《幾何學》內(nèi)容包括：綜合幾何、向量幾何、球面幾何、仿射幾何，以及相對論中的幾何.同上.在美國弗吉尼亞的Fairfax郡的中學，學校讓數(shù)學單科突出的學生直接進入適合他們的高年級單科班學習，甚至對數(shù)學成績特別優(yōu)異的學生，學校會派校車送他到附近的大學由教授專門輔導.李永智.美國的英才教育與因材施教［J］.基礎教育參考，2004（4）：15.美國高中開設的AP課程（美國大學預修課程）和Honor課程（榮譽課程），都是為那些對數(shù)學特別有興趣或有特殊天賦的學生開設的，學生學習AP課程并通過統(tǒng)一考試，在大學可以免修該課.一些著名大學以學生學過若干門AP課程或Honor課程作為入學的必要條件.一些拔尖的學生還可以到就近的大學學習一兩門課.袁震東.教育公平與英才教育——數(shù)學教育改革中的一個重大問題［J］.數(shù)學教學,2003（7）：封2.
另一種注重數(shù)學研究能力的培養(yǎng)，注重學生單獨的或者互相合作的小課題研究或數(shù)學建模等活動.如莫斯科57中學和彼得堡AnichkovLycee學校鼓勵學生不依賴講義、教科書及參考資料而獨立地建立數(shù)學定理和方法，通過討論會、研究班等形式挑戰(zhàn)學術(shù)研究課題.熊曉東.熊曉東教育論文——英才教育在中國［M］.上海：百家出版社，2005:25-41.
1?2國內(nèi)外數(shù)學探究性學習的研究現(xiàn)狀
探究性學習是指學生在教師的指導下，通過觀察、分析、類比、歸納、猜想、證明，或通過調(diào)查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，探索發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而獲得知識、技能和態(tài)度的學習方式和學習過程.
20世紀50年代到70年代，探究性學習理論的主要代表是布魯納、施瓦布等人.布魯納提出“發(fā)現(xiàn)學習”的理論.施瓦布教授提出的“探究學習”認為，學生學習的過程與科學家的研究過程在本質(zhì)上是一致的，因此學生應像科學家一樣，以研究者的身份去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并在探究過程中獲取知識、發(fā)展技能、培養(yǎng)能力，特別是培養(yǎng)創(chuàng)造能力，發(fā)展自己的個性.他們從理論上論證了“發(fā)現(xiàn)學習”和“探究學習”的合理性，推動了長時間的課程改革.20世紀80年代，菲爾茲獎獲得者雷內(nèi)·托姆（ReneThom）曾針對中學數(shù)學學習的現(xiàn)狀大聲疾呼：數(shù)學的學習主要應是一個自發(fā)探究的過程，如果認為只需通過大量的生記強練，就會更容易地學到數(shù)學，那無論如何是一個可悲的錯誤.ReneThom.在我的數(shù)學生涯中遇到的問題小結(jié)［J］.周建義譯.數(shù)學譯林，1997,（4）:275-285.
進入21世紀，我國《數(shù)學課程標準》提出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方法.”如今，探究性學習已經(jīng)成為最受關注的學習方式之一.
對數(shù)學探究性學習的研究，國外起步早、研究深.英國數(shù)學教育家布爾斯（Burghes）（1998）認為數(shù)學探究可歸為解難題范疇，從而將探究分成4個層次：（1）思索式探究（難題）；（2）臺級式探究（“過程”或結(jié)合型問題）；（3）決策性問題；（4）實際的問題.美國學者鮑爾和巴斯（Ball&Bass）（2000）就數(shù)學推理問題與探究能力的關系進行了較長時間的實證研究，得出結(jié)論：數(shù)學推理問題的練習對提高探究能力效果顯著，數(shù)學探究性學習依賴于一定的假設——演繹推理活動.埃德爾森（Edelson,D.C.）（2001）以信息技術(shù)為平臺，設計、開發(fā)了幾十個探究教學軟件，推廣到五十多所學校的數(shù)百個班級使用，開辟了數(shù)學探究性學習與計算機技術(shù)相結(jié)合的新視點.寧連華.數(shù)學探究學習研究的特點及其思考［J］.數(shù)學教育學報，2005，14（4）：28-30.
我國對數(shù)學解題的探究學習過程研究較為具體.徐利治通過對數(shù)學方法論的研究，揭示出問題化歸的本質(zhì)，為數(shù)學解題的探究學習過程做了開拓性工作.單墫就數(shù)學競賽題的探索解法及一般性數(shù)學問題的研究過程進行了針對性探討，集中反映在其兩本著作《數(shù)學競賽研究教程》（1993）和《解題研究》（2002）中.余應龍的《數(shù)學探究性學習導讀》（2002）及張廣祥的《數(shù)學中的問題探究》（2003）分別列舉了幾十個可以展開探究活動的中學數(shù)學問題.
2001年，國家《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）明確將“數(shù)學探究”列為3個新增版塊之一，強調(diào)了探究性學習方式在數(shù)學學習中的重要性.隨著數(shù)學課程改革的推動，數(shù)學探究學習研究逐步被重視，在各種數(shù)學教育刊物上，以探究學習為關鍵詞的數(shù)學教學或?qū)W習方面的研究論文日漸豐富，但少有系統(tǒng)的研究成果.
下列教師的研究，與課堂教學密切相連，操作性強.徐光考（2005）從教學實踐中總結(jié)出數(shù)學探究性課堂教學的幾種實施方法：建構(gòu)“較大”的“潛在距離”，實施探究式的變式教學；將數(shù)學教材中的概念、定理、公式、法則等知識的形成過程設計成探究的過程；加強應用性問題、開放性問題的探究教學；重視合情推理教學，讓學生掌握科學的探究方法.徐光考.數(shù)學探究性課堂教學的探索［J］.數(shù)學通報，2005，44（10），24-27.周松（2006）結(jié)合教學案例歸納了數(shù)學探究性學習的四種類型：對數(shù)學知識形成過程的探究，對數(shù)學一般性規(guī)律的探究，對不同數(shù)學知識綜合的探究，對數(shù)學知識與規(guī)律應用的探究.周松.數(shù)學探究性教學的基本類型與實踐［J］.數(shù)學通報，2006，45（1），37-39.張國棣（2007）指出新課程教學應加強學生“探究”方向的指導，具體有：探究數(shù)學概念的起源，滲透數(shù)學文化；探究公式的推廣，提高應用的靈活性；探究問題的變化，形成思維的獨創(chuàng)性；探究問題的歸類，逐步滲透方法論思想；探究知識的“交匯”，提高知識整合能力；探究數(shù)學美，提高數(shù)學審美能力.張國棣.新課程教學應加強學生“探究”方向的指導［J］.數(shù)學通報，2007，46（1），5-8.
寧連華（2006）通過文獻分析和課堂教學實錄考察指出：當前的數(shù)學探究教學設計存在著邏輯起點錯位、針對性不強、解釋力不足和對傳遞性教學設計的習慣性支持等缺陷，根本原因在于兩代教學設計理論（ID1和ID2）的慣性影響力.對探究需要的分析才是數(shù)學探究教學設計的邏輯起點.進行數(shù)學探究活動設計時應注意：“元認知提示語”的啟發(fā)暗示，防止“滑過現(xiàn)象”的發(fā)生，尊重探究過程的“自組織性”.寧連華.數(shù)學探究教學設計研究［J］.數(shù)學教育學報,2006,15（4）:39-41,51.
1?3數(shù)學優(yōu)秀生的學習特點
關于數(shù)學優(yōu)秀生（也稱數(shù)學特長生）的界定，一直有種種不同的說法.有的人以各種考試來認定，數(shù)學考試成績最優(yōu)秀的5%的學生是數(shù)學優(yōu)秀生；有的人以數(shù)學競賽的成績來認定，在數(shù)學奧林匹克中能得獎的學生是數(shù)學優(yōu)秀生；有的以學習效率來認定，不必花費太多的時間和精力，就能得到較好數(shù)學成績的學生是數(shù)學優(yōu)秀生；有的以智力水平高低來認定，智商高且數(shù)學成績好的學生是數(shù)學優(yōu)秀生.唐瑞芬.數(shù)學教學理論選講［M］.上海：華東師范大學出版社，2000：150.美國全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）對數(shù)學優(yōu)秀生的界定側(cè)重于學生對數(shù)學的興趣，對數(shù)學有興趣，能主動地進行數(shù)學學習，且數(shù)學學習速度較快的學生是數(shù)學優(yōu)秀生.這些認識，有的側(cè)重數(shù)學學習結(jié)果，有的側(cè)重數(shù)學學習過程.
天津師大教師王光明（2004）兼顧結(jié)果和過程的觀點：既排除那些不具備內(nèi)在數(shù)學學習動力、學習效率不高、但靠“模仿記憶”和“搞題海戰(zhàn)術(shù)”也能獲得較好數(shù)學認知成績的學生，又應排除那些天賦不錯，但缺乏學習毅力、數(shù)學學習成績不能維持在穩(wěn)定狀態(tài)的學生，將數(shù)學優(yōu)秀生界定為數(shù)學學習興趣濃厚、數(shù)學認知成績好并維持在穩(wěn)定狀態(tài)，而且數(shù)學學習效率高（從過程看，能夠向時間要數(shù)學學習效益；從結(jié)果看，能從數(shù)學認知學習要教育效益）的學生.王光明，王悅.高中數(shù)學優(yōu)秀生與普通生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)差異比較、析因與教學建議［J］.中學數(shù)學教學參考，2004（4）.
從20世紀的經(jīng)驗來說，從開始的匈牙利大學預科和蘇聯(lián)的特設學校到后來相繼成立的美國和亞洲地區(qū)的學校，都指出那些天才學生可以以相當快的進度學習，他們特殊的解決問題的能力和高度的抽象思維能力大大超過了普通學生.李永智.美國的英才教育與因材施教［J］.基礎教育參考，2004（4）：15.
在探究性學習上數(shù)學優(yōu)秀生和普通生還表現(xiàn)出以下差異：
（1）數(shù)學優(yōu)秀生具有較強的探究動力
羅柳英（2005）通過調(diào)查后得出，從一天內(nèi)學習時間分布及一個月內(nèi)數(shù)學學習平均時間分布可以看出，優(yōu)秀生與普通生每天花2個小時左右時間學習數(shù)學，但時間分布卻有明顯差異：在預習、復習、獨立思考方面，優(yōu)秀生L所花時間是普通生X所花時間的2倍；在課堂練習、課外作業(yè)方面，優(yōu)秀生L所花時間是普通生X所花時間的一半左右.從總體看，若以課堂為中心，優(yōu)秀生L學習數(shù)學的時間是靠前的，即他學在老師的前面.普通生X學習數(shù)學的時間是靠后的，即他跟在老師的后面學習.羅柳英.高中數(shù)學優(yōu)秀生與數(shù)學普通生個案研究［J］.中學數(shù)學雜志（高中），2005（5）：23-25.
數(shù)學優(yōu)秀生更喜歡預習，是因為優(yōu)秀生對陌生的數(shù)學知識有著更強的探究源動力.他們經(jīng)常這樣想：“這是什么符號，我怎么沒見過？”他們能更快地感知數(shù)學的美，并想探個究竟，“這是怎么想出來的，太奇怪了，太漂亮了，我怎么想不到？”
如，這是一個在清華大學就讀的學生用短信向我求教的問題：已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對于任意的a,b∈R都滿足
f（a·b）=af（b）bf（a）.
求證：f（x）是常數(shù)函數(shù).我經(jīng)過仔細思考，構(gòu)造了
f（x）=c·xln|x|,x≠00,x=0
為滿足條件的函數(shù)，但非常數(shù)函數(shù)，所以判定原題為錯題.學生認為構(gòu)造的反例很巧妙，又問“反例是怎么想到的”.通過手機短信問我問題的學生，明知道“怎么想到”是很難回答的，有時甚至只可意會不可言傳，她還要追問，可見“怎么想到”是如何的吸引數(shù)學優(yōu)秀生了.金榮生.一個反例的構(gòu)造［J］.中學數(shù)學教學參考，2006（1-2）.
�。�2）數(shù)學優(yōu)秀生具有較強的質(zhì)疑意識
從羅柳英（2005）的學習行為觀察表中的數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)秀生L在課內(nèi)交流的時間是普通生X的3倍，甚至更多.具體表現(xiàn)為：在認真聽講的同時，優(yōu)秀生L認真回答問題的比例為23%，主動發(fā)言15?3%，向老師提問15?3%.普通生X只是認真聽講并認真回答老師提問的比例為19?2%，而主動發(fā)言及向老師提問均為0.羅柳英?高中數(shù)學優(yōu)秀生與數(shù)學普通生個案研究［J］.中學數(shù)學雜志（高中），2005（5）：23-25.
那么，優(yōu)秀生在課堂上的主動發(fā)言以及向老師提問，都有哪些內(nèi)容呢？你會聽到：“我有不同的解法”，“我認為這樣做有漏洞”，“這樣解太麻煩了，有簡單的方法嗎？”……數(shù)學優(yōu)秀生具有較強的質(zhì)疑意識和探究能力.
一個源于Weierstrass函數(shù)的數(shù)學問題陳波宇同學憑論文《Weierstrass函數(shù)在不可列的稠密集上不可導的一種證明》獲得第三屆丘成桐中學數(shù)學獎金獎.Weierstrass函數(shù)f（x）=∑∞n=0ancos（bnπx）是數(shù)學歷史上極其著名的一個“病態(tài)函數(shù)”.他的發(fā)現(xiàn)者Weierstrass證明了當0<a<1,b為奇整數(shù)且ab>13π2時，在R上處處不可導.由此打破了人們直覺上認為連續(xù)函數(shù)必然是近乎可導的猜想.2002年劉文發(fā)表在《高等數(shù)學研究》上的文章將a,b的范圍推廣為：0<a<1,b為奇整數(shù)且ab>1（1-a）π2.事實上在哈代的論文中已經(jīng)證明了在0<a<1,ab>1的情況下Weierstrass函數(shù)在R上處處不可導，不過用的是實分析的方法，在許多數(shù)學分析書上只有結(jié)論，而缺少證明.陳波宇同學獨立地用相對初等的方法證明了在0<a<1,ab>1,b≥6,且b∈Z的情況下，Weierstrass函數(shù)在一個不可列的稠密集上不可導.
適逢2011年全國數(shù)學競賽命題工作研討會在天津舉行，上面的問題源于陳波宇的論文中一個引理的特例，是特為此次會議命制的一個問題.本文發(fā)表于2011年《中等數(shù)學》第4期.
問題：任取一個區(qū)間（a,b）,證明：必存在一個無理數(shù)x∈（a,b）,使數(shù)列{cos（6nπx）}中有無窮多項大于12.
證明：要證明數(shù)列{cos（6nπx）}中有無窮多項大于12，只要證明有無窮多個正整數(shù)n，使
2k13>6nx>2k-13，k∈Z.
考慮將a,b的小數(shù)部分6進制化，設
a=a0（0.a1a2a3…ak…）6,
b=b0（0.b1b2b3…bk…）6,
其中a0,b0∈Z,ak,bk∈{0,1,2,3,4,5},k=1,2,3,…,且不存在整數(shù)N,當n≥N時，恒有an=5,bn=5.
因為a<b,所以必存在整數(shù)t,使at<bt，且若i<t,i∈N,有ai=bi.
設am是從at1項起第一個不為5的數(shù)碼，令
x=x0（0.x1x2x3…xk…）6
=a0（0.a1a2…at-1at55…55am-15010110111011110…）6,
則有a<x<b,且x是無理數(shù).
設x的小數(shù)部分在m位后數(shù)碼為0的數(shù)位依次是n1,n2,n3,…,則對任意的ni，有
6nix>6nia0（x1x2…xni-10）6（0.1xni2xni3…）6,
因為6nia0（x1x2…xni-10）6是偶數(shù)，可令其為2k,k∈Z.
又13=（0.2）6>（0.1xni2xni3…）6>0>-13,可見，x符合條件，原問題得證.
2?數(shù)學課堂內(nèi)的探究性學習
涂榮豹指出：“是不是堂堂課都要搞探究，現(xiàn)有的條件下基本不可能.一個真正意義上的探究教學，搞好了，很花時間，再說教學時間、教學進度、教學內(nèi)容、教師精力、班級人數(shù),等等，那么多制約條件，談何容易，何況還有一個升學的壓力在那里呢！我的看法，三四個星期能有一節(jié)課是真正的探究就了不起了，一個學期有五六節(jié)課，就不容易啦.應該提倡教學中局部的探究式教學，經(jīng)常性的有那么一小段進行探究.我提倡這樣來把握探究式教學：貫穿教學始終的探究多嘗試，每節(jié)課中一兩小段的探究須堅持.”涂榮豹.談提高對數(shù)學教學的認識——兼評兩節(jié)數(shù)學課［J］.中學數(shù)學教學參考，2006（1-2）:4-8.
誠然，探究教學要“適時”“適當”和“適度”！對不同的學生，探究要有不同的要求.相比于普通生的探究性學習，我們認為要給數(shù)學優(yōu)秀生更充足的探究時間.數(shù)學優(yōu)秀生喜歡探究，也只有那種包含探究性問題的課堂才真正讓數(shù)學優(yōu)秀生感興趣.在課堂中要給學生留足探究的時間和空間，讓學生在課堂上展示思維的過程，很多時間教師需要擔當一個合格的傾聽者.
探究性學習的課堂基本模式是：情景吸引—定向探究—合作討論—反饋評價，不同課型的探究教學又有其各自的特點.
2?1數(shù)學概念課的探究教學
概念是數(shù)學知識的基礎，是數(shù)學思想與方法的載體.在概念教學中教師要啟發(fā)學生通過對具體事物進行一系列的感知活動，聯(lián)系個人的經(jīng)驗，進行分析、綜合、抽象，歸納出一類事物的共同特征，并抽象概括形成“概念”.該課型探究教學的一般結(jié)構(gòu)是：
提出問題
鼓勵猜想
引入概念→感知體驗
自主探索
形成概念→抽象概括
討論補充
表述概念→舉例理解
變式訓練
鞏固概念→聯(lián)系實際
發(fā)表感悟
應用概念
（1）引入概念
概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據(jù)已有的材料和知識做出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象，讓學生經(jīng)歷數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段.
�。�2）形成概念
形成概念是通過對具體事物的感知、辨別而抽象概括的過程，這個過程應該通過學生自主探索去完成，用自己的頭腦親自去發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律，進而獲得新概念.
�。�3）表述概念
概念形成之后，應及時讓學生用語言表述出來，培養(yǎng)學生正確的表述概念，能促進學生思維的深刻性.這時要鼓勵學生大膽給概念下定義，與同學合作討論，給出盡量精確的表述.這時可以引導學生通過信息網(wǎng)絡了解概念表述的來龍去脈.
�。�4）鞏固概念
要運用變式加深理解概念的內(nèi)涵與外延，鞏固概念.所謂變式，就是使提供給學生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式，使非本質(zhì)屬性時有時無，而本質(zhì)屬性保持恒在.恰當運用變式，能使思維不受消極定勢的束縛，實現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換，使思維呈發(fā)散狀態(tài).
�。�5）應用概念
讓學生用學到的數(shù)學概念解決日常生活中的實際問題，是概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維的有力手段.
拋物線及其標準方程本文為2005年12月我在浙江省甌海區(qū)梧田高中數(shù)學實驗班公開教學的教案.
按照課本所呈現(xiàn)的知識順序教“拋物線及其標準方程”，在內(nèi)容安排上與學生剛學的橢圓、雙曲線雷同，難以激發(fā)學生的學習興趣.傳統(tǒng)的教學設計一般以問題“橢圓的離心率在0和1之間、雙曲線的離心率大于1，那么是否有離心率等于1的曲線？”為引入，但這些問題對數(shù)學優(yōu)秀生缺乏挑戰(zhàn)性、新穎性，從而也沒有留給學生自主探索的空間.而由于包絡等內(nèi)容學生很少在課本和課堂上接觸到，例如在“猜一猜包絡上的點的特點，想一想拋物線的方程是否也具有Ax2By2F=0的形式”等環(huán)節(jié)需要學生充分發(fā)揮主動性，分組協(xié)商討論需要學生去歸納、應用他們所學的知識，鞏固練習給學生自我反思的機會，所以本教學設計在發(fā)揮學生的首創(chuàng)精神、將知識外化和實現(xiàn)自我反饋等環(huán)節(jié)做了努力，本節(jié)課的教學設計是為數(shù)學優(yōu)秀生準備的，需要學生具有較好的數(shù)學基礎和數(shù)學思維.
一、折紙引入，創(chuàng)建情境
教師使用實物投影儀，一邊示范，一邊講解折紙規(guī)則；學生折紙，體驗拋物線形包絡的形成過程.折紙規(guī)則：
1?如圖1-1所示，取一長方形白紙，在一邊上定一點F;
2?如圖1-2所示，在點F所在邊的對邊任取一點G,折紙使之與點F重合；
3?如圖1-3所示，留下折痕，即FG的中垂線；
4?如圖1-4所示，多次改變點G的位置，重復第2、第3步.
圖1-1
圖1-2
圖1-3
圖1-4
為了給出更清晰的包絡曲線，教師利用幾何畫板，作出拋物線包絡，一邊作圖，一邊講解作圖步驟，學生觀察、思考、討論，進一步體驗拋物線的形成過程.作圖步驟：
1?取定點F，定直線l;
2?在l上取動點A，連接AF，做垂直平分線；
3?追蹤垂線，形成包絡.
二、獨立探索，尋求定義
觀察電腦動畫和折紙形成的包絡，獨立思考以下問題：形成的包絡曲線是前面學習的圓、橢圓、雙曲線嗎？曲線上的點具有什么特點？
雖然面向數(shù)學優(yōu)秀生授課，但也應關注學生的差異，還可以給不同的學生提供以下層次高低不同的支架：
1?你可以通過觀察，做一些猜想，再用刻度尺量一量來驗證你的猜想.（當學生不知從何入手時，為他們提供建議式支架）
2?包絡的形狀與長方形的長、寬有關嗎？
�。ㄅcF所在的邊的長度無關，而與F到對邊的距離有關.這是為學生提供的問題式支架，目的是為了排除無關信息的干擾，從而為學生關注拋物線定義中的定點和定直線提供幫助）
圖1-5
3?圖1-5中，AF的垂直平分線為形成的包絡曲線提供了幾個點?它們的關系如何？（一個點，相切）
4?圖1-5中，切點B與A點的連線與直線l的關系如何？（垂直）
通過學生的探索，歸納得到包絡曲線上點的特點，即到點F的距離與到定直線l的距離相等，包絡曲線不同于前面學習的橢圓、雙曲線.進而給出拋物線的定義.
三、協(xié)作學習，探求方程
先將學生分成小組，要求小組成員選擇不同的建立直角坐標系的方法，獨立推導拋物線的方程，然后將得到的結(jié)果在小組中協(xié)商、討論.
要求各小組提出問題在小組討論，也可以選擇討論下面老師提供的幾個問題：
1?怎樣建立直角坐標系，得到的拋物線的方程最簡潔？
不同的建立直角坐標系的方法，得到的拋物線方程在形式上有什么不同？為什么會產(chǎn)生這種不同？
2?圓、橢圓、雙曲線的標準方程可以寫成Ax2By2F=0的形式，能夠找到一種建立直角坐標系的方法，讓拋物線的方程也具有Ax2By2F=0的形式嗎？（若拋物線的方程也具有Ax2By2F=0的形式，則其圖像有兩條對稱軸，這與拋物線只有一條對稱軸矛盾）
3?初中學習過的拋物線y=x2的焦點在哪里？y=8x2呢？y=ax2bxc呢？（目的在于將初中知識納入知識網(wǎng)絡，完善知識結(jié)構(gòu)）
4?拋物線的標準方程有什么用？如何記憶？
教師提供問題的目的是引發(fā)學生的思考，通過學生的討論使狀態(tài)紛呈的復雜局面逐漸變得明朗、一致，使其在共享集體思維成果的基礎上達到對當前所學知識比較全面、正確的理解，最終完成對所學知識的意義建構(gòu).
四、練習鞏固，反思評價
通過練習強化符合要求的意義建構(gòu)，支架中的練習設計，既考慮到以各種方法為基礎的能力類別，又考慮用習題的難度與復雜性體現(xiàn)能力要求的高低.
1?求焦點是F（0,-2）的拋物線的標準方程.已知拋物線過點（1，1），求它的標準方程.（認清拋物線方程的四種形式）
2?已知A為拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，|AF|=2，求A點坐標.
解法1：設A（x,y），則有y2=4x（x-1）2y2=4,解得x=1或x=-3（舍），所以A（1,±2）.
解法2：設A（x,y），根據(jù)拋物線的定義由|AF|=2知，A到準線的距離為2，所以x1=2,解得x=1,A（1,±2）.
解法1是方程思想的體現(xiàn)，解法2是拋物線定義的應用，本題可用于檢測學生是否完成對所學知識的意義建構(gòu).
五、前后呼應，引申探究
課尾讓學生回顧一節(jié)課下來的收獲，并將這種積極的情感帶到課后.這時提出要求學生課后解決的帶有挑戰(zhàn)性的問題：圖1-5中的中垂線形成的包絡是拋物線，是我們觀察得到的，你能證明嗎？
這時對能力較好的部分學生撤除支架，鼓勵自主探索.對另一部分學生可以提供以下支架，分解難點：
1?從幾何的角度思考，只要說明：每條AF的中垂線上都有一點落在以F為焦點、l為準線的拋物線上，其余的點到焦點的距離大于到準線的距離.
圖1-6
2?從方程的角度考慮，可以思考以下問題:
�。�1）為什么F不在陰影部分內(nèi)？如何判斷一點M（x,y）是否在陰影部分內(nèi)？（因為F不在任何一條中垂線上，只要看M（x,y）的坐標是否適合某條中垂線的方程）
（2）如何求陰影部分點的集合？如圖1-6，過F做l的垂線，垂足為G，以FG的中點為原點，直線FG為x軸建立直角坐標系.設l上的動點A的坐標為-p2,m，則F的坐標為p2,m.AF的中垂線方程是2px-2mym2=0,點M（x,y）在某條中垂線上，則關于m的方程2px-2mym2=0有解，因而Δ=4y2-8px≥0.因而陰影部分點的集合是{（x,y）|y2≥2px}.所以，圖1-5中的中垂線形成的包絡是拋物線.
2?2數(shù)學命題課的探究教學
表達數(shù)學判斷的陳述句是數(shù)學命題，定義、公理、定理、推論、公式都是符合客觀實際的真命題.數(shù)學命題課的教學是對數(shù)學公理、定理、推論、公式的教學，它是學生獲得新知識的必由之路，也是學生提高數(shù)學素養(yǎng)的基礎.任何一個數(shù)學命題的學習都要經(jīng)歷一個由感性到理性的抽象概括的過程.如果我們把這些過程返璞歸真，在教師的指導下學生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去領悟命題的形成過程中隱含的思想方法，則學生獲得的不僅是數(shù)學定義、定理、公式，而且增強了抽象概括的能力，提高了分析問題和解決問題的能力.該課型探究教學的一般結(jié)構(gòu)是：
創(chuàng)設情境
設疑導入→猜想預見
形成結(jié)論→推理驗證
系統(tǒng)理解→分層應用
變式訓練→提煉思想
引申拓廣
�。�1）引入命題
“學起于思，思源于疑”，數(shù)學優(yōu)秀生喜歡質(zhì)疑.疑能使學生心理上感到困惑，產(chǎn)生認知沖突，這種沖突是激發(fā)學生求知的動力，是探究的“催化劑”.因此，在教學過程一開始，就要緊緊圍繞數(shù)學命題的內(nèi)容，從實際需要或知識發(fā)展入手，通過特殊化、類比、猜想等提出有針對性的問題，引入新課.
�。�2）形成命題
問題提出后片刻，即引導學生對結(jié)論進行合情推理，或觀察，或試驗，或猜想，以使學生發(fā)現(xiàn)定理、公式或法則，并就條件和結(jié)論概括成命題.這階段是對命題的初步認識，這種初步認識是感性的、零碎的，或者說是表面的、朦朧的理解.它存在著這個命題與學生原有知識如何同化或順應的問題.這些問題造成了學生深入理解命題本質(zhì)的困惑，但同時也是學生力圖解除困惑的動因.教師應充分利用這種困惑，設疑導入，并逐步抽象和提煉，不斷逼近命題的本質(zhì)，從而形成結(jié)論.這就可望形成學生積極參與教學活動的氛圍，奠定學生作為知識探究者的地位.
�。�3）理解命題
結(jié)論是否成立必須從理論上證明.由于有些數(shù)學命題的證明方法具有典型性，尋找證明方法具有規(guī)律性，因此，必須啟發(fā)學生分析證明思路，尋找證明方法，形成數(shù)學思維.通過命題的形成、證明，學生心中引入時的“疑”已煙消云散了，成功感會油然而生，心理上處于興奮狀態(tài).此時，應趁熱打鐵，引導學生對命題進行全面的分析和領會，細致地進行觀察，不僅在形式上，而且要在本質(zhì)上加深對定理的理解.這階段是對命題的認識從感性到理性、朦朧到清晰、表面到深入、表象到本質(zhì)的一個過程，實際上就是使學生對所形成的結(jié)論在思想上產(chǎn)生認同和確定.這時信息技術(shù)可以幫助學生加深對命題的理解，化抽象為形象.應當指出數(shù)學證明不是加深對命題理解的唯一方式，也不一定是最好的方式.
�。�4）運用命題
運用是對知識加深理解的必要環(huán)節(jié)，也是能力培養(yǎng)的主渠道.但對知識的理解和能力的培養(yǎng)都必須遵循循序漸進的原則.為此，在應用上可分層進行，由易到難，拾級而上，變式展開，形成梯度.例如：對公式的運用，我們可以從正用、逆用、變形后用加以考慮.有時也可以要求學生自己編寫例題，靈活運用，編題的過程也是探究的過程.
�。�5）引申拓廣
要引導學生對命題證明的方法、命題形成的思維方法以及命題的運用方法進行總結(jié)，考慮命題的條件能否弱化，結(jié)論能否加強，能否通過類比、一般化等方法對命題加以推廣.
下面的課例，《基本不等式及其應用》是我在上海市北中學“和而不同，上好家常課”活動中，在理科實驗班上的公開課.師生互動，氣氛活躍，得到了同行、專家的普遍贊譽，從學生的作業(yè)反饋可以看出，學生是真正會代這兩個公式了！
基本不等式及其應用本文為2007年10月我在市北中學“和而不同，上好家常課”公開教學活動中的教案，發(fā)表于閘北區(qū)教育局編的《教育探索》2008年第1期.
一、引言
《基本不等式及其應用（一）》這節(jié)課要學會代兩個公式：a2b2≥2ab,ab2≥ab.看起來，這并不是很難的事.但我在重點中學第一個班級上課的效果不太理想，上課學生聽得懂，可課后作業(yè)不會做，或者還是用老方法做.其他老師也有同樣的感嘆：“現(xiàn)在的學生怎么了，公式都不會代！”究其原因，主要有二：
第一，以前學的公式基本上是恒等式.而此處的公式是恒成立的不等式，不僅要學生瞻前——關注公式中字母存在的條件；還要顧后——不等式中等號成立的條件.就是說代這個公式要關注的問題比較多.
第二，不用這個公式，也能用過去熟悉的方法——做差比較法求解.學生沒有體會到代公式的方便，對新學的知識有潛在的排斥.
二、授課過程
第二次上這節(jié)課時，我做了改進.
1?一見而鐘情
引入時提出問題：如圖1-7所示，直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊與正方形的邊長相等.問：四個這樣的直角三角形能否填滿這個正方形？
圖1-7
圖1-8
圖1-9
圖1-8是我國古代用于證明勾股定理的弦圖的一個局部，也是在我國召開的國際數(shù)學家大會的會標.圖1-9是a=b的情況.
以弦圖引入新課，讓學生對基本不等式從形上加以認識，一見而鐘情.
2?從哪里來，到哪里去
在理解公式的過程中，讓學生逐漸明白公式的來龍去脈.
�。�1）逐步展示圖1-10中的內(nèi)容，通過知識的梳理，讓學生進一步明確基本不等式1和基本不等式2是怎么來的，可有哪些用處，怎么用基本不等式.
圖1-10
圖中虛線為學生指出了用好基本不等式的方向——用不同的量代換公式中的字母，得到新的恒不等式.
�。�2）與學生討論基本不等式1中“當且僅當a=b時等號成立”的含義.
問題：“當a=b時等號成立”指的是什么？（a=b?a2b2=2ab）
“僅當a=b時等號成立”指的是什么？（a≠b?a2b2>2ab）
“當且僅當a=b時等號成立”指的是什么？（a=b?a2b2=2ab）
此處把“當”和“僅當”分開提問，將難點分散，有助于學生對“等號成立條件”的理解.
�。�3）考慮恒不等式a2b2≥2ab與a2b2≥2|ab|的關系.
恒不等式a2b2≥2ab對a,b中有且僅有一個是負數(shù)的情況放得太寬了，這時不等式可加強為a2b2≥-2ab.
一方面，a2b2≥2|ab|是a2b2≥2ab的特殊情況（用|a|,|b|代基本不等式中的a,b）;另一方面，a2b2≥2ab可以由a2b2≥2|ab|≥2ab推得.
通過對a2b2≥2ab與a2b2≥2|ab|關系的思考，使學生對基本不等式的應用（合理的變量代換或結(jié)合不等式的性質(zhì)加以推理）有了初步的體驗.在對不等式強弱的比較中，感受數(shù)學的奇異美.
圖1-11
�。�4）說明ab2、ab分別叫作a、b的算術(shù)平均值和幾何平均值.基本不等式2就是指：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.其幾何意義是直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的中線；或半弦不大于半徑（見圖1-11）.
3?欲窮千里目，更上一層樓
在公式的應用中，逐步認識到基本不等式帶來的方便，體味登高望遠的喜悅.
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