《現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用》內(nèi)容簡(jiǎn)介：現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展對(duì)概率論提出了越來(lái)越高的要求。經(jīng)典的極限理論以研究隨機(jī)變量序列部分和序列的極限性狀為己任，近代極限理論則主要研究部分和過(guò)程向布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱逼近。然而，隨著概率論與其他學(xué)科的交叉，所產(chǎn)生出的許多復(fù)雜的隨機(jī)結(jié)構(gòu)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是用“部分和”就可以刻畫得了的。不同的隨機(jī)結(jié)構(gòu)來(lái)自于迥異的領(lǐng)域，相差甚遠(yuǎn)，對(duì)其中的概率問(wèn)題的研究遠(yuǎn)非傳統(tǒng)方法能夠勝任。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，隨著對(duì)復(fù)雜隨機(jī)結(jié)構(gòu)中隨機(jī)變量極限性狀的研究逐步開展，涌現(xiàn)出許多全新的理論和方法，也深化和發(fā)展了一些原有的理論。這些理論與方法目前還只散見于各種學(xué)術(shù)刊物，雖然已有不少綜述性的文章介紹其中的一些理論與方法，但是仍然缺乏一本較為全面系統(tǒng)介紹它們的著作。
《現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用》便是產(chǎn)生于這樣的背景之下。
《現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用》作為國(guó)內(nèi)關(guān)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)極限理論方面的首本著作，將在簡(jiǎn)略介紹概率論與經(jīng)典極限理論基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，介紹一些典型的隨機(jī)結(jié)構(gòu)以及概率距離理論，并逐一剖析在隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究中最為廣泛使用的壓縮法、Polya罐方法、生成函數(shù)法、矩方法、Stein方法等，它們都是現(xiàn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究領(lǐng)域中最為重要的方法。作者結(jié)合近年來(lái)國(guó)內(nèi)外最新的研究成果和文獻(xiàn)，形象生動(dòng)地講述了這些方法的具體應(yīng)用技巧，盡量使讀者能夠很快地熟悉并掌握這些方法�？梢哉f(shuō)，《現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用》是開啟隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究領(lǐng)域大門的一把很好的鑰匙。
《現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用》包含了隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的眾多研究方法和實(shí)例，內(nèi)容系統(tǒng)全面，可供相關(guān)專業(yè)的教師、學(xué)生以及研究人員使用參考。
目錄：
序
第一章 概率論基本知識(shí)
1.1 預(yù)備知識(shí)
1.1.1 概率空間
1.1.2 隨機(jī)變量
1.1.3 矩、特征函數(shù)與分布
1.1.4 隨機(jī)變量在概率空間上的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題
1.2 隨機(jī)變量序列的各種收斂性
1.2.1 依概率收斂
1.2.2 a.s.收斂
1.2.3 平均收斂
1.2.4 依分布收斂
1.2.5 各種收斂性之間的關(guān)系
1.2.6 連續(xù)性定理
1.3 經(jīng)典極限理論中的有關(guān)結(jié)果
1.3.1 大數(shù)律
1.3.2 中心極限定理
1.3.3 漸近正態(tài)的收斂速度估計(jì)
1.4 鞅
1.4.1 條件數(shù)學(xué)期望
1.4.2 鞅與相關(guān)的概念
1.4.3 鞅足標(biāo)的隨機(jī)化
1.4.4 基本不等式
1.4.5 下鞅和鞅收斂的基本定理
1.4.6 鞅的大數(shù)律和中心極限定理
1.5 三大積分變換
1.5.1 Foreier積分公式
1.5.2 Fourier變換、Laplace變換與它們的逆變換
1.5.3 Mellin變換
第二章 隨機(jī)結(jié)構(gòu)
2.1 圖論中的基本概念
2.1.1 圖的概念與表示
2.1.2 樹的概念
2.2 隨機(jī)圖論
2.2.1 經(jīng)典隨機(jī)圖論
2.2.2 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)
2.2.3 隨機(jī)樹
2.3 兩類典型的隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)
2.3.1 組合隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)
2.3.2 連續(xù)參數(shù)隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)
2.4 與數(shù)據(jù)搜索有關(guān)的隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)舉例
2.4.1 Quickselect
2.4.2 聚類合并(Mergesort)
2.4.3 索回樹(Tries)
2.5 隨機(jī)m叉搜索樹
2.5.1 隨機(jī)m叉搜索樹的概念
2.5.2 隨機(jī)二叉搜索樹的子樹
2.5.3 隨機(jī)二叉搜索樹上的頂點(diǎn)數(shù)目
2.5.4 隨機(jī)二叉搜索樹上隨機(jī)頂點(diǎn)的深度
2.6 均勻遞歸樹
2.6.1 均勻遞歸樹的概念
2.6.2 均勻遞歸樹的分支數(shù)目
2.6.3 均勻遞歸樹上頂點(diǎn)n的深度
2.6.4 均勻遞歸樹中的路徑總長(zhǎng)
2.6.5 均勻遞歸樹最大分支
第三章 概率距離
3.1 概率距離的一般性理論
3.1.1 從函數(shù)空間中的距離談起
3.1.2 一般度量空間中的概率距離
3.1.3 復(fù)雜距離與簡(jiǎn)單距離
3.1.4 復(fù)雜距離的最小化
3.1.5 理想距離
3.2 lr距離
3.2.1 lr距離的定義
3.2.2 lr距離的性質(zhì)
3.2.3 lr距離的收斂性
3.3 Zolotarev距離
3.3.1 Zolotarev距離的定義
3.3.2 Zolotarev距離的基本性質(zhì)
3.3.3 Zolotarev距離的收斂性
3.3.4 Zolotarev距離的Lp版本
3.4 距離的光滑化
3.4.1 一致密度距離的光滑化
3.4.2 全變差距離的光滑化
3.4.3 其他光滑化距離
第四章 壓縮法
4.1 壓縮法的最初形式
4.1.1 利用遞歸方程計(jì)算特征數(shù)字
4.1.2 Rosler方法的基本思想
4.1.3 不動(dòng)點(diǎn)原理
4.1.4 收斂到不動(dòng)點(diǎn)
4.2 正態(tài)逼近與距離選擇問(wèn)題
4.2.1 關(guān)于距離的選用問(wèn)題
4.2.2 正態(tài)逼近問(wèn)題中的距離選擇
4.2.3 正態(tài)分布的若干刻畫定理
4.3 運(yùn)用Zolotarev距離的例子與啟示
4.3.1 隨機(jī)二叉搜索樹的子樹數(shù)目
4.3.2 一些啟示
4.4 壓縮法的一般形式
4.4.1 遞歸問(wèn)題的一般性提法
4.4.2 壓縮映射與不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)
4.4.3 收斂定理
4.4.4 K為依賴于n的隨機(jī)變量的情形
4.5 壓縮收斂定理在組合結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用
4.5.1 組合結(jié)構(gòu)中的壓縮收斂定理
4.5.2 轉(zhuǎn)移定理的應(yīng)用：非漸近正態(tài)情形
4.5.3 中心極限定理(推論5.1)的應(yīng)用
4.6 極限方程退化的情形
4.6.1 問(wèn)題的由來(lái)
4.6.2 單一分支退化情形，漸近正態(tài)
4.6.3 一些應(yīng)用
4.6.4 多分支退化情形
4.7 連續(xù)參數(shù)情形
4.7.1 參數(shù)連續(xù)情形下的一般性壓縮定理
4.7.2 連續(xù)參數(shù)下的中心極限定理
4.7.3 周期變化情形下的有關(guān)結(jié)果
4.8 關(guān)于分割樹上頂點(diǎn)數(shù)目的討論
4.8.1 N(x)的期望與方差
4.8.2 N(x)的中心極限定理
4.8.3 適用于本節(jié)結(jié)論的一些例子
4.8.4 不適用于本節(jié)結(jié)論的一些例子
第五章 Polya罐模型
5.1 模型簡(jiǎn)介
5.2 只含兩種顏色球的Polya罐
5.2.1 Polya-Eggenberger罐
5.2.2 Bernard Friedman罐
5.2.3 Bagchi-Pal罐
5.2.4 Ehrenfest罐
5.3 Polya過(guò)程
5.3.1 Poisson化
5.3.2 反Poisson化
5.4 極限性質(zhì)
5.5 廣義Polya罐模型
5.6 在隨機(jī)樹中的應(yīng)用
5.6.1 隨機(jī)二又搜索樹
5.6.2 m叉搜索樹
5.6.3 均勻遞歸樹
第六章 生成函數(shù)
6.1 單變量生成函數(shù)
6.1.1 普通單變量生成函數(shù)的定義與性質(zhì)
6.1.2 指數(shù)型生成函數(shù)的定義與性質(zhì)
6.1.3 單變量生成函數(shù)的應(yīng)用舉例：Catalan數(shù)
6.1.4 生成函數(shù)的系數(shù)
6.2 雙變量生成函數(shù)
6.2.1 應(yīng)用示例：有顯式情形
6.2.2 應(yīng)用示例：無(wú)顯式情形
6.3 概率生成函數(shù)
6.3.1 概率生成函數(shù)的定義號(hào)陛質(zhì)
6.3.2 概率生成函數(shù)的應(yīng)用舉例
6.4 生成函數(shù)在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的若干應(yīng)用
6.4.1 均勻遞歸樹的最大分支和最小分支
6.4.2 m叉隨機(jī)搜索樹上的不成功搜索
第七章 經(jīng)典方法在隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究中的若干應(yīng)用
7.1 組合概率方法：關(guān)于均勻遞歸樹上的分支數(shù)目研究
7.1.1 ζn，1的分布律和極限分布
7.1.2 一般情形
7.1.3 ζn，m的聯(lián)合分布
7.1.4 ζn，m聯(lián)合分布的極限分布
7.2 組合概率方法：關(guān)于Yule樹的研究
7.3 獨(dú)立和方法：關(guān)于均勻遞歸樹上的頂點(diǎn)間距離研究
7.3.1 關(guān)于均勻遞歸樹上頂點(diǎn)間距離研究的背景介紹
7.3.2 均勻遞歸樹上頂點(diǎn)間距離的大數(shù)律
7.3.3 均勻遞歸樹上頂點(diǎn)間距離的中心極限定理
7.4 矩方法
7.5 鞅方法
7.5.1 均勻遞歸樹的路徑總長(zhǎng)
7.5.2 Barabasi-Albert隨機(jī)樹的最大頂點(diǎn)度數(shù)
7.6 Stein方法
7.6.1 正態(tài)逼近
7.6.2 Poisson逼近
參考文獻(xiàn)
索引
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