作品介紹
與數(shù)學(xué)優(yōu)秀生一起思考清華新世紀(jì)教育教學(xué)金典叢書(shū)
作者：金榮生 整理日期：2016-04-26 00:46:35
怎樣思考才能夠品味到數(shù)學(xué)之美數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化!數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造"數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重視親
身體驗(yàn)"其核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”！在本書(shū)中"作者就如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生"用學(xué)生自己的
思維方式進(jìn)行再創(chuàng)造做了詳細(xì)的講述!
作者簡(jiǎn)介：
金榮生，上海市數(shù)學(xué)特級(jí)教師、市北中學(xué)校長(zhǎng)助理、上海市基礎(chǔ)教育特聘教授。曾獲第10屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。在市北中學(xué)組建“我愛(ài)數(shù)學(xué)社”，創(chuàng)辦校本數(shù)學(xué)雜志《簡(jiǎn)單》，其指導(dǎo)的學(xué)生陳波宇曾獲第三屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng)。在《數(shù)學(xué)通報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志發(fā)表論文20余篇。
目錄：
1?3好玩的數(shù)學(xué)50“我愛(ài)你”的逆否命題531?4大哉，數(shù)學(xué)之為用54最優(yōu)逃生線路562?提問(wèn)，創(chuàng)新的起點(diǎn)582?1質(zhì)疑58同年同月同日生的概率究竟是多少？622?2類比67三項(xiàng)式定理712?3歸納73關(guān)于sinnx展開(kāi)式的猜想762?4考慮逆向問(wèn)題77記一堂數(shù)列探究課812?5從不同的角度看問(wèn)題84證2003年聯(lián)賽不等式題的多種方法88求二元一次不等式表示區(qū)域的一種新方法90線面垂直判定定理的一種新證法91一道數(shù)列題的多種解法912?6生活中的問(wèn)題92汽車轉(zhuǎn)彎路寬的估計(jì)963?從簡(jiǎn)單開(kāi)始，一種探究的策略993?1特例探路100不含孤立元的子集個(gè)數(shù)的探索103一個(gè)反例的構(gòu)造1083?2著眼于極端情況110圓錐曲線中的蝴蝶定理及其應(yīng)用112一個(gè)下界的探求116IXVIII3?3分類討論117三階幻方的性質(zhì)研究119“井”字游戲討論122再論與空間不共面的四點(diǎn)距離為定比的平面?zhèn)�數(shù)130一類軌跡問(wèn)題的探求1323?4爬坡式推理135怎樣求1k2k…nk?137高斯求和的推廣138關(guān)于兩點(diǎn)的球面距離的探究1414?信息技術(shù)，一種幫助我們思考的工具1434?1作圖143頂點(diǎn)在圓錐曲線上的直角三角形的一個(gè)性質(zhì)147利用幾何畫(huà)板探索函數(shù)f(x)=xax的性質(zhì)148運(yùn)用幾何畫(huà)板的迭代功能畫(huà)曼德布羅特分形集1504?2計(jì)算152折角過(guò)道問(wèn)題155用TI編程求整點(diǎn)最優(yōu)解159最優(yōu)解問(wèn)題的處理方式161用編程求解簡(jiǎn)單的數(shù)論問(wèn)題167利用幾何畫(huà)板探索x-x1x-x2…x-xn的最小值1684?3模擬170用隨機(jī)數(shù)求π的近似值171TI中利用隨機(jī)數(shù)畫(huà)分形曲線172讓學(xué)生用幾何畫(huà)板做數(shù)學(xué)173利用幾何畫(huà)板探索一類最短距離問(wèn)題177第3章不能急，我們都需要鼓勵(lì)的目光179成長(zhǎng)1791?把學(xué)生一輩子的成長(zhǎng)裝在心里1801?1要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考182三折線段構(gòu)成三角形的概率問(wèn)題及其推廣1831?2潤(rùn)物還需細(xì)無(wú)聲189追求自然的數(shù)學(xué)課堂1921?3失誤也能帶來(lái)精彩1932?《簡(jiǎn)單》，我們自己的數(shù)學(xué)雜志1972?1《簡(jiǎn)單》創(chuàng)刊了197給我們的刊物起名198為什么要辦這本雜志？198如何辦好這本雜志？199給誰(shuí)看？200現(xiàn)在我來(lái)向大家介紹一下這本雜志的第一期200我來(lái)談?wù)劦诙?01Mandelbrot集202卷首語(yǔ)2032?2想法從哪里來(lái)203一定要有自己的想法203數(shù)學(xué)有趣的一面更需要被我們發(fā)現(xiàn)和重視204數(shù)學(xué)武俠小說(shuō)——刀刀斬出玲瓏面2052?3你的路未止于此207參考文獻(xiàn)210 前言
上海市市北中學(xué)首任校長(zhǎng)唐乃康早在百年前就指出：“教誨學(xué)子，首在葆其天真。”要培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生，比知識(shí)更重要的是好奇心。首先要學(xué)生保持對(duì)世界、對(duì)數(shù)學(xué)的一種純真的態(tài)度，再選擇適合學(xué)生特點(diǎn)的方法來(lái)教育學(xué)生，發(fā)揮長(zhǎng)處，彌補(bǔ)不足，促進(jìn)全面發(fā)展。
如何切實(shí)落實(shí)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有多樣性和選擇性，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，真正做到“以學(xué)生的發(fā)展為本”，重視人的差異性和個(gè)性，重視社會(huì)對(duì)人才的多層次需求，使對(duì)數(shù)學(xué)有特殊興趣或特殊天賦的學(xué)生有進(jìn)一步發(fā)展的空間？可以說(shuō)，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?cè)谑澜缟咸幱陬I(lǐng)先地位，但是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生所受的數(shù)學(xué)教育遠(yuǎn)不如西方國(guó)家，對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和培養(yǎng)策略開(kāi)展研究，具有十分重要的意義。
陳波宇是我最得意的學(xué)生之一。他關(guān)于維爾斯特拉斯函數(shù)的數(shù)學(xué)論文，在全球582個(gè)參賽隊(duì)中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（Shing?Tung YauHigh School Ma
上海市市北中學(xué)首任校長(zhǎng)唐乃康早在百年前就指出：“教誨學(xué)子，首在葆其天真。”要培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生，比知識(shí)更重要的是好奇心。首先要學(xué)生保持對(duì)世界、對(duì)數(shù)學(xué)的一種純真的態(tài)度，再選擇適合學(xué)生特點(diǎn)的方法來(lái)教育學(xué)生，發(fā)揮長(zhǎng)處，彌補(bǔ)不足，促進(jìn)全面發(fā)展。
如何切實(shí)落實(shí)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有多樣性和選擇性，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，真正做到“以學(xué)生的發(fā)展為本”，重視人的差異性和個(gè)性，重視社會(huì)對(duì)人才的多層次需求，使對(duì)數(shù)學(xué)有特殊興趣或特殊天賦的學(xué)生有進(jìn)一步發(fā)展的空間？可以說(shuō)，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?cè)谑澜缟咸幱陬I(lǐng)先地位，但是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生所受的數(shù)學(xué)教育遠(yuǎn)不如西方國(guó)家，對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和培養(yǎng)策略開(kāi)展研究，具有十分重要的意義。
陳波宇是我最得意的學(xué)生之一。他關(guān)于維爾斯特拉斯函數(shù)的數(shù)學(xué)論文，在全球582個(gè)參賽隊(duì)中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（Shing?TungYauHighSchoolMathematicsAward）唯一的金獎(jiǎng)。
按常規(guī)的數(shù)學(xué)人才“擅長(zhǎng)解題”的標(biāo)準(zhǔn)，陳波宇在我們班并非特別出挑。就他最后的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)136分而言，在我們班46人中排名第21位，僅比班級(jí)平均分高2分。但在高一開(kāi)學(xué)前的家訪中我就發(fā)現(xiàn)，他是真的喜歡數(shù)學(xué)，他沉迷于看《幾何原本》等數(shù)學(xué)經(jīng)典著作。在上課時(shí)，我喜歡引導(dǎo)學(xué)生大膽質(zhì)疑，讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，有時(shí)我們會(huì)就一道題而展開(kāi)激烈的爭(zhēng)論。陳波宇就是一個(gè)喜歡與我爭(zhēng)論的學(xué)生：他會(huì)發(fā)現(xiàn)我講課中的漏洞；他會(huì)提出自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的獨(dú)到想法；有時(shí)候我們?cè)谡n堂上提出一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，過(guò)了若干時(shí)間，當(dāng)我也把這個(gè)猜想忘記了的時(shí)候，陳波宇可能會(huì)來(lái)與我討論這個(gè)猜想，他是能長(zhǎng)時(shí)間地思考一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的人。陳波宇的這些特質(zhì)在常規(guī)的考試中不見(jiàn)得能起作用，但我認(rèn)為他非常適合做數(shù)學(xué)研究。
對(duì)陳波宇的教育，我的成功之處在于以下三點(diǎn)：
一、一份期待：天生他材必有用
陳波宇喜歡泡圖書(shū)館、讀課外書(shū)，事實(shí)上他后面撰寫(xiě)的論文就是有關(guān)大學(xué)微積分的內(nèi)容，其難度可以作為研究生的畢業(yè)論文，這些知識(shí)都是陳波宇在課余通過(guò)自學(xué)獲得的。這些閱讀和對(duì)新知識(shí)的入迷都需要花費(fèi)大量的時(shí)間，他也曾經(jīng)因此而遲交作業(yè)、上課遲到、影響高中學(xué)科的學(xué)習(xí)，但我一直相信天生他材必有用，對(duì)他的學(xué)習(xí)我經(jīng)常提醒、鼓勵(lì)，而不去限制。
二、一種氛圍：哪里有數(shù)，哪里就有美
我的學(xué)生王夢(mèng)橋曾說(shuō)：“在市北沒(méi)有被困于升學(xué)與競(jìng)賽的壓力和指標(biāo)，而是可以真切地去接觸數(shù)學(xué)的有趣和美麗，從單純應(yīng)試做題的機(jī)械乏味轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)理性之美的欣賞贊嘆。TI圖形計(jì)算器上繪制的那些設(shè)想奇妙的畫(huà)面，曼德布羅特分形構(gòu)造出的斑斕圖案，用乒乓球捏成的正二十面體，三年來(lái)我不知多少次感到驚奇與震撼。”
前言讓學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)理性思維的美而熱愛(ài)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中體驗(yàn)成功，一直是我努力的方向，陳波宇對(duì)數(shù)學(xué)持久的熱愛(ài)，也得益于他在一個(gè)熱愛(ài)數(shù)學(xué)的班級(jí)。
三、一本雜志：創(chuàng)新，從《簡(jiǎn)單》開(kāi)始
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣總是和成功的喜悅緊密相連的，如獨(dú)立地解決一道數(shù)學(xué)難題、做出一個(gè)數(shù)學(xué)猜想、想出一種新的解題方法等，都能使學(xué)生從這些“成功”中體驗(yàn)到創(chuàng)造的喜悅，激發(fā)起更高的學(xué)習(xí)熱情。我鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的感悟以小論文的形式記錄下來(lái)，編輯成“校本”（schoolbased）雜志，雜志名字叫《簡(jiǎn)單》。學(xué)生自己寫(xiě)稿、審稿、編輯、排版。雜志中有數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)小說(shuō)、數(shù)學(xué)游戲攻略等，文章雖然“簡(jiǎn)單”，但都有學(xué)生自己的想法，對(duì)學(xué)生本人來(lái)說(shuō)是一種創(chuàng)新，這些創(chuàng)作能喚起同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考。
陳波宇在高中階段寫(xiě)了兩篇論文，第一篇是《簡(jiǎn)單》第一期的第一篇;第二篇是《簡(jiǎn)單》第二期的第一篇，就是后來(lái)獲得了丘成桐獎(jiǎng)的這一篇。
由于陳波宇在英語(yǔ)等學(xué)科上的基礎(chǔ)較差，我也擔(dān)心他的升學(xué)和考試成績(jī)。無(wú)心插柳柳成蔭，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心的提升，也促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展，陳波宇的弱勢(shì)學(xué)科在高中最后一年取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步。
教育學(xué)生不能只看學(xué)生眼前的成績(jī)，要看到他未來(lái)20年的發(fā)展。
在我20多年教學(xué)工作中，培養(yǎng)了許多讓我引以為傲的學(xué)生，如溫州中學(xué)第一個(gè)進(jìn)奧林匹克數(shù)學(xué)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的學(xué)生陳然、溫州中學(xué)第一個(gè)進(jìn)浙江省隊(duì)參加數(shù)學(xué)冬令營(yíng)的學(xué)生王中要、市北中學(xué)第一個(gè)參加數(shù)學(xué)冬令營(yíng)的學(xué)生江昊琛等。本書(shū)也是對(duì)《數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新》金榮生.數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新［M］.上海：上海教育出版社,2011.的擴(kuò)寫(xiě)，是我培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生實(shí)踐與思考的總結(jié)。
本書(shū)能夠成稿并得以出版，離不開(kāi)顧鴻達(dá)先生、杭順清先生、李大元先生、方仁工先生、溫州中學(xué)校長(zhǎng)胡海帆先生和市北中學(xué)校長(zhǎng)陳軍先生的鼓勵(lì)與指導(dǎo)，離不開(kāi)我的學(xué)生的幫助與支持，在這里深表感謝！宗介華先生為我們的工作付出了大量的勞動(dòng)，在此一并致謝！平臺(tái)·成果·搖籃
我們正處在這樣一個(gè)時(shí)期，傳統(tǒng)的教育理論在相當(dāng)程度上仍然影響著我們的
教學(xué)實(shí)踐，而引進(jìn)的多種現(xiàn)代教育理論，在給我們帶來(lái)啟示與借鑒的同時(shí)，尚難
以通過(guò)與中國(guó)教育實(shí)踐的整合形成體系。所以，努力創(chuàng)造適合我國(guó)國(guó)情的教育就
成為深化教育改革的迫切任務(wù)。
《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2027年）》指出，進(jìn)一步提
高我國(guó)基礎(chǔ)教育水平，當(dāng)前最重要的任務(wù)，一方面是推進(jìn)教育公平，促進(jìn)義務(wù)教
育的均衡發(fā)展；另一方面是提高教育質(zhì)量，全面推進(jìn)素質(zhì)教育。我國(guó)基礎(chǔ)教育的
規(guī)模發(fā)展已經(jīng)取得令世人矚目的成就，接受教育的機(jī)會(huì)公平問(wèn)題已經(jīng)基本解決，
但是接受保證教育質(zhì)量的機(jī)會(huì)公平問(wèn)題依然突出，基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)已經(jīng)從規(guī)平臺(tái)·成果·搖籃
我們正處在這樣一個(gè)時(shí)期，傳統(tǒng)的教育理論在相當(dāng)程度上仍然影響著我們的
教學(xué)實(shí)踐，而引進(jìn)的多種現(xiàn)代教育理論，在給我們帶來(lái)啟示與借鑒的同時(shí)，尚難
以通過(guò)與中國(guó)教育實(shí)踐的整合形成體系。所以，努力創(chuàng)造適合我國(guó)國(guó)情的教育就
成為深化教育改革的迫切任務(wù)。
《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2027年）》指出，進(jìn)一步提
高我國(guó)基礎(chǔ)教育水平，當(dāng)前最重要的任務(wù)，一方面是推進(jìn)教育公平，促進(jìn)義務(wù)教
育的均衡發(fā)展；另一方面是提高教育質(zhì)量，全面推進(jìn)素質(zhì)教育。我國(guó)基礎(chǔ)教育的
規(guī)模發(fā)展已經(jīng)取得令世人矚目的成就，接受教育的機(jī)會(huì)公平問(wèn)題已經(jīng)基本解決，
但是接受保證教育質(zhì)量的機(jī)會(huì)公平問(wèn)題依然突出，基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)已經(jīng)從規(guī)
模發(fā)展轉(zhuǎn)向內(nèi)涵發(fā)展，提高教育質(zhì)量成為今后基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的著力點(diǎn)。
提高教育質(zhì)量，重要途徑是深化教育改革，創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式�；A(chǔ)教育將
以繼續(xù)深化課程改革為重點(diǎn)，堅(jiān)定不移地推進(jìn)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的各項(xiàng)改革，不斷提
升教育的整體水平。
中國(guó)的教育事業(yè)正伴隨著社會(huì)的變化經(jīng)歷著艱難的轉(zhuǎn)型。教育從來(lái)沒(méi)有像今
天這樣有著這么多的利益相關(guān)體，引起社會(huì)這樣廣泛的關(guān)注；也從來(lái)沒(méi)有像今天
這樣，人們借鑒國(guó)內(nèi)外各種教育理論，從不同的視角來(lái)審視中國(guó)的教育問(wèn)題；更
沒(méi)有像今天這樣，每一種教育主張的提出，都會(huì)產(chǎn)生多種反響，引起不同的評(píng)價(jià)。
這是社會(huì)轉(zhuǎn)型期活力的張揚(yáng)，也是社會(huì)轉(zhuǎn)型期發(fā)展的困惑，歸根結(jié)底是對(duì)教育工
作者如何正確地回答中國(guó)面臨的諸多教育問(wèn)題的挑戰(zhàn)。歷史經(jīng)驗(yàn)證明，由于社會(huì)
轉(zhuǎn)型期提出的教育問(wèn)題最多，所以，也最需要和最可能有一批教育工作者從理論和實(shí)踐相結(jié)合的角度來(lái)進(jìn)行回答，能夠回答其中一個(gè)或者幾個(gè)問(wèn)題的人，就是教
育家。我們現(xiàn)在所處的時(shí)代正是最需要和最可能產(chǎn)生教育家的時(shí)代。中國(guó)是世界
上學(xué)校數(shù)量最多的國(guó)家，中國(guó)需要教育家辦學(xué)當(dāng)然不是只需要幾個(gè)人，我們期待
著每一位教育工作者，都正視當(dāng)前教育存在的問(wèn)題，都努力從自己的崗位上用革
新者的姿態(tài)探索解決問(wèn)題的途徑，創(chuàng)造突出的業(yè)績(jī)。這是當(dāng)代教育工作者的歷史
使命與責(zé)任擔(dān)當(dāng)。
教育事業(yè)的發(fā)展需要理念與實(shí)踐的引領(lǐng)與示范，轉(zhuǎn)型期的教育事業(yè)發(fā)展更需
要理念與實(shí)踐的引領(lǐng)與示范。優(yōu)質(zhì)教育歸根結(jié)底是優(yōu)質(zhì)學(xué)校和優(yōu)質(zhì)教師進(jìn)行的教
育，素質(zhì)教育歸根結(jié)底是高素質(zhì)學(xué)校和高素質(zhì)教師進(jìn)行的教育�；A(chǔ)教育要聚焦
于學(xué)校發(fā)展和教師隊(duì)伍建設(shè)，進(jìn)一步激發(fā)廣大教育工作者的積極性和創(chuàng)造熱情。
教育是科學(xué)，教育是藝術(shù)，教育更是一種修煉。這套叢書(shū)的出版目的就是搭建一
個(gè)教師專業(yè)發(fā)展的平臺(tái)，展示廣大教育工作者改革與創(chuàng)新的成果，使其成為促進(jìn)
教育家成長(zhǎng)的搖籃。
我祝賀它的出版，希望它能成為教育工作者的朋友，為我國(guó)新世紀(jì)偉大教育
目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)增添一份助力!第1章
數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”
著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，數(shù)學(xué)是最容易創(chuàng)造的一門(mén)科學(xué).
數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化.數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣要重視學(xué)生的親身體驗(yàn)，用學(xué)生自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供具體的例子，讓學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中，自己“再創(chuàng)造”出各種運(yùn)算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關(guān)的各種定律.
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)者存在個(gè)體差異，這不僅是指主體已具有的知識(shí)，而且也包含了認(rèn)知風(fēng)格、學(xué)習(xí)態(tài)度、信心、觀念和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等，學(xué)習(xí)活動(dòng)在很大程度上取決于主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).知識(shí)不能簡(jiǎn)單地通過(guò)教師傳授得到，而是每個(gè)學(xué)生在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助教師和同學(xué)的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)人際間的協(xié)作活動(dòng)，依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以意義建構(gòu).因此，“情境”“協(xié)作”“交流”和“意義建構(gòu)”是學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素.其理論核心可以概括為：以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu).因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿、練習(xí)等被動(dòng)的吸收過(guò)程，而應(yīng)是在教師指導(dǎo)下的主動(dòng)建構(gòu)學(xué)習(xí)的過(guò)程；這個(gè)建構(gòu)過(guò)程依賴于學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此必須具有個(gè)體的特殊性.
當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行優(yōu)秀生的分班培養(yǎng)是否與教育平等相違背的爭(zhēng)論時(shí)，2500多年前孔子早就給出了答案，既要“有教無(wú)類”也要“因材施教”.“因材施教”是宋代“二程”（北宋思想家、教育家程顥、程頤的并稱）和朱熹從孔子的教育實(shí)踐活動(dòng)中概括出來(lái)的，曰：“夫子教人，各因其材”.孔子能夠針對(duì)學(xué)生的性格特點(diǎn)和智力水平，用不同的方法進(jìn)行教育，把學(xué)生培養(yǎng)成各種不同的人才.孔子在《論語(yǔ)·雍也》中指出“中人以上，可以語(yǔ)上也；中人以下，不可以語(yǔ)上也”，就是說(shuō)：“中等水平以上的人，可以告訴他高深學(xué)問(wèn)；中等水平以下的人，不可以告訴他高深學(xué)問(wèn)”.
加德納的多元智能理論指出，人的智能領(lǐng)域是多方面的，每個(gè)學(xué)生都有自己的智力強(qiáng)項(xiàng)和學(xué)習(xí)風(fēng)格.多元智能理論強(qiáng)調(diào)每個(gè)個(gè)體不可能擁有完全相同的智能，單個(gè)個(gè)體有很高的某種智能，卻不一定有同樣程度的其他智能.這種內(nèi)隱的智能差異的外顯化就是學(xué)生的個(gè)體差異性，只有當(dāng)這種差異性被考慮到時(shí)，教學(xué)才是有效的.
相對(duì)于教師主導(dǎo)取向的有意義接受學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)優(yōu)秀生更需要自主取向的深究學(xué)習(xí).鞏子坤，宋乃慶.數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)中需明確的幾個(gè)觀點(diǎn)［J］.當(dāng)代教育科學(xué)，2004（21）：61-62.對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的培養(yǎng)，最重要的是學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).教是為了不教，就是做“授之以漁”的工作，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題，然后讓他們用自己的創(chuàng)造思維去學(xué)習(xí).
1?探究性學(xué)習(xí)，一種優(yōu)秀生的培養(yǎng)策略
1?1優(yōu)秀生的培養(yǎng)模式
世界范圍的綜合國(guó)力競(jìng)爭(zhēng)，歸根到底是人才特別是創(chuàng)新型人才的競(jìng)爭(zhēng).我國(guó)科技人才總量居世界前列，但創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)拔尖人才和領(lǐng)軍人才嚴(yán)重不足.
第1章數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”美國(guó)有英才教育的政策和法律，1958年頒布的《國(guó)防教育法》指出：“為了國(guó)家的安全，必須選拔大批的天才兒童，并努力進(jìn)行天才教育”，1973年通過(guò)了《天才教育法》.潘發(fā)勤，楊得國(guó).英才教育·素質(zhì)教育·學(xué)科結(jié)構(gòu)［J］.上海教育科學(xué)，1997（1）：16-18，21.
法國(guó)的教育受拿破侖的影響很深，拿破侖認(rèn)為“教育好20%的人口很重要，因?yàn)檫@20%的人是帶動(dòng)法國(guó)前進(jìn)的火車頭”.袁震東.教育公平與英才教育——數(shù)學(xué)教育改革中的一個(gè)重大問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（7）：封2.
在日本，精英教育曾被視為違反教育民主的制度而受到批判，但過(guò)度的教育平等嚴(yán)重阻礙優(yōu)秀人才的培養(yǎng).1978年，當(dāng)時(shí)的首相福田赳夫指出：“日本在經(jīng)濟(jì)趕超的時(shí)代依靠的是模仿，但是今后必須具有獨(dú)創(chuàng)性的能力.因此，實(shí)施‘英才教育’的時(shí)代來(lái)臨了.”日本文部科學(xué)省2002年公布的《勸學(xué)》，及稍后由日本文部科學(xué)大臣遠(yuǎn)山敦子發(fā)布的《開(kāi)拓新時(shí)代——培養(yǎng)有能力的日本人，從整齊劃一到自立和創(chuàng)造》都強(qiáng)調(diào)了“英才教育”的理念.趙晉平.從理科高中看日本的精英教育［J］.外國(guó)教育研究，2004（5）:24-28.
英吳明海.英國(guó)伊頓公學(xué)的英才教育［J］.中國(guó)教師，2005（5）：53-55.原青林.英國(guó)公學(xué)英才教育的主要特點(diǎn)探析［J］.外國(guó)中小學(xué)教育,2006（12）:12-18.、德閆瑾.德國(guó)培養(yǎng)科研后備人才的政策措施［J］.世界教育信息，2008（3）：15-17.、俄倪明.從戰(zhàn)略上重視數(shù)學(xué)英才教育——俄羅斯數(shù)學(xué)物理學(xué)校的啟示［J］.數(shù)學(xué)教學(xué),2006（12）:封2，49.、韓李水山.韓國(guó)的“平準(zhǔn)化教育”和英才教育的發(fā)展［J］.基礎(chǔ)教育參考，2007（8）：29-30.等國(guó)家也都有針對(duì)英才培養(yǎng)的措施和政策.
在我國(guó)，1993年教育部基礎(chǔ)教育司委托北大附中、清華附中、北師大附中、華師大二附中四所學(xué)校辦高中理科實(shí)驗(yàn)班.受此影響，許多省市重點(diǎn)中學(xué)也辦了針對(duì)數(shù)學(xué)或理科優(yōu)秀生的實(shí)驗(yàn)班.10多年來(lái)，理科實(shí)驗(yàn)班在優(yōu)秀學(xué)生的教育教學(xué)方面進(jìn)行了積極探索和有益嘗試，但是也引起了社會(huì)上對(duì)教育公平、學(xué)科競(jìng)賽的利弊等問(wèn)題的爭(zhēng)論.2004年教育部辦公廳下發(fā)了《關(guān)于全國(guó)理科實(shí)驗(yàn)班停止招生的通知》，于是大部分學(xué)校又停止了或名義上停止了理科實(shí)驗(yàn)班的招生.在轟轟烈烈的理科實(shí)驗(yàn)班教育的實(shí)驗(yàn)中，常見(jiàn)各個(gè)學(xué)校理科競(jìng)賽成績(jī)的羅列，少見(jiàn)教育得失的探討，更少見(jiàn)優(yōu)秀生教育規(guī)律的研究.
近二十年來(lái)對(duì)英才教育與素質(zhì)教育的探討一直異常激烈.有人將英才教育與素質(zhì)教育相對(duì)立，認(rèn)為我國(guó)教育的弊端在于只重視英才而忽略了大多數(shù).而教育家呂型偉認(rèn)為：“我國(guó)為什么沒(méi)有涌現(xiàn)世界級(jí)大師，沒(méi)有涌現(xiàn)特別出類拔萃的頂尖人才，甚至沒(méi)有超過(guò)前輩頂尖人物的人才，在國(guó)內(nèi)沒(méi)有一個(gè)得諾貝爾獎(jiǎng)的.一個(gè)原因是只講全面發(fā)展，不許講個(gè)性發(fā)展，結(jié)果是實(shí)行‘求全責(zé)備，扼長(zhǎng)補(bǔ)短，求同去異’，學(xué)生的才能受到壓制，特別是壓制了那些奇才、怪才、偏才和狂才，不少有才華的學(xué)生被扼殺在搖籃里了.”呂型偉.要重視英才教育問(wèn)題［J］.教育發(fā)展研究，1999（5）：12-15.教育家張奠宙指出：“高考體制，是制約數(shù)學(xué)優(yōu)秀生成長(zhǎng)的瓶頸，減負(fù)且深挖洞，形成了陷阱式的考試題，大家一齊陪著做，沒(méi)有多少數(shù)學(xué)含量.”張奠宙，趙小平.高校自主招生和數(shù)學(xué)英才培養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué),2006（12）:封底.正所謂“高考減負(fù)一刀平，數(shù)學(xué)英才何處尋？”
從“不懂幾何者莫入”的柏拉圖的學(xué)園到現(xiàn)在各國(guó)普遍開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)物理學(xué)校，人類在數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的培養(yǎng)上積累了豐富的經(jīng)驗(yàn).
數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)歷史中的標(biāo)志性事件是匈牙利男爵埃特沃斯在1894年舉辦的匈牙利中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，及建立數(shù)學(xué)物理特設(shè)學(xué)校，由此鼓舞了一批數(shù)學(xué)天才，后來(lái)匈牙利產(chǎn)生了許多著名科學(xué)家，比如分析學(xué)家費(fèi)葉爾、舍貴、拉多、哈爾、里斯，組合數(shù)學(xué)家蔻尼希，以及著名力學(xué)家馮·卡門(mén)，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家、1994年因博弈論而獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的豪爾紹尼等鼎鼎大名的人物.
數(shù)學(xué)競(jìng)賽成為培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)英才的一個(gè)重要途徑.在蘇聯(lián)，人們把數(shù)學(xué)競(jìng)賽稱作“數(shù)學(xué)奧林匹克”，認(rèn)為數(shù)學(xué)是“思維的體操”.1934年在列寧格勒（今圣彼得堡），著名數(shù)學(xué)家狄隆涅主持舉辦了中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽；1935年，莫斯科也開(kāi)始舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽；1961年全俄（后改“全蘇”）數(shù)學(xué)競(jìng)賽舉辦.在美國(guó)，1938年開(kāi)始舉辦普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獲獎(jiǎng)?wù)咧杏械暮髞?lái)成為杰出人物——菲爾茲獎(jiǎng)獲得者芒福德、米爾諾、奎倫和諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主費(fèi)曼、威爾遜等；1972年起，開(kāi)始舉辦美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克，最終選拔出來(lái)的國(guó)家隊(duì)隊(duì)員得以與父母一同到白宮接受總統(tǒng)接見(jiàn).1956年，在著名數(shù)學(xué)家華羅庚、蘇步青等人的倡導(dǎo)下，由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)發(fā)起，北京、天津、上海、武漢首先舉辦了高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，此后由于各種原因而中斷.1978年，隨著“科學(xué)的春天”的到來(lái)，華羅庚主持了全國(guó)八省市的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽.1981年，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)決定舉行全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽.從1985年開(kāi)始我國(guó)派隊(duì)參加了IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克），并且在IMO上取得了非常優(yōu)異的成績(jī).可以說(shuō)我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽起步較晚，但后勁十足.第一屆IMO于1959年在羅馬尼亞舉辦，IMO為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才做出了突出貢獻(xiàn)，許多IMO優(yōu)勝者后來(lái)成了杰出的數(shù)學(xué)家，如沃爾夫獎(jiǎng)獲得者盧瓦茲、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者德林菲爾德、約克茲、博切茲、高爾斯、馬古利斯、拉佛閣、佩雷爾曼、陶哲軒、吳寶珠等.熊斌，葛之.歷史與現(xiàn)實(shí)：中國(guó)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽現(xiàn)象的背后［N］.中華讀書(shū)報(bào),2005-04-27.曾獲2000年第41屆IMO滿分金牌的惲之瑋，因在“表示論、代數(shù)幾何和數(shù)論等方向諸多基本性的貢獻(xiàn)”榮獲2012年“拉馬努金”獎(jiǎng)，這標(biāo)志著我國(guó)的IMO獲獎(jiǎng)?wù)撸_(kāi)始走向數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的最前沿.
匈牙利的特設(shè)學(xué)校成了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)物理學(xué)校的模型，再以后蘇聯(lián)數(shù)學(xué)物理學(xué)校引起了美國(guó)、英國(guó)和其他國(guó)家精英學(xué)校的產(chǎn)生，由此拉開(kāi)了區(qū)別一般學(xué)生教育的精英教育的序幕，并建立了一整套特長(zhǎng)生培養(yǎng)的課程安排、學(xué)生選擇、培養(yǎng)措施、發(fā)展規(guī)劃等培養(yǎng)體系.20世紀(jì)80年代末，蘇聯(lián)有各種類型的數(shù)學(xué)中學(xué)近300所，每年的畢業(yè)生約占全國(guó)中學(xué)畢業(yè)生的3%,因解決了龐加萊猜想而在2006年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲菲爾茲獎(jiǎng)的佩雷爾曼，就是從列寧格勒數(shù)學(xué)物理中學(xué)成長(zhǎng)起來(lái)的.倪明.從戰(zhàn)略上重視數(shù)學(xué)英才教育——俄羅斯數(shù)學(xué)物理學(xué)校的啟示［J］.數(shù)學(xué)教學(xué),2006（12）:封2，49.
數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的數(shù)學(xué)課程安排，主要有兩種模式.
一種注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，把大學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容提早滲透到高中課程中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)加深，教學(xué)進(jìn)度加快.如大數(shù)學(xué)家A?H?柯?tīng)柲缌_夫?yàn)槟箍拼髮W(xué)附屬數(shù)學(xué)物理寄宿學(xué)校制定的“深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)�；虬嗉�(jí)的教學(xué)大綱”的指導(dǎo)思想是：包含寬廣的知識(shí)面，基本原理和基本理論，以及這些原理和理論建立和發(fā)展的歷史過(guò)程、思想實(shí)質(zhì)、相應(yīng)的事實(shí)、豐富的具體材料——聯(lián)系于當(dāng)前和可以預(yù)見(jiàn)的未來(lái)的社會(huì)實(shí)踐.其中的《幾何學(xué)》內(nèi)容包括：綜合幾何、向量幾何、球面幾何、仿射幾何，以及相對(duì)論中的幾何.同上.在美國(guó)弗吉尼亞的Fairfax郡的中學(xué)，學(xué)校讓數(shù)學(xué)單科突出的學(xué)生直接進(jìn)入適合他們的高年級(jí)單科班學(xué)習(xí)，甚至對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)異的學(xué)生，學(xué)校會(huì)派校車送他到附近的大學(xué)由教授專門(mén)輔導(dǎo).李永智.美國(guó)的英才教育與因材施教［J］.基礎(chǔ)教育參考，2004（4）：15.美國(guó)高中開(kāi)設(shè)的AP課程（美國(guó)大學(xué)預(yù)修課程）和Honor課程（榮譽(yù)課程），都是為那些對(duì)數(shù)學(xué)特別有興趣或有特殊天賦的學(xué)生開(kāi)設(shè)的，學(xué)生學(xué)習(xí)AP課程并通過(guò)統(tǒng)一考試，在大學(xué)可以免修該課.一些著名大學(xué)以學(xué)生學(xué)過(guò)若干門(mén)AP課程或Honor課程作為入學(xué)的必要條件.一些拔尖的學(xué)生還可以到就近的大學(xué)學(xué)習(xí)一兩門(mén)課.袁震東.教育公平與英才教育——數(shù)學(xué)教育改革中的一個(gè)重大問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué),2003（7）：封2.
另一種注重?cái)?shù)學(xué)研究能力的培養(yǎng)，注重學(xué)生單獨(dú)的或者互相合作的小課題研究或數(shù)學(xué)建模等活動(dòng).如莫斯科57中學(xué)和彼得堡AnichkovLycee學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生不依賴講義、教科書(shū)及參考資料而獨(dú)立地建立數(shù)學(xué)定理和方法，通過(guò)討論會(huì)、研究班等形式挑戰(zhàn)學(xué)術(shù)研究課題.熊曉東.熊曉東教育論文——英才教育在中國(guó)［M］.上海：百家出版社，2005:25-41.
1?2國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的研究現(xiàn)狀
探究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)觀察、分析、類比、歸納、猜想、證明，或通過(guò)調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而獲得知識(shí)、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過(guò)程.
20世紀(jì)50年代到70年代，探究性學(xué)習(xí)理論的主要代表是布魯納、施瓦布等人.布魯納提出“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的理論.施瓦布教授提出的“探究學(xué)習(xí)”認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程與科學(xué)家的研究過(guò)程在本質(zhì)上是一致的，因此學(xué)生應(yīng)像科學(xué)家一樣，以研究者的身份去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，并在探究過(guò)程中獲取知識(shí)、發(fā)展技能、培養(yǎng)能力，特別是培養(yǎng)創(chuàng)造能力，發(fā)展自己的個(gè)性.他們從理論上論證了“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”和“探究學(xué)習(xí)”的合理性，推動(dòng)了長(zhǎng)時(shí)間的課程改革.20世紀(jì)80年代，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者雷內(nèi)·托姆（ReneThom）曾針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀大聲疾呼：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要應(yīng)是一個(gè)自發(fā)探究的過(guò)程，如果認(rèn)為只需通過(guò)大量的生記強(qiáng)練，就會(huì)更容易地學(xué)到數(shù)學(xué)，那無(wú)論如何是一個(gè)可悲的錯(cuò)誤.ReneThom.在我的數(shù)學(xué)生涯中遇到的問(wèn)題小結(jié)［J］.周建義譯.數(shù)學(xué)譯林，1997,（4）:275-285.
進(jìn)入21世紀(jì)，我國(guó)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.”如今，探究性學(xué)習(xí)已經(jīng)成為最受關(guān)注的學(xué)習(xí)方式之一.
對(duì)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的研究，國(guó)外起步早、研究深.英國(guó)數(shù)學(xué)教育家布爾斯（Burghes）（1998）認(rèn)為數(shù)學(xué)探究可歸為解難題范疇，從而將探究分成4個(gè)層次：（1）思索式探究（難題）；（2）臺(tái)級(jí)式探究（“過(guò)程”或結(jié)合型問(wèn)題）；（3）決策性問(wèn)題；（4）實(shí)際的問(wèn)題.美國(guó)學(xué)者鮑爾和巴斯（Ball&Bass）（2000）就數(shù)學(xué)推理問(wèn)題與探究能力的關(guān)系進(jìn)行了較長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)證研究，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)推理問(wèn)題的練習(xí)對(duì)提高探究能力效果顯著，數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)依賴于一定的假設(shè)——演繹推理活動(dòng).埃德?tīng)柹‥delson,D.C.）（2001）以信息技術(shù)為平臺(tái)，設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)了幾十個(gè)探究教學(xué)軟件，推廣到五十多所學(xué)校的數(shù)百個(gè)班級(jí)使用，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的新視點(diǎn).寧連華.數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)研究的特點(diǎn)及其思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（4）：28-30.
我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)解題的探究學(xué)習(xí)過(guò)程研究較為具體.徐利治通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)方法論的研究，揭示出問(wèn)題化歸的本質(zhì)，為數(shù)學(xué)解題的探究學(xué)習(xí)過(guò)程做了開(kāi)拓性工作.單墫就數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的探索解法及一般性數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究過(guò)程進(jìn)行了針對(duì)性探討，集中反映在其兩本著作《數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程》（1993）和《解題研究》（2002）中.余應(yīng)龍的《數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)導(dǎo)讀》（2002）及張廣祥的《數(shù)學(xué)中的問(wèn)題探究》（2003）分別列舉了幾十個(gè)可以展開(kāi)探究活動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題.
2001年，國(guó)家《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）明確將“數(shù)學(xué)探究”列為3個(gè)新增版塊之一，強(qiáng)調(diào)了探究性學(xué)習(xí)方式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.隨著數(shù)學(xué)課程改革的推動(dòng)，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)研究逐步被重視，在各種數(shù)學(xué)教育刊物上，以探究學(xué)習(xí)為關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)教學(xué)或?qū)W習(xí)方面的研究論文日漸豐富，但少有系統(tǒng)的研究成果.
下列教師的研究，與課堂教學(xué)密切相連，操作性強(qiáng).徐光考（2005）從教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出數(shù)學(xué)探究性課堂教學(xué)的幾種實(shí)施方法：建構(gòu)“較大”的“潛在距離”，實(shí)施探究式的變式教學(xué)；將數(shù)學(xué)教材中的概念、定理、公式、法則等知識(shí)的形成過(guò)程設(shè)計(jì)成探究的過(guò)程；加強(qiáng)應(yīng)用性問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題的探究教學(xué)；重視合情推理教學(xué)，讓學(xué)生掌握科學(xué)的探究方法.徐光考.數(shù)學(xué)探究性課堂教學(xué)的探索［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（10），24-27.周松（2006）結(jié)合教學(xué)案例歸納了數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的四種類型：對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的探究，對(duì)數(shù)學(xué)一般性規(guī)律的探究，對(duì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)綜合的探究，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律應(yīng)用的探究.周松.數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的基本類型與實(shí)踐［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，45（1），37-39.張國(guó)棣（2007）指出新課程教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生“探究”方向的指導(dǎo)，具體有：探究數(shù)學(xué)概念的起源，滲透數(shù)學(xué)文化；探究公式的推廣，提高應(yīng)用的靈活性；探究問(wèn)題的變化，形成思維的獨(dú)創(chuàng)性；探究問(wèn)題的歸類，逐步滲透方法論思想；探究知識(shí)的“交匯”，提高知識(shí)整合能力；探究數(shù)學(xué)美，提高數(shù)學(xué)審美能力.張國(guó)棣.新課程教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生“探究”方向的指導(dǎo)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（1），5-8.
寧連華（2006）通過(guò)文獻(xiàn)分析和課堂教學(xué)實(shí)錄考察指出：當(dāng)前的數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)存在著邏輯起點(diǎn)錯(cuò)位、針對(duì)性不強(qiáng)、解釋力不足和對(duì)傳遞性教學(xué)設(shè)計(jì)的習(xí)慣性支持等缺陷，根本原因在于兩代教學(xué)設(shè)計(jì)理論（ID1和ID2）的慣性影響力.對(duì)探究需要的分析才是數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯起點(diǎn).進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意：“元認(rèn)知提示語(yǔ)”的啟發(fā)暗示，防止“滑過(guò)現(xiàn)象”的發(fā)生，尊重探究過(guò)程的“自組織性”.寧連華.數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2006,15（4）:39-41,51.
1?3數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)
關(guān)于數(shù)學(xué)優(yōu)秀生（也稱數(shù)學(xué)特長(zhǎng)生）的界定，一直有種種不同的說(shuō)法.有的人以各種考試來(lái)認(rèn)定，數(shù)學(xué)考試成績(jī)最優(yōu)秀的5%的學(xué)生是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生；有的人以數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)來(lái)認(rèn)定，在數(shù)學(xué)奧林匹克中能得獎(jiǎng)的學(xué)生是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生；有的以學(xué)習(xí)效率來(lái)認(rèn)定，不必花費(fèi)太多的時(shí)間和精力，就能得到較好數(shù)學(xué)成績(jī)的學(xué)生是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生；有的以智力水平高低來(lái)認(rèn)定，智商高且數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生.唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2000：150.美國(guó)全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的界定側(cè)重于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，能主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，且數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)速度較快的學(xué)生是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生.這些認(rèn)識(shí)，有的側(cè)重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，有的側(cè)重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.
天津師大教師王光明（2004）兼顧結(jié)果和過(guò)程的觀點(diǎn)：既排除那些不具備內(nèi)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力、學(xué)習(xí)效率不高、但靠“模仿記憶”和“搞題海戰(zhàn)術(shù)”也能獲得較好數(shù)學(xué)認(rèn)知成績(jī)的學(xué)生，又應(yīng)排除那些天賦不錯(cuò)，但缺乏學(xué)習(xí)毅力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不能維持在穩(wěn)定狀態(tài)的學(xué)生，將數(shù)學(xué)優(yōu)秀生界定為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣濃厚、數(shù)學(xué)認(rèn)知成績(jī)好并維持在穩(wěn)定狀態(tài)，而且數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率高（從過(guò)程看，能夠向時(shí)間要數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益；從結(jié)果看，能從數(shù)學(xué)認(rèn)知學(xué)習(xí)要教育效益）的學(xué)生.王光明，王悅.高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀生與普通生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)差異比較、析因與教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（4）.
從20世紀(jì)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，從開(kāi)始的匈牙利大學(xué)預(yù)科和蘇聯(lián)的特設(shè)學(xué)校到后來(lái)相繼成立的美國(guó)和亞洲地區(qū)的學(xué)校，都指出那些天才學(xué)生可以以相當(dāng)快的進(jìn)度學(xué)習(xí)，他們特殊的解決問(wèn)題的能力和高度的抽象思維能力大大超過(guò)了普通學(xué)生.李永智.美國(guó)的英才教育與因材施教［J］.基礎(chǔ)教育參考，2004（4）：15.
在探究性學(xué)習(xí)上數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和普通生還表現(xiàn)出以下差異：
�。�1）數(shù)學(xué)優(yōu)秀生具有較強(qiáng)的探究動(dòng)力
羅柳英（2005）通過(guò)調(diào)查后得出，從一天內(nèi)學(xué)習(xí)時(shí)間分布及一個(gè)月內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平均時(shí)間分布可以看出，優(yōu)秀生與普通生每天花2個(gè)小時(shí)左右時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但時(shí)間分布卻有明顯差異：在預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、獨(dú)立思考方面，優(yōu)秀生L所花時(shí)間是普通生X所花時(shí)間的2倍；在課堂練習(xí)、課外作業(yè)方面，優(yōu)秀生L所花時(shí)間是普通生X所花時(shí)間的一半左右.從總體看，若以課堂為中心，優(yōu)秀生L學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間是靠前的，即他學(xué)在老師的前面.普通生X學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間是靠后的，即他跟在老師的后面學(xué)習(xí).羅柳英.高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀生與數(shù)學(xué)普通生個(gè)案研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2005（5）：23-25.
數(shù)學(xué)優(yōu)秀生更喜歡預(yù)習(xí)，是因?yàn)閮?yōu)秀生對(duì)陌生的數(shù)學(xué)知識(shí)有著更強(qiáng)的探究源動(dòng)力.他們經(jīng)常這樣想：“這是什么符號(hào)，我怎么沒(méi)見(jiàn)過(guò)？”他們能更快地感知數(shù)學(xué)的美，并想探個(gè)究竟，“這是怎么想出來(lái)的，太奇怪了，太漂亮了，我怎么想不到？”
如，這是一個(gè)在清華大學(xué)就讀的學(xué)生用短信向我求教的問(wèn)題：已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)于任意的a,b∈R都滿足
f（a·b）=af（b）bf（a）.
求證：f（x）是常數(shù)函數(shù).我經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考，構(gòu)造了
f（x）=c·xln|x|,x≠00,x=0
為滿足條件的函數(shù)，但非常數(shù)函數(shù)，所以判定原題為錯(cuò)題.學(xué)生認(rèn)為構(gòu)造的反例很巧妙，又問(wèn)“反例是怎么想到的”.通過(guò)手機(jī)短信問(wèn)我問(wèn)題的學(xué)生，明知道“怎么想到”是很難回答的，有時(shí)甚至只可意會(huì)不可言傳，她還要追問(wèn)，可見(jiàn)“怎么想到”是如何的吸引數(shù)學(xué)優(yōu)秀生了.金榮生.一個(gè)反例的構(gòu)造［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（1-2）.
�。�2）數(shù)學(xué)優(yōu)秀生具有較強(qiáng)的質(zhì)疑意識(shí)
從羅柳英（2005）的學(xué)習(xí)行為觀察表中的數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)秀生L在課內(nèi)交流的時(shí)間是普通生X的3倍，甚至更多.具體表現(xiàn)為：在認(rèn)真聽(tīng)講的同時(shí)，優(yōu)秀生L認(rèn)真回答問(wèn)題的比例為23%，主動(dòng)發(fā)言15?3%，向老師提問(wèn)15?3%.普通生X只是認(rèn)真聽(tīng)講并認(rèn)真回答老師提問(wèn)的比例為19?2%，而主動(dòng)發(fā)言及向老師提問(wèn)均為0.羅柳英?高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀生與數(shù)學(xué)普通生個(gè)案研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2005（5）：23-25.
那么，優(yōu)秀生在課堂上的主動(dòng)發(fā)言以及向老師提問(wèn)，都有哪些內(nèi)容呢？你會(huì)聽(tīng)到：“我有不同的解法”，“我認(rèn)為這樣做有漏洞”，“這樣解太麻煩了，有簡(jiǎn)單的方法嗎？”……數(shù)學(xué)優(yōu)秀生具有較強(qiáng)的質(zhì)疑意識(shí)和探究能力.
一個(gè)源于Weierstrass函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題陳波宇同學(xué)憑論文《Weierstrass函數(shù)在不可列的稠密集上不可導(dǎo)的一種證明》獲得第三屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金獎(jiǎng).Weierstrass函數(shù)f（x）=∑∞n=0ancos（bnπx）是數(shù)學(xué)歷史上極其著名的一個(gè)“病態(tài)函數(shù)”.他的發(fā)現(xiàn)者Weierstrass證明了當(dāng)0<a<1,b為奇整數(shù)且ab>13π2時(shí)，在R上處處不可導(dǎo).由此打破了人們直覺(jué)上認(rèn)為連續(xù)函數(shù)必然是近乎可導(dǎo)的猜想.2002年劉文發(fā)表在《高等數(shù)學(xué)研究》上的文章將a,b的范圍推廣為：0<a<1,b為奇整數(shù)且ab>1（1-a）π2.事實(shí)上在哈代的論文中已經(jīng)證明了在0<a<1,ab>1的情況下Weierstrass函數(shù)在R上處處不可導(dǎo)，不過(guò)用的是實(shí)分析的方法，在許多數(shù)學(xué)分析書(shū)上只有結(jié)論，而缺少證明.陳波宇同學(xué)獨(dú)立地用相對(duì)初等的方法證明了在0<a<1,ab>1,b≥6,且b∈Z的情況下，Weierstrass函數(shù)在一個(gè)不可列的稠密集上不可導(dǎo).
適逢2011年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題工作研討會(huì)在天津舉行，上面的問(wèn)題源于陳波宇的論文中一個(gè)引理的特例，是特為此次會(huì)議命制的一個(gè)問(wèn)題.本文發(fā)表于2011年《中等數(shù)學(xué)》第4期.
問(wèn)題：任取一個(gè)區(qū)間（a,b）,證明：必存在一個(gè)無(wú)理數(shù)x∈（a,b）,使數(shù)列{cos（6nπx）}中有無(wú)窮多項(xiàng)大于12.
證明：要證明數(shù)列{cos（6nπx）}中有無(wú)窮多項(xiàng)大于12，只要證明有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，使
2k13>6nx>2k-13，k∈Z.
考慮將a,b的小數(shù)部分6進(jìn)制化，設(shè)
a=a0（0.a1a2a3…ak…）6,
b=b0（0.b1b2b3…bk…）6,
其中a0,b0∈Z,ak,bk∈{0,1,2,3,4,5},k=1,2,3,…,且不存在整數(shù)N,當(dāng)n≥N時(shí)，恒有an=5,bn=5.
因?yàn)閍<b,所以必存在整數(shù)t,使at<bt，且若i<t,i∈N,有ai=bi.
設(shè)am是從at1項(xiàng)起第一個(gè)不為5的數(shù)碼，令
x=x0（0.x1x2x3…xk…）6
=a0（0.a1a2…at-1at55…55am-15010110111011110…）6,
則有a<x<b,且x是無(wú)理數(shù).
設(shè)x的小數(shù)部分在m位后數(shù)碼為0的數(shù)位依次是n1,n2,n3,…,則對(duì)任意的ni，有
6nix>6nia0（x1x2…xni-10）6（0.1xni2xni3…）6,
因?yàn)?nia0（x1x2…xni-10）6是偶數(shù)，可令其為2k,k∈Z.
又13=（0.2）6>（0.1xni2xni3…）6>0>-13,可見(jiàn)，x符合條件，原問(wèn)題得證.
2?數(shù)學(xué)課堂內(nèi)的探究性學(xué)習(xí)
涂榮豹指出：“是不是堂堂課都要搞探究，現(xiàn)有的條件下基本不可能.一個(gè)真正意義上的探究教學(xué)，搞好了，很花時(shí)間，再說(shuō)教學(xué)時(shí)間、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)內(nèi)容、教師精力、班級(jí)人數(shù),等等，那么多制約條件，談何容易，何況還有一個(gè)升學(xué)的壓力在那里呢！我的看法，三四個(gè)星期能有一節(jié)課是真正的探究就了不起了，一個(gè)學(xué)期有五六節(jié)課，就不容易啦.應(yīng)該提倡教學(xué)中局部的探究式教學(xué)，經(jīng)常性的有那么一小段進(jìn)行探究.我提倡這樣來(lái)把握探究式教學(xué)：貫穿教學(xué)始終的探究多嘗試，每節(jié)課中一兩小段的探究須堅(jiān)持.”涂榮豹.談提高對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)——兼評(píng)兩節(jié)數(shù)學(xué)課［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（1-2）:4-8.
誠(chéng)然，探究教學(xué)要“適時(shí)”“適當(dāng)”和“適度”！對(duì)不同的學(xué)生，探究要有不同的要求.相比于普通生的探究性學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為要給數(shù)學(xué)優(yōu)秀生更充足的探究時(shí)間.數(shù)學(xué)優(yōu)秀生喜歡探究，也只有那種包含探究性問(wèn)題的課堂才真正讓數(shù)學(xué)優(yōu)秀生感興趣.在課堂中要給學(xué)生留足探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在課堂上展示思維的過(guò)程，很多時(shí)間教師需要擔(dān)當(dāng)一個(gè)合格的傾聽(tīng)者.
探究性學(xué)習(xí)的課堂基本模式是：情景吸引—定向探究—合作討論—反饋評(píng)價(jià)，不同課型的探究教學(xué)又有其各自的特點(diǎn).
2?1數(shù)學(xué)概念課的探究教學(xué)
概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體.在概念教學(xué)中教師要啟發(fā)學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行一系列的感知活動(dòng)，聯(lián)系個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行分析、綜合、抽象，歸納出一類事物的共同特征，并抽象概括形成“概念”.該課型探究教學(xué)的一般結(jié)構(gòu)是：
提出問(wèn)題
鼓勵(lì)猜想
引入概念→感知體驗(yàn)
自主探索
形成概念→抽象概括
討論補(bǔ)充
表述概念→舉例理解
變式訓(xùn)練
鞏固概念→聯(lián)系實(shí)際
發(fā)表感悟
應(yīng)用概念
（1）引入概念
概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段.
�。�2）形成概念
形成概念是通過(guò)對(duì)具體事物的感知、辨別而抽象概括的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自主探索去完成，用自己的頭腦親自去發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性或規(guī)律，進(jìn)而獲得新概念.
�。�3）表述概念
概念形成之后，應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語(yǔ)言表述出來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生正確的表述概念，能促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性.這時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生大膽給概念下定義，與同學(xué)合作討論，給出盡量精確的表述.這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)信息網(wǎng)絡(luò)了解概念表述的來(lái)龍去脈.
（4）鞏固概念
要運(yùn)用變式加深理解概念的內(nèi)涵與外延，鞏固概念.所謂變式，就是使提供給學(xué)生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式，使非本質(zhì)屬性時(shí)有時(shí)無(wú)，而本質(zhì)屬性保持恒在.恰當(dāng)運(yùn)用變式，能使思維不受消極定勢(shì)的束縛，實(shí)現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換，使思維呈發(fā)散狀態(tài).
�。�5）應(yīng)用概念
讓學(xué)生用學(xué)到的數(shù)學(xué)概念解決日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，是概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的有力手段.
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程本文為2005年12月我在浙江省甌海區(qū)梧田高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班公開(kāi)教學(xué)的教案.
按照課本所呈現(xiàn)的知識(shí)順序教“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，在內(nèi)容安排上與學(xué)生剛學(xué)的橢圓、雙曲線雷同，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)一般以問(wèn)題“橢圓的離心率在0和1之間、雙曲線的離心率大于1，那么是否有離心率等于1的曲線？”為引入，但這些問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生缺乏挑戰(zhàn)性、新穎性，從而也沒(méi)有留給學(xué)生自主探索的空間.而由于包絡(luò)等內(nèi)容學(xué)生很少在課本和課堂上接觸到，例如在“猜一猜包絡(luò)上的點(diǎn)的特點(diǎn)，想一想拋物線的方程是否也具有Ax2By2F=0的形式”等環(huán)節(jié)需要學(xué)生充分發(fā)揮主動(dòng)性，分組協(xié)商討論需要學(xué)生去歸納、應(yīng)用他們所學(xué)的知識(shí)，鞏固練習(xí)給學(xué)生自我反思的機(jī)會(huì)，所以本教學(xué)設(shè)計(jì)在發(fā)揮學(xué)生的首創(chuàng)精神、將知識(shí)外化和實(shí)現(xiàn)自我反饋等環(huán)節(jié)做了努力，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是為數(shù)學(xué)優(yōu)秀生準(zhǔn)備的，需要學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維.
一、折紙引入，創(chuàng)建情境
教師使用實(shí)物投影儀，一邊示范，一邊講解折紙規(guī)則；學(xué)生折紙，體驗(yàn)拋物線形包絡(luò)的形成過(guò)程.折紙規(guī)則：
1?如圖1-1所示，取一長(zhǎng)方形白紙，在一邊上定一點(diǎn)F;
2?如圖1-2所示，在點(diǎn)F所在邊的對(duì)邊任取一點(diǎn)G,折紙使之與點(diǎn)F重合；
3?如圖1-3所示，留下折痕，即FG的中垂線；
4?如圖1-4所示，多次改變點(diǎn)G的位置，重復(fù)第2、第3步.
圖1-1
圖1-2
圖1-3
圖1-4
為了給出更清晰的包絡(luò)曲線，教師利用幾何畫(huà)板，作出拋物線包絡(luò)，一邊作圖，一邊講解作圖步驟，學(xué)生觀察、思考、討論，進(jìn)一步體驗(yàn)拋物線的形成過(guò)程.作圖步驟：
1?取定點(diǎn)F，定直線l;
2?在l上取動(dòng)點(diǎn)A，連接AF，做垂直平分線；
3?追蹤垂線，形成包絡(luò).
二、獨(dú)立探索，尋求定義
觀察電腦動(dòng)畫(huà)和折紙形成的包絡(luò)，獨(dú)立思考以下問(wèn)題：形成的包絡(luò)曲線是前面學(xué)習(xí)的圓、橢圓、雙曲線嗎？曲線上的點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？
雖然面向數(shù)學(xué)優(yōu)秀生授課，但也應(yīng)關(guān)注學(xué)生的差異，還可以給不同的學(xué)生提供以下層次高低不同的支架：
1?你可以通過(guò)觀察，做一些猜想，再用刻度尺量一量來(lái)驗(yàn)證你的猜想.（當(dāng)學(xué)生不知從何入手時(shí)，為他們提供建議式支架）
2?包絡(luò)的形狀與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬有關(guān)嗎？
�。ㄅcF所在的邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，而與F到對(duì)邊的距離有關(guān).這是為學(xué)生提供的問(wèn)題式支架，目的是為了排除無(wú)關(guān)信息的干擾，從而為學(xué)生關(guān)注拋物線定義中的定點(diǎn)和定直線提供幫助）
圖1-5
3?圖1-5中，AF的垂直平分線為形成的包絡(luò)曲線提供了幾個(gè)點(diǎn)?它們的關(guān)系如何？（一個(gè)點(diǎn)，相切）
4?圖1-5中，切點(diǎn)B與A點(diǎn)的連線與直線l的關(guān)系如何？（垂直）
通過(guò)學(xué)生的探索，歸納得到包絡(luò)曲線上點(diǎn)的特點(diǎn)，即到點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等，包絡(luò)曲線不同于前面學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線.進(jìn)而給出拋物線的定義.
三、協(xié)作學(xué)習(xí)，探求方程
先將學(xué)生分成小組，要求小組成員選擇不同的建立直角坐標(biāo)系的方法，獨(dú)立推導(dǎo)拋物線的方程，然后將得到的結(jié)果在小組中協(xié)商、討論.
要求各小組提出問(wèn)題在小組討論，也可以選擇討論下面老師提供的幾個(gè)問(wèn)題：
1?怎樣建立直角坐標(biāo)系，得到的拋物線的方程最簡(jiǎn)潔？
不同的建立直角坐標(biāo)系的方法，得到的拋物線方程在形式上有什么不同？為什么會(huì)產(chǎn)生這種不同？
2?圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫(xiě)成Ax2By2F=0的形式，能夠找到一種建立直角坐標(biāo)系的方法，讓拋物線的方程也具有Ax2By2F=0的形式嗎？（若拋物線的方程也具有Ax2By2F=0的形式，則其圖像有兩條對(duì)稱軸，這與拋物線只有一條對(duì)稱軸矛盾）
3?初中學(xué)習(xí)過(guò)的拋物線y=x2的焦點(diǎn)在哪里？y=8x2呢？y=ax2bxc呢？（目的在于將初中知識(shí)納入知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)）
4?拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么用？如何記憶？
教師提供問(wèn)題的目的是引發(fā)學(xué)生的思考，通過(guò)學(xué)生的討論使?fàn)顟B(tài)紛呈的復(fù)雜局面逐漸變得明朗、一致，使其在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上達(dá)到對(duì)當(dāng)前所學(xué)知識(shí)比較全面、正確的理解，最終完成對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu).
四、練習(xí)鞏固，反思評(píng)價(jià)
通過(guò)練習(xí)強(qiáng)化符合要求的意義建構(gòu)，支架中的練習(xí)設(shè)計(jì)，既考慮到以各種方法為基礎(chǔ)的能力類別，又考慮用習(xí)題的難度與復(fù)雜性體現(xiàn)能力要求的高低.
1?求焦點(diǎn)是F（0,-2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.已知拋物線過(guò)點(diǎn)（1，1），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.（認(rèn)清拋物線方程的四種形式）
2?已知A為拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，|AF|=2，求A點(diǎn)坐標(biāo).
解法1：設(shè)A（x,y），則有y2=4x（x-1）2y2=4,解得x=1或x=-3（舍），所以A（1,±2）.
解法2：設(shè)A（x,y），根據(jù)拋物線的定義由|AF|=2知，A到準(zhǔn)線的距離為2，所以x1=2,解得x=1,A（1,±2）.
解法1是方程思想的體現(xiàn)，解法2是拋物線定義的應(yīng)用，本題可用于檢測(cè)學(xué)生是否完成對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu).
五、前后呼應(yīng)，引申探究
課尾讓學(xué)生回顧一節(jié)課下來(lái)的收獲，并將這種積極的情感帶到課后.這時(shí)提出要求學(xué)生課后解決的帶有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：圖1-5中的中垂線形成的包絡(luò)是拋物線，是我們觀察得到的，你能證明嗎？
這時(shí)對(duì)能力較好的部分學(xué)生撤除支架，鼓勵(lì)自主探索.對(duì)另一部分學(xué)生可以提供以下支架，分解難點(diǎn)：
1?從幾何的角度思考，只要說(shuō)明：每條AF的中垂線上都有一點(diǎn)落在以F為焦點(diǎn)、l為準(zhǔn)線的拋物線上，其余的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離大于到準(zhǔn)線的距離.
圖1-6
2?從方程的角度考慮，可以思考以下問(wèn)題:
�。�1）為什么F不在陰影部分內(nèi)？如何判斷一點(diǎn)M（x,y）是否在陰影部分內(nèi)？（因?yàn)镕不在任何一條中垂線上，只要看M（x,y）的坐標(biāo)是否適合某條中垂線的方程）
�。�2）如何求陰影部分點(diǎn)的集合？如圖1-6，過(guò)F做l的垂線，垂足為G，以FG的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線FG為x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)l上的動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為-p2,m，則F的坐標(biāo)為p2,m.AF的中垂線方程是2px-2mym2=0,點(diǎn)M（x,y）在某條中垂線上，則關(guān)于m的方程2px-2mym2=0有解，因而Δ=4y2-8px≥0.因而陰影部分點(diǎn)的集合是{（x,y）|y2≥2px}.所以，圖1-5中的中垂線形成的包絡(luò)是拋物線.
2?2數(shù)學(xué)命題課的探究教學(xué)
表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的陳述句是數(shù)學(xué)命題，定義、公理、定理、推論、公式都是符合客觀實(shí)際的真命題.數(shù)學(xué)命題課的教學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)公理、定理、推論、公式的教學(xué)，它是學(xué)生獲得新知識(shí)的必由之路，也是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).任何一個(gè)數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷一個(gè)由感性到理性的抽象概括的過(guò)程.如果我們把這些過(guò)程返璞歸真，在教師的指導(dǎo)下學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去領(lǐng)悟命題的形成過(guò)程中隱含的思想方法，則學(xué)生獲得的不僅是數(shù)學(xué)定義、定理、公式，而且增強(qiáng)了抽象概括的能力，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.該課型探究教學(xué)的一般結(jié)構(gòu)是：
創(chuàng)設(shè)情境
設(shè)疑導(dǎo)入→猜想預(yù)見(jiàn)
形成結(jié)論→推理驗(yàn)證
系統(tǒng)理解→分層應(yīng)用
變式訓(xùn)練→提煉思想
引申拓廣
�。�1）引入命題
“學(xué)起于思，思源于疑”，數(shù)學(xué)優(yōu)秀生喜歡質(zhì)疑.疑能使學(xué)生心理上感到困惑，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，這種沖突是激發(fā)學(xué)生求知的動(dòng)力，是探究的“催化劑”.因此，在教學(xué)過(guò)程一開(kāi)始，就要緊緊圍繞數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容，從實(shí)際需要或知識(shí)發(fā)展入手，通過(guò)特殊化、類比、猜想等提出有針對(duì)性的問(wèn)題，引入新課.
�。�2）形成命題
問(wèn)題提出后片刻，即引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行合情推理，或觀察，或試驗(yàn)，或猜想，以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理、公式或法則，并就條件和結(jié)論概括成命題.這階段是對(duì)命題的初步認(rèn)識(shí)，這種初步認(rèn)識(shí)是感性的、零碎的，或者說(shuō)是表面的、朦朧的理解.它存在著這個(gè)命題與學(xué)生原有知識(shí)如何同化或順應(yīng)的問(wèn)題.這些問(wèn)題造成了學(xué)生深入理解命題本質(zhì)的困惑，但同時(shí)也是學(xué)生力圖解除困惑的動(dòng)因.教師應(yīng)充分利用這種困惑，設(shè)疑導(dǎo)入，并逐步抽象和提煉，不斷逼近命題的本質(zhì)，從而形成結(jié)論.這就可望形成學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)的氛圍，奠定學(xué)生作為知識(shí)探究者的地位.
�。�3）理解命題
結(jié)論是否成立必須從理論上證明.由于有些數(shù)學(xué)命題的證明方法具有典型性，尋找證明方法具有規(guī)律性，因此，必須啟發(fā)學(xué)生分析證明思路，尋找證明方法，形成數(shù)學(xué)思維.通過(guò)命題的形成、證明，學(xué)生心中引入時(shí)的“疑”已煙消云散了，成功感會(huì)油然而生，心理上處于興奮狀態(tài).此時(shí)，應(yīng)趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題進(jìn)行全面的分析和領(lǐng)會(huì)，細(xì)致地進(jìn)行觀察，不僅在形式上，而且要在本質(zhì)上加深對(duì)定理的理解.這階段是對(duì)命題的認(rèn)識(shí)從感性到理性、朦朧到清晰、表面到深入、表象到本質(zhì)的一個(gè)過(guò)程，實(shí)際上就是使學(xué)生對(duì)所形成的結(jié)論在思想上產(chǎn)生認(rèn)同和確定.這時(shí)信息技術(shù)可以幫助學(xué)生加深對(duì)命題的理解，化抽象為形象.應(yīng)當(dāng)指出數(shù)學(xué)證明不是加深對(duì)命題理解的唯一方式，也不一定是最好的方式.
�。�4）運(yùn)用命題
運(yùn)用是對(duì)知識(shí)加深理解的必要環(huán)節(jié)，也是能力培養(yǎng)的主渠道.但對(duì)知識(shí)的理解和能力的培養(yǎng)都必須遵循循序漸進(jìn)的原則.為此，在應(yīng)用上可分層進(jìn)行，由易到難，拾級(jí)而上，變式展開(kāi)，形成梯度.例如：對(duì)公式的運(yùn)用，我們可以從正用、逆用、變形后用加以考慮.有時(shí)也可以要求學(xué)生自己編寫(xiě)例題，靈活運(yùn)用，編題的過(guò)程也是探究的過(guò)程.
�。�5）引申拓廣
要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題證明的方法、命題形成的思維方法以及命題的運(yùn)用方法進(jìn)行總結(jié)，考慮命題的條件能否弱化，結(jié)論能否加強(qiáng)，能否通過(guò)類比、一般化等方法對(duì)命題加以推廣.
下面的課例，《基本不等式及其應(yīng)用》是我在上海市北中學(xué)“和而不同，上好家常課”活動(dòng)中，在理科實(shí)驗(yàn)班上的公開(kāi)課.師生互動(dòng)，氣氛活躍，得到了同行、專家的普遍贊譽(yù)，從學(xué)生的作業(yè)反饋可以看出，學(xué)生是真正會(huì)代這兩個(gè)公式了！
基本不等式及其應(yīng)用本文為2007年10月我在市北中學(xué)“和而不同，上好家常課”公開(kāi)教學(xué)活動(dòng)中的教案，發(fā)表于閘北區(qū)教育局編的《教育探索》2008年第1期.
一、引言
《基本不等式及其應(yīng)用（一）》這節(jié)課要學(xué)會(huì)代兩個(gè)公式：a2b2≥2ab,ab2≥ab.看起來(lái)，這并不是很難的事.但我在重點(diǎn)中學(xué)第一個(gè)班級(jí)上課的效果不太理想，上課學(xué)生聽(tīng)得懂，可課后作業(yè)不會(huì)做，或者還是用老方法做.其他老師也有同樣的感嘆：“現(xiàn)在的學(xué)生怎么了，公式都不會(huì)代！”究其原因，主要有二：
第一，以前學(xué)的公式基本上是恒等式.而此處的公式是恒成立的不等式，不僅要學(xué)生瞻前——關(guān)注公式中字母存在的條件；還要顧后——不等式中等號(hào)成立的條件.就是說(shuō)代這個(gè)公式要關(guān)注的問(wèn)題比較多.
第二，不用這個(gè)公式，也能用過(guò)去熟悉的方法——做差比較法求解.學(xué)生沒(méi)有體會(huì)到代公式的方便，對(duì)新學(xué)的知識(shí)有潛在的排斥.
二、授課過(guò)程
第二次上這節(jié)課時(shí)，我做了改進(jìn).
1?一見(jiàn)而鐘情
引入時(shí)提出問(wèn)題：如圖1-7所示，直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊與正方形的邊長(zhǎng)相等.問(wèn)：四個(gè)這樣的直角三角形能否填滿這個(gè)正方形？
圖1-7
圖1-8
圖1-9
圖1-8是我國(guó)古代用于證明勾股定理的弦圖的一個(gè)局部，也是在我國(guó)召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo).圖1-9是a=b的情況.
以弦圖引入新課，讓學(xué)生對(duì)基本不等式從形上加以認(rèn)識(shí)，一見(jiàn)而鐘情.
2?從哪里來(lái)，到哪里去
在理解公式的過(guò)程中，讓學(xué)生逐漸明白公式的來(lái)龍去脈.
�。�1）逐步展示圖1-10中的內(nèi)容，通過(guò)知識(shí)的梳理，讓學(xué)生進(jìn)一步明確基本不等式1和基本不等式2是怎么來(lái)的，可有哪些用處，怎么用基本不等式.
圖1-10
圖中虛線為學(xué)生指出了用好基本不等式的方向——用不同的量代換公式中的字母，得到新的恒不等式.
�。�2）與學(xué)生討論基本不等式1中“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”的含義.
問(wèn)題：“當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”指的是什么？（a=b?a2b2=2ab）
“僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”指的是什么？（a≠b?a2b2>2ab）
“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”指的是什么？（a=b?a2b2=2ab）
此處把“當(dāng)”和“僅當(dāng)”分開(kāi)提問(wèn)，將難點(diǎn)分散，有助于學(xué)生對(duì)“等號(hào)成立條件”的理解.
（3）考慮恒不等式a2b2≥2ab與a2b2≥2|ab|的關(guān)系.
恒不等式a2b2≥2ab對(duì)a,b中有且僅有一個(gè)是負(fù)數(shù)的情況放得太寬了，這時(shí)不等式可加強(qiáng)為a2b2≥-2ab.
一方面，a2b2≥2|ab|是a2b2≥2ab的特殊情況（用|a|,|b|代基本不等式中的a,b）;另一方面，a2b2≥2ab可以由a2b2≥2|ab|≥2ab推得.
通過(guò)對(duì)a2b2≥2ab與a2b2≥2|ab|關(guān)系的思考，使學(xué)生對(duì)基本不等式的應(yīng)用（合理的變量代換或結(jié)合不等式的性質(zhì)加以推理）有了初步的體驗(yàn).在對(duì)不等式強(qiáng)弱的比較中，感受數(shù)學(xué)的奇異美.
圖1-11
�。�4）說(shuō)明ab2、ab分別叫作a、b的算術(shù)平均值和幾何平均值.基本不等式2就是指：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.其幾何意義是直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的中線；或半弦不大于半徑（見(jiàn)圖1-11）.
3?欲窮千里目，更上一層樓
在公式的應(yīng)用中，逐步認(rèn)識(shí)到基本不等式帶來(lái)的方便，體味登高望遠(yuǎn)的喜悅.
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