本書以理論物理文獻中常用的語言深入淺出地介紹了微分幾何與拓撲學（涉及代數(shù)拓撲與微分拓撲）近幾十年來有深刻意義的重要發(fā)展。這些發(fā)展與理論物理的發(fā)展是密切相關(guān)的。全書分三個部分。第1部分介紹有關(guān)微分流形的基礎(chǔ)知識，包括外微分形式、斯托克斯定理、弗羅貝尼烏斯定理、流行上張量的微分運算、黎曼流形和復流形等。第2部分討論微分流形的整體拓撲性質(zhì)，包括同倫性質(zhì)、同調(diào)性質(zhì)、德·拉姆上同調(diào)理論、陳省身發(fā)展的纖維叢理論和纖維叢示性類理論。第3部分對指標定理和四維流形的性質(zhì)作了較深入的探討，著重介紹了阿蒂亞-辛格指標定理如何具體應(yīng)用于四種經(jīng)典橢圓復形，如何應(yīng)用于楊振寧-米爾斯場（Y-M場）而給出瞬子的模空間的維數(shù)。在此基礎(chǔ)上，又介紹了唐納森的一個深刻的定理及其證明的思路，并扼要敘述了弗里德曼和陶柏斯等利用唐納森這個定理獲得的重要結(jié)果：4維歐氏空間R?中有不止一種，甚至不可數(shù)的無窮多種互相不微分同胚的微分結(jié)構(gòu)。這與n≠4的R?只有唯一的微分結(jié)構(gòu)有著重要的區(qū)別，從而引起理論物理界的重視。
本書可作為理論物理專業(yè)研究生教材，也可供科研人員參考。
作者簡介：
汪容教授一生經(jīng)歷坎坷，從3歲時就患有結(jié)核病，但他并沒有放棄學業(yè)，而是在母親的悉心照顧下在家完成學業(yè)之后考入浙江大學。汪容教授平時為人低調(diào)，一直專心于研究工作，對科研工作抱以嚴謹、踏實、求是的態(tài)度。
1998年，汪容老師不幸患上了健忘癥，當時他正在籌劃寫一本《數(shù)學物理中的微分幾何與拓撲學》。從醫(yī)生那里得知這種健忘癥是不可逆轉(zhuǎn)時，汪容教授還是沒有放棄自己的目標，他說做任何事情都要有始有終，于是，他便夜以繼日的工作，想用盡可能多的時間為科學研究作出自己最后的貢獻。辛勤的勞動換來了十七章內(nèi)容的完成，但其中有五章的知識汪容教授不是很有把握。一直對科研保持嚴謹態(tài)度的汪容教授毅然刪去了這五章內(nèi)容，只保留下自己有信心的十二章內(nèi)容來發(fā)表。象這樣的事情，在汪容教授一生求是路上數(shù)不勝數(shù)，這種對科研求是執(zhí)著的精神正是值得我們青年學生學習的。在汪容教授記憶力清楚時，他便囑托愛人將他所有的藏書都捐給浙江大學，一定讓他們家人將這種傳統(tǒng)延續(xù)下去。
汪容教授自1979年到浙江大學工作，一直從事理論物理的教學和研究工作，培養(yǎng)出了一大批優(yōu)秀的科研人才。在汪容教授逝世三年后，他的愛人遵照教授遺愿，將他身前所有的書籍整理后捐獻給了浙江大學圖書館。
汪容教授對浙江大學有濃厚的情感，對浙大物理系理論物理工作方面的發(fā)展做出了自己的貢獻。
目錄：
序言
前言
目錄
第1部分 微分流形
├第1章 預備知識
├第2章 切向量和余切向量的一些性質(zhì)和運算
├第3章 曲率張量和撓率張量、協(xié)變微分、伴隨外微分
├第4章 黎曼幾何
├第5章 復流形
第2部分 整體拓撲性質(zhì)
├第6章 流形的同倫性質(zhì)與同倫群
├第7章 同調(diào)論與 de Rham 上同調(diào)論
├第8章 纖維叢及其拓撲結(jié)構(gòu)
├第9章 纖維叢上的聯(lián)絡(luò)與曲率
├第10章 纖維叢的示性類與曲率張量
第3部分 指標定理和四維流形
├第11章 無邊界流形的指標定理
├第12章 四維流形的一些重要性質(zhì)
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