本書使用向量的概念對(duì)國(guó)內(nèi)高校工科“線性代數(shù)”的課程內(nèi)容進(jìn)行了較全面的幾何分析。從向量的幾何意義開始，分別講述了向量組、向量空間、行列式、矩陣、線性方程組和二次型的幾何意義或幾何解釋，其中不乏重要概念的物理意義的解釋。這本書就像一串項(xiàng)梁，把上百個(gè)概念和定理的幾何意義串在一 起敬獻(xiàn)給讀者朋友。
本書文字多為作者原創(chuàng)，比如叉積的物理意義，克萊姆法則、雅可比矩陣、相似/合同矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣/對(duì)偶、矩陣乘積的行列式等系列概念的幾何意義等，應(yīng)用方面如使用矩陣分析的方法分析電子振蕩器的工作原理等。
本書圖文并茂，思路清晰、語言流暢，概念及定理解釋得合理、自然，同時(shí)具有通俗性、科普性，由于本書是直接根據(jù)線性代數(shù)課程的要求進(jìn)行解釋的，除了適合初學(xué)者和自學(xué)者使用之外，特別適合正在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)線性代數(shù)的大學(xué)生作為深入思考的輔導(dǎo)書籍使用。
一位數(shù)學(xué)人士這樣評(píng)價(jià)本書：
以中國(guó)線性代數(shù)課程教學(xué)大綱及主流教材為基本內(nèi)容，較全面的收集、整理了包括引進(jìn)教材、期刊、網(wǎng)絡(luò)論壇中的關(guān)于線性代數(shù)的幾何意義、幾何解釋或物理意義，大量原創(chuàng)了未見發(fā)表的概念或定理新的幾何意義。基本形成了一個(gè)完整、系統(tǒng)的知識(shí)體系。具有較大的創(chuàng)新價(jià)值。 作者簡(jiǎn)介
任廣千 ：工程師。92年畢業(yè)于西電科大計(jì)算機(jī)系。在校發(fā)明CPU核心器件 所必需的一種新式加法器并參展首屆全國(guó)大學(xué)生實(shí)用發(fā)明大賽。2007年獲北京郵電大學(xué)電子與通信專業(yè)工程碩士學(xué)位�，F(xiàn)居住工作于深圳。
謝聰：博士。2015年畢業(yè)于香港理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系。曾就讀于湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué) 系，西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)系。主要研究方向：偏微分方程、代數(shù)等。
胡翠芳：數(shù)學(xué)教師。95年畢業(yè)于曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。致力于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)多年，碩果頗豐。
目錄：
前 言 1
1. 為什么要給出線性代數(shù)的幾何意義 1
2. 重要的幾何直觀意義 3
3. 如何使用這本書 4
目 錄 6
第1章 什么是線性代數(shù) 11
1.1 “代數(shù)”的意義 11
1.2 “線性”的意義 14
1.2.1 線性函數(shù)的概念 14
1.2.2 線性函數(shù)概念的推廣 16
1.2.3 多元線性函數(shù)的幾何意義 17
1.2.4 n維(高維)空間的直觀理解 19
1.3 線性映射和線性變換的幾何意義 21
1.3.1 線性映射的幾何意義 21
1.3.2 線性變換的幾何意義 26
1.4 線性代數(shù)的故事 29
1.5 線性代數(shù)有什么用 32
第2章 向量的基本幾何意義 36
2.1 向量概念的幾何意義 36
2.1.1 自由向量的概念 36
2.1.2 向量的代數(shù)表示 37
2.2 向量加法的幾何及物理意義 39
2.3 向量?jī)?nèi)積的幾何和物理意義 42
2.3.1 向量?jī)?nèi)積的幾何解釋 42
2.3.2 向量?jī)?nèi)積的物理解釋 44
2.4 向量叉積的幾何和物理意義 45
2.4.1 叉積的定義及其幾何解釋 45
2.4.2 叉積的物理意義 46
2.5 向量混合運(yùn)算的幾何意義 49
2.5.1 向量加法的結(jié)合律的幾何解釋 49
2.5.2 向量數(shù)乘的分配律的幾何解釋 50
2.5.3 向量點(diǎn)積的分配律的幾何解釋 50
2.5.4 向量叉積的分配律的幾何解釋 51
2.5.5 向量混合積的幾何解釋 53
2.6 向量積和張量之間的關(guān)系 54
2.6.1 二維向量的內(nèi)積、外積和張量 55
2.6.2 三維向量的內(nèi)積、外積和張量 56
2.7 向量除法的幾何意義 56
2.8 變向量的幾何意義 57
2.8.1 二維變向量的幾何圖形 57
2.8.2 三維變向量的幾何圖形 59
2.8.3 變向量的應(yīng)用 60
2.9 復(fù)向量的幾何意義 61
2.9.1 向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系 61
2.9.2 復(fù)向量的幾何意義 62
2.10向量和微積分的關(guān)系 64
2.10.1 微分的幾何意義 64
2.10.2 微元就是向量 64
2.11向量與解析幾何的關(guān)系 65
第3章 行列式的幾何意義 67
3.1 行列式的定義 67
3.2 二階行列式的幾何意義 70
3.2.1 二階行列式的幾何意義 70
3.2.2 二階行列式性質(zhì)的幾何解釋 71
3.3 三階行列式的幾何意義 75
3.3.1 三階行列式的幾何意義 75
3.3.2 三階行列式性質(zhì)的幾何解釋 75
3.4 行列式化為對(duì)角形的幾何解釋 79
3.5 行列式乘積項(xiàng)的幾何意義 81
3.5.1 二階行列式乘積項(xiàng)的幾何意義 81
3.5.2 三階行列式乘積項(xiàng)的幾何意義 82
3.5.3 n階行列式乘積項(xiàng)的幾何意義 85
3.6 拉普拉斯展開定理及代數(shù)余子式的幾何解釋 86
3.7 克萊姆法則的幾何意義 88
3.7.1 二階克萊姆法則的幾何解釋 88
3.7.2 三階克萊姆法則的幾何解釋 89
3.8 一類行列式的幾何意義 90
3.8.1 最后一列為1的行列式 90
3.8.2 一列為1的行列式的應(yīng)用 93
第4章 向量組及向量空間的幾何意義 94
4.1 向量組的幾何意義 94
4.1.1 向量線性表示/組合的幾何意義 95
4.1.2 向量組線性相關(guān)的幾何意義 97
4.1.3 向量組等價(jià)的幾何解釋 99
4.1.4 向量組的秩和極大無關(guān)組的幾何意義 101
4.1.5 向量組例題的圖解 102
4.2 向量空間的幾何意義 103
4.2.1 向量張成的空間 105
4.2.2 子空間的幾何意義 105
4.2.3 基、維數(shù)及其坐標(biāo)的幾何意義 108
4.2.4 基變換的幾何意義 111
4.2.5 歐式空間及內(nèi)積推廣 114
4.2.6 標(biāo)準(zhǔn)正交基的幾何解釋 117
4.2.7 施密特正交化的幾何解釋 122
第5章 矩陣的幾何意義 125
5.1 矩陣的概念及物理意義 125
5.1.1 矩陣是統(tǒng)計(jì)數(shù)表的例子 126
5.1.2 矩陣是線性函數(shù)系數(shù)的例子 127
5.2 矩陣加法的幾何意義 128
5.3 矩陣與向量乘法的幾何意義 129
5.3.1 矩陣與向量的乘積的概念 129
5.3.2 矩陣與向量乘積的幾何意義 130
5.4 矩陣與矩陣乘法的幾何意義 136
5.4.1 矩陣與矩陣乘法的意義 136
5.4.2 矩陣左乘與右乘的不同 138
5.4.3 矩陣乘冪的幾何及物理解釋 139
5.5 矩陣與線性變換關(guān)系的幾何意義 140
5.5.1 線性變換如何用矩陣表示 140
5.5.2 線性變換矩陣定理的幾何及物理意義 142
5.5.3 矩陣及其對(duì)應(yīng)線性變換的幾何圖形 143
5.5.4 初等矩陣/初等變換的幾何意義 146
5.6 矩陣乘法運(yùn)算律的幾何意義 153
5.6.1 兩個(gè)矩陣相乘是兩個(gè)線性變換的復(fù)合 153
5.6.2 矩陣的乘法不滿足交換律 154
5.6.3 矩陣的乘法不滿足消去律 154
5.7 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.1 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.2 矩陣的秩對(duì)圖形變換的影響 156
5.8 矩陣特征值和特征向量的幾何及物理意義 157
5.8.1 特征值和特征向量的幾何意義 157
5.8.2 特征值和特征向量的物理意義 160
5.8.3 特征向量空間的幾何圖景 171
5.8.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 174
5.8.5 復(fù)數(shù)特征值及特征向量的幾何意義 176
5.9 矩陣相似的幾何意義 178
5.9.1 什么是相似矩陣 178
5.9.2 矩陣相似的幾何意義 180
5.9.3 矩陣相似對(duì)角化的幾何解釋 182
5.10矩陣行列式的幾何意義 185
5.10.1 二階矩陣行列式的幾何意義 186
5.10.2 矩陣運(yùn)算的行列式的幾何意義 187
5.11雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.1 雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.2 雅可比矩陣在二重積分中的應(yīng)用例子 192
5.12矩陣對(duì)平面和空間的旋轉(zhuǎn)變換 195
5.12.1 平面上的旋轉(zhuǎn)變換 195
5.12.2 空間的旋轉(zhuǎn)變換 197
5.13矩陣的等價(jià)、相似與合同關(guān)系 199
5.13.1 矩陣等價(jià)、相似及合同的關(guān)系對(duì)比 199
5.13.2 等價(jià)矩陣幾何意義 200
5.13.3 相似與等價(jià)矩陣幾何意義的對(duì)比 202
5.13.4 合同與等價(jià)矩陣幾何意義的對(duì)比 203
5.14其他各類矩陣的幾何意義 204
5.14.1 逆矩陣的幾何意義 204
5.14.2 轉(zhuǎn)置矩陣的幾何意義 206
5.14.3 伴隨矩陣的幾何意義 213
5.14.4 正交矩陣的幾何意義 215
5.14.5 分塊矩陣的代數(shù)及幾何意義 218
5.14.6 三角矩陣幾何意義 221
5.14.7 對(duì)角矩陣的幾何意義 223
5.14.8 平移矩陣的幾何意義 224
5.14.9 復(fù)數(shù)的矩陣表示 226
第6章 線性方程組的幾何意義 229
6.1 兩種線性方程組表示形式的幾何意義 229
6.2 高斯消元法的幾何解釋 230
6.3 線性方程組的秩及解的關(guān)系的幾何意義 233
6.3.1 二元線性方程組的秩及解的圖形 233
6.3.2 三元線性方程組的秩及解的圖形 236
6.4 線性方程組有解判別定理的幾何解釋 240
6.5 線性方程組解結(jié)構(gòu)的幾何意義 242
6.5.1 線性方程組解的代數(shù)形式 242
6.5.2 齊次線性方程組的解空間 245
6.5.3 非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu) 246
6.5.4 非齊次線性方程組的例解 247
6.6 數(shù)域上的線性方程組（或向量空間）的意義 249
6.7 超定方程組的最小二乘解的幾何解釋 250
6.7.1 最小二乘法的向量解的幾何意義 250
6.7.2 一般最小二乘解的公式推導(dǎo) 251
6.7.3 最小二乘解的例析 251
6.8 方程組和矩陣、向量組的關(guān)系 252
6.8.1 線性方程組與矩陣乘法的運(yùn)算關(guān)系 253
6.8.2 線性方程組、矩陣、向量組的關(guān)系 254
6.8.3 秩的關(guān)系 254
第7章 二次型的幾何意義 256
7.1 二次曲線及曲面的圖形 257
7.1.1 二次函數(shù)的哪些系數(shù)對(duì)圖形是重要的 257
7.1.2 二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系 259
7.1.3 圓錐曲線的向量方程 261
7.2 二次型及其幾何意義 262
7.2.1 二次型的定義 262
7.2.2 二次型的幾何及物理意義 263
7.2.3 二次型函數(shù)與雙線性函數(shù)的關(guān)系 265
7.3 二次型合同對(duì)角化的幾何意義 267
7.3.1 二次型對(duì)角化之正交變換 268
7.3.2 其他二次型對(duì)角化的方法 270
7.4 慣性定理的幾何及物理意義 272
7.5 二次型正定性的幾何意義 273
7.5.1 二次型正定性的幾何意義 274
7.5.2 二次型正定性判別法的直觀理解 275
7.6 二次型的分類與二次曲面的分類 276
附錄 線性代數(shù)簡(jiǎn)史和名師學(xué)習(xí)指點(diǎn) 280
1. 線性代數(shù)主要內(nèi)容及其發(fā)展簡(jiǎn)史 280
2. 怎樣學(xué)習(xí)線性代數(shù) 283
主要參考文獻(xiàn) 289
后 記 290
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