《數(shù)學(xué)橋:對(duì)高等數(shù)學(xué)的一次觀賞之旅》是一本獨(dú)一無(wú)二的數(shù)學(xué)書(shū)。它不是教科書(shū)，也不是普及書(shū)，而是一本介于這兩者之間的“普及性教科書(shū)”。它以高中數(shù)學(xué)為起點(diǎn)，用一種娓娓道來(lái)、徐徐展開(kāi)的方式，向你展示大學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容和亮點(diǎn)，讓你欣賞許多令人驚嘆的結(jié)果，領(lǐng)略它們的自然之美和實(shí)用價(jià)值。《數(shù)學(xué)橋:對(duì)高等數(shù)學(xué)的一次觀賞之旅》好比一座數(shù)學(xué)橋，它幫你從以重復(fù)性解題操練為基礎(chǔ)的高中數(shù)學(xué)，平安順利地過(guò)渡到以系統(tǒng)性思想探究為主旨的高等數(shù)學(xué)。如果你即將或正在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，那么《數(shù)學(xué)橋:對(duì)高等數(shù)學(xué)的一次觀賞之旅》將是你學(xué)習(xí)道路上的好伴侶；如果你已經(jīng)學(xué)完了高等數(shù)學(xué)，那么不妨也來(lái)瀏覽一下，你很可能會(huì)說(shuō)：“哎呀，原來(lái)是這么回事！”
目錄：
序言
1.數(shù)
1.1 計(jì)數(shù)
1.1.1 自然數(shù)
1.1.1.1 自然數(shù)的構(gòu)造
1.1.1.2 算術(shù)
1.1.2 整數(shù)
1.1.2.1 零和負(fù)整數(shù)的性質(zhì)
1.1.3 有理數(shù)
1.1.4 序
1.1.4.1 使N，Z和Q有序
1.1.5 從一到無(wú)窮大
1.1.5.1 無(wú)窮集的比較
1.1.6 無(wú)窮算術(shù)
1.1.7 超越
1.2 實(shí)數(shù)
1.2.1 怎樣產(chǎn)生無(wú)理數(shù)
1.2.1.1 實(shí)數(shù)的代數(shù)描述
1.2.2 有多少個(gè)實(shí)數(shù)
1.2.3 代數(shù)數(shù)和超越數(shù)
1.2.3.1 超越數(shù)的例子
1.2.4 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和更大的無(wú)窮大
1.3 復(fù)數(shù)及其高維同伴
1.3.1 復(fù)數(shù)i的發(fā)現(xiàn)
1.3.2 復(fù)平面
1.3.2.1 復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用
1.3.3 棣莫弗定理
1.3.4 多項(xiàng)式和代數(shù)基本定理
1.3.4.1 多項(xiàng)式方程的求解
1.3.5 還有其他的數(shù)嗎
1.3.5.1 四元數(shù)
1.3.5.2 凱萊數(shù)
1.4 素?cái)?shù)
1.4.1 計(jì)算機(jī)、算法和數(shù)學(xué)
1.4.2 素?cái)?shù)的性質(zhì)
1.4.3 素?cái)?shù)有多少個(gè)
1.4.3.1 素?cái)?shù)的分布
1.4.4 歐幾里得算法
1.4.4.1 歐幾里得算法的速度
1.4.4.2 連分?jǐn)?shù)
1.4.5 貝祖引理和算術(shù)基本定理
1.5 模整數(shù)
1.5.1 模為素?cái)?shù)的算術(shù)
1.5.1.1 一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)、的公式
1.5.1.2 費(fèi)馬小定理
1.5.2 RSA密碼
1.5.2.1 建立RSA體制
1.5.2.2 一種RSA密碼體制
2.分析
2.1 無(wú)窮極限
2.1.1 三個(gè)例子
2.1.1.1 阿基里斯和烏龜
2.1.1.2 連續(xù)復(fù)合利率
2.1.1.3 方程的迭代解法
2.1.2 極限的數(shù)學(xué)描述
2.1.2.1 收斂的一般準(zhǔn)則
2.1.3 極限應(yīng)用于無(wú)窮和
2.1.3.1 一個(gè)例子：幾何級(jí)數(shù)
2.2 無(wú)窮和的收斂與發(fā)散
2.2.1 調(diào)和級(jí)數(shù)
2.2.2 收斂判別法
2.2.2.1 比較判別法
2.2.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法
2.2.2.3 絕對(duì)收斂
2.2.2.4 比率判別法
2.2.3 冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑
2.2.3.1 確定收斂半徑
2.2.4 無(wú)窮級(jí)數(shù)的重新排列
2.3 實(shí)函數(shù)
2.3.1 實(shí)值函數(shù)的極限
2.3.2 連續(xù)函數(shù)
2.3.3 微分
2.3.3.1 例子
2.3.3.2 微分中值定理
2.3.3.3 洛必達(dá)法則
2.3.4 面積與積分
2.3.5 微積分基本定理
2.4 對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)以及e
2.4.1 Inx的定義
2.4.2 expx的定義
2.4.3 歐拉數(shù)e
2.4.3.1 e的無(wú)理性
2.5 冪級(jí)數(shù)
2.5.1 泰勒級(jí)數(shù)
2.5.1.1 作為警示的例子
2.5.1.2 實(shí)函數(shù)的復(fù)擴(kuò)張
2.6 與分析學(xué)觀點(diǎn)下的三角學(xué)
2.6.1 角度與扇形面積
2.6.1 的一個(gè)級(jí)數(shù)展開(kāi)式
2.6.2 正切、正弦和余弦
2.6.2.1 用冪級(jí)數(shù)定義sinx和cosx
2.6.3 傅里葉級(jí)數(shù)
2.7 復(fù)函數(shù)
2.7.1 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)
2.7.2 復(fù)函數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì)
3.代數(shù)
3.1 線性性
3.1.1 線性方程
3.1.1.1 線性方程組
3.1.2 向量空間
3.1.2.1 直線、平面和其他向量空間
3.1.2.2 向量空間的子空間和交
3.1.2.3 向量的物理學(xué)例子
3.1.2.4 有多少個(gè)向量空間
3.1.2.5 向量的進(jìn)一步例子
3.1.3 將向量空間投入應(yīng)用：線性映射和矩陣
3.1.3.1 再探聯(lián)立線性方程組
3.1.3.2 矩陣代數(shù)的性質(zhì)
3.1.4 線性方程組
3.1.4.1 齊次方程
3.1.4.2 線性微分算子
3.1.4.3 非齊次線性方程
3.1.4.4 求方陣的逆陣
3.1.4.5 行列式
3.1.4.6 行列式的性質(zhì)
3.1.4.7 方陣的求逆陣公式
3.2 最優(yōu)化
3.2.1 線性約束
3.2.2 單純形法
3.2.2.1 一個(gè)例子
3.2.2.2 食譜問(wèn)題
3.2.2.3 運(yùn)輸問(wèn)題
3.2.2.4 博弈
3.3 距離、長(zhǎng)度和角度
3.3.1 純量積
3.3.1.1 標(biāo)準(zhǔn)幾何與歐式純量積
3.3.1.2 多項(xiàng)式和純量積
3.3.2 一般純量積
3.3.2.1 柯西-施瓦茨不等式
3.3.2.2 長(zhǎng)度和距離的一般性質(zhì)
3.3.2.3 不是由純量積導(dǎo)出的長(zhǎng)度
3.4 幾何與代數(shù)
3.4.1 二維空間中的二次型
3.4.2 三維空間中的二次曲面
3.4.3 特征向量和特征值
3.4.3.1 求特征向量和特征值
3.4.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊性質(zhì)
3.4.3.3 再探二次型
3.4.3.4 例子再探
3.4.4 等距變換
3.4.4.1 平移
3.4.4.2 行列式、體積和等距變換
3.5 對(duì)稱
3.5.1 對(duì)稱群
3.5.1.1 群公理
3.5.1.2 再說(shuō)四元數(shù)
3.5.1.3 模為p的整數(shù)乘法
3.5.2 對(duì)稱中的對(duì)稱 —— 子群
3.5.2.1 有限群的特殊性質(zhì)
3.5.3 群作用
3.5.4 二維和三維的墻紙
3.5.4.1 點(diǎn)陣上的墻紙
3.5.4.2 貼墻紙
3.5.4.3 對(duì)晶體學(xué)的應(yīng)用
4.微積分與微分方程
4.1 微積分的起因和內(nèi)容
4.1.1 加速度、速度和位置
4.1.1.1 積分
4.1.2 多虧牛頓
4.1.2.1 一種單擺
4.1.2.2 從單擺到復(fù)擺
4.1.2.3 基于牛頓定律的微積分的發(fā)展
4.2 線性常微分方程
4.2.1 線性常微分方程的全解
4.2.2 非齊次方程
4.2.3 解齊次線性方程
4.2.3.1 常系數(shù)方程
4.2.4 冪級(jí)數(shù)解法
4.2.4.1 貝塞爾函數(shù)
4.2.4.2 一般的級(jí)數(shù)求解法
4.3 偏微分方程
4.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義
4.3.2 弦振動(dòng)方程
4.3.2.1 波動(dòng)解釋
4.3.2.2 分離變量法
4.3.2.3 初始條件和邊界條件
4.3.2.4 弦樂(lè)器
4.3.3 擴(kuò)散方程
4.3.3.1 太陽(yáng)能加熱
4.3.4 從實(shí)數(shù)看復(fù)導(dǎo)數(shù)
4.3.4.1 拉普拉斯方程
4.4 微積分與幾何相遇
4.4.1 切向量與法向量
4.4.2 梯度、散度和旋度
4.4.3 面積分與體積分
4.4.3.1 高斯積分
4.4.3.2 散度的幾何解釋
4.4.3.3 旋度的幾何解釋
4.4.3.4 重訪傅里葉
4.4.3.5 散度定理的應(yīng)用
4.4.4 拉普拉斯方程和泊松方程
4.4.4.1 解拉普拉斯方程
4.4.4.2 泊松方程
4.4.4.3 邊界條件與解的唯一性
4.5 非線性性
4.5.1 關(guān)于流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克斯方程
4.5.2 微分方程的擾動(dòng)
4.5.2.1 彈道學(xué)
4.5.2.2 單擺并不簡(jiǎn)單
4.6 定性方法：不求出解的解法
4.6.1 解微分方程意味著什么
4.6.2 相空間與軌道
4.6.3 畫(huà)出相空間軌道圖
4.6.3.1一階非線性微分方程
4.6.3.2 二階非線性微分方程
4.6.3.3 披著虎皮的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
4.6.3.4 非線性方程的例子
4.6.4 不動(dòng)點(diǎn)附近的一般流型
4.6.5 例子：獵食方程
4.6.6 相互競(jìng)爭(zhēng)的食草動(dòng)物
5.概率
5.1 概率論的基本概念
5.1.0.1 生日相同問(wèn)題
5.1.1 兩個(gè)作為警示的例子
5.1.1.1 比賽中止問(wèn)題
5.1.1.2 門(mén)和山羊的問(wèn)題
5.2 嚴(yán)格的概率論
5.2.1 容斥公式
5.2.1.1 外套問(wèn)題
5.2.2 條件概率
5.2.2.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)家
5.2.3 全概率定律和貝葉斯公式
5.2.3.1 藥物檢測(cè)的可靠性
5.3 樣本空間上的函數(shù)：隨機(jī)變量
5.3.1 二項(xiàng)分布
5.3.2 二項(xiàng)分布的泊松近似
5.3.2.1 噪聲數(shù)據(jù)中的誤差分布
5.3.3 泊松分布
5.3.3.1 泊松分布的解釋
5.3.4 連續(xù)型隨機(jī)變量
5.3.4.1 正態(tài)分布
5.3.4.2 均勻分布
5.3.4.3 伽馬隨機(jī)變量
5.3.5 概率在素?cái)?shù)中的一個(gè)應(yīng)用
5.3.6 平均化與期望
5.3.6.1 在二項(xiàng)分布和泊松分布的試驗(yàn)中我們應(yīng)該期望得到什么
5.3.6.2 在正態(tài)分布的試驗(yàn)中我們應(yīng)該期待得到什么
5.3.6.3 收集問(wèn)題
5.3.6.4 柯西分布
5.3.7 離散程度與方差
5.3.7.1 期望與方差的一種動(dòng)力學(xué)解釋
5.4 極限定理
5.4.1 切比雪夫不等式
5.4.1.1 切比雪夫不等式給出了最好界限
5.4.1.2 將對(duì)平均值的偏差標(biāo)準(zhǔn)化
5.4.1.3 標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量
5.4.2 大數(shù)律
5.4.2.1 蒙特卡洛積分法
5.4.3 中心極限定理和正態(tài)分布
5.4.3.1 中心極限定理
6.理論物理
6.1 牛頓的世界
6.1.1 行星的繞日運(yùn)動(dòng)
6.1.1.1 變換運(yùn)動(dòng)方程
6.1.1.2 問(wèn)題的解
6.1.1.3 牛頓的反引力
6.1.2 證明能量守恒
6.1.3 其他類(lèi)型的力導(dǎo)致行星災(zāi)難
6.1.4 地球、太陽(yáng)和月亮？
6.2 光、電、磁
6.2.1 靜電
6.2.1.1 關(guān)于一個(gè)磁體的方程
6.2.2 電流與磁性
6.2.3 關(guān)于電磁波的麥克斯韋方差
6.2.3.1 真空中電磁波方程的解
6.3 相對(duì)論與宇宙的幾何
6.3.1 狹義相對(duì)論
6.3.1.1 長(zhǎng)度收縮與時(shí)間延緩
6.3.1.2 作為一種時(shí)空旋轉(zhuǎn)的洛倫茨變換
6.3.1.3 作為時(shí)空對(duì)稱群的洛倫茨變換
6.3.1.4 相對(duì)行動(dòng)量
6.3.2 廣義相對(duì)論和引力
6.3.2.1 施瓦氏黑洞
6.4 量子力學(xué)
6.4.1 量子化
6.4.1.1 波粒二象性
6.4.2 量子力學(xué)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)
6.4.2.1 基本方程
6.4.3 量子力學(xué)的基本設(shè)置
6.4.3.1 陷進(jìn)一維盒子的粒子
6.4.3.2 動(dòng)量本征態(tài)
6.4.3.3 推廣到三維空間
6.4.4 海森伯的不確定性原理
6.4.4.1 不確定性在起作用
6.4.5 接下來(lái)是什么
附錄A 給讀者的練習(xí)
附錄B 閱讀進(jìn)階
附錄C 基本數(shù)學(xué)知識(shí)
附錄D 字母與符號(hào)
譯者后記
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