《七巧板、九連環(huán)和華容道：中國古典智力游戲三絕（修訂版）》：本書介紹蜚聲世界的我國三大古典智力游戲，即七巧板、九連環(huán)和華容道。對(duì)這三個(gè)游戲的起源、發(fā)展和演變有詳盡的敘述和考證，重點(diǎn)討論其中的數(shù)學(xué)問題，如七巧板能構(gòu)成多少凸多邊形，九連環(huán)狀態(tài)與格雷碼的對(duì)應(yīng)，解華容道的網(wǎng)絡(luò)圖等。本書題材廣泛，材料豐富、翔實(shí)，文筆流暢，內(nèi)容生動(dòng)、有趣、有益，讀來引人入勝。
《幻方與素?cái)?shù)--娛樂數(shù)學(xué)兩大經(jīng)典名題（修訂版）》：本書分為兩部分，第一部分是百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題，對(duì)古今中外在幻方研究中的發(fā)現(xiàn)和成果有極為詳細(xì)的介紹；第二部分是素?cái)?shù)——娛樂數(shù)學(xué)另一經(jīng)典名題，包括素?cái)?shù)之謎、素?cái)?shù)奇趣、素?cái)?shù)與完美數(shù)、素?cái)?shù)與親和數(shù)等問題。題材廣泛、內(nèi)容有趣，能夠啟迪思想、開闊視野，培養(yǎng)讀者分析和解決問題的能力。
《古算詩題探源（修訂版）》：我國古代不少數(shù)學(xué)家以詩歌抒懷，他們把自己鐘愛的、珍珠般的數(shù)學(xué)名題以及博大精深的數(shù)學(xué)思想方法，編成耐人尋味的詩詞、口訣和歌謠。本書精選出其中的140多首進(jìn)行詮釋，譯為白話，給出古今解法，探究來由（特別是源頭），縱橫聯(lián)想，巧妙引申，并以充滿情趣的生動(dòng)描寫、蘊(yùn)含哲理的精辟議論使一些深?yuàn)W的數(shù)學(xué)名題變得通俗易懂、生動(dòng)有趣，給人以豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和啟迪，激發(fā)讀者對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。本書可供大中學(xué)校師生課外閱讀，可作為數(shù)學(xué)史教學(xué)參考，也可供數(shù)學(xué)史和文化史愛好者閱讀。
《進(jìn)位制與數(shù)學(xué)游戲（修訂版）》：本書在較系統(tǒng)、全面論述進(jìn)位制知識(shí)的基礎(chǔ)上，分別介紹了涂色游戲、猜測游戲、演變游戲、火柴游戲、配對(duì)游戲、戥秤稱珠游戲、天平稱珠游戲以及砝碼·鏈條·鏈環(huán)等游戲的玩法及進(jìn)位制知識(shí)在其中的應(yīng)用原理。本書集趣味性、知識(shí)性與科學(xué)性于一體，奇妙嚴(yán)密，通而不俗，充分展示數(shù)學(xué)思維之美妙與深刻。本書讀者主要為數(shù)學(xué)研究人員、數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生、愛好數(shù)學(xué)的中學(xué)生以及對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的大眾讀者
《中國古算解趣》：本書以通俗藝術(shù)的形式介紹韓信點(diǎn)兵、蘇武牧羊、李白沽酒等40余個(gè)中國古算名題；以題說法，講解我國古代很有影響的一些數(shù)學(xué)方法，如更相減損法、出入相補(bǔ)法、大衍求一術(shù)等；以法傳知，敘述這些算法的歷史背景和實(shí)際應(yīng)用，并對(duì)相關(guān)的中算典籍、著名數(shù)學(xué)家的生平及其貢獻(xiàn)做了簡要介紹。詩書畫文結(jié)合，趣味濃厚，對(duì)中學(xué)、大學(xué)師生和數(shù)學(xué)愛好者有啟迪和參考價(jià)值。
《趣味隨機(jī)問題（修訂版）》：本書分為概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程三部分，每部分包含若干個(gè)趣味問題。其中有分賭注問題、巴拿赫火柴盒問題、波利亞壇子問題、巴格達(dá)竊賊問題、賭徒輸光問題、群體（氏族）滅絕問題等歷史名題，也有許多介紹新內(nèi)容、新方法的問題。本書內(nèi)容有趣，應(yīng)用廣泛。能啟迪讀者的思維，開闊讀者的視野，增強(qiáng)讀者的提出問題、分析問題與解決問題的能力。
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
第二版說明
第一版前言
第一部分千姿百態(tài)七巧板
01七巧板簡史
11宋黃伯思的燕幾圖
12明嚴(yán)澄的“蝶翅幾”
13七巧板的問世
14童葉庚的益智圖
02七巧板的制作
21基于一個(gè)正方形底板制作七巧板
22基于兩個(gè)正方形底板制作七巧板七巧板、九連環(huán)和華容道：中國古典智力游戲三絕（修訂版）
"
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
第四版說明
第三版說明
第二版說明
第一版前言
第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題
引子洛水神龜獻(xiàn)奇圖
01有關(guān)幻方的傳聞趣事
11宇宙飛船上的搭載物
12南宋楊輝——研究幻方第一人
13楊輝4階幻方中的奧秘
14出土文物中的阿拉伯幻方
15歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方
16富蘭克林的神奇幻方
02怎樣構(gòu)造幻方
21連續(xù)擺數(shù)法(暹羅法)
22階梯法(樓梯法)
23奇偶數(shù)分開的菱形法
24對(duì)稱法
25對(duì)角線法
26比例放大法
27斯特雷奇法
28LUX法
29拉伊爾法(基方、根方合成法)
210鑲邊法
211相乘法
212幻方模式
03幻方數(shù)量知多少
313階幻方的數(shù)量
324階幻方的數(shù)量
335階幻方的數(shù)量
04“幻中之幻”
41對(duì)稱幻方
—xxii—42泛對(duì)角線幻方
43棋盤上的幻方
44親子幻方
45奇偶數(shù)分居的對(duì)稱鑲邊幻方
46T形幻方
05非正規(guī)幻方
51普朗克幻方
52合數(shù)幻方
53乘幻方及其他
06幻方的變形
61楊輝的幻圓
62對(duì)楊輝變形幻方的發(fā)展
63中世紀(jì)印度的幻圓和魔蓮花寶座
64富蘭克林的八輪幻圓
65幻星
66幻矩形
67魔蜂窩
68幻環(huán)
07進(jìn)一步的“幻中之幻”
71雙幻方
72幻立方(魔方)
73四維魔方
74一些奇特的魔幻方
第二部分娛樂數(shù)學(xué)另一經(jīng)典名題——素?cái)?shù)
08素?cái)?shù)之謎
81素?cái)?shù)的無限性及其證明
82有沒有素?cái)?shù)的一般表達(dá)式
83表達(dá)素?cái)?shù)的函數(shù)
84怎樣判定大素?cái)?shù)
85某范圍內(nèi)素?cái)?shù)知多少
86梅森素?cái)?shù)——最大素?cái)?shù)的表示形式
87最大素?cái)?shù)有多大
09素?cái)?shù)奇趣
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
前言
01算術(shù)部分
11納稅算賬
“算”字的起源
12魚兒有幾
“算術(shù)”的起源
13蘇武流放
程大位《算法統(tǒng)宗》
14唐僧取經(jīng)
梅氏數(shù)學(xué)世家
15男女捉兔（鷓鴣天，又名思佳客①）
“數(shù)”字的起源
16廬山路程
橫看成嶺側(cè)成峰
17推車求里
18兩求斤歌
楊輝
什么是數(shù)學(xué)
19績麻分布
110紡織分配（西江月）
筆算簡史
111算題對(duì)聯(lián)
112經(jīng)商本錢（水仙子）
113船載油鹽
程大位談數(shù)學(xué)
114買米運(yùn)費(fèi)（西江月）
115甲追及乙（西江月）
吳敬詞題
116公公幾歲
117孝女歸家（西江月）
最小公倍數(shù)
118制筆用料
分?jǐn)?shù)簡史
119巧妙分金（西江月）
四舍五入法簡史
120含金幾成
121加銅多少
122雞兔同籠
123計(jì)算利息
古算中的利息題
124計(jì)算賠償（鷓鴣天，又名思佳客）
古算的研究原則
125一年糧量
比、比例簡史
126糧食互換（梅氣清）
127和面用油（西江月）
五道古算詩題
02代數(shù)部分
21春日沽①酒
代數(shù)學(xué)起源
22沽酒待客（西江月）
十進(jìn)位值制
23牧羊之歌（鳳棲梧）
24利滾利債
25客有幾人
26勤奮讀書
方程簡史
27日行幾里
—xvii—
28繩索量竿
29盈不足術(shù)
210隔墻計(jì)算
七道盈不足詩題
211孩童偷瓜（西江月）
浪淘沙一詞題
212和尚幾人
假設(shè)法
213巧算筆墨（西江月）
中國古代數(shù)學(xué)
214甲乙沽酒（西江月）
215官兵分布
216鱉龜有幾（鷓鴣天，又名思佳客）
217隔溝計(jì)算（西江月）
218妙算羊數(shù)（西江月）
219雞鴨若干
220酒有幾瓶
221果價(jià)幾何
222船載鹽忙
223絹布幾許
224船運(yùn)公糧
求根公式簡史
225買椽多少
226神奇妙算
中國剩余定理
227紅燈幾盞（水仙子）
古代民謠
228求一之術(shù)
秦九韶的求一術(shù)
229妙題妙解
230千錢百雞
不定方程
231羊宿野村
—xviii—
232孝心回報(bào)
233九子年齡
中國管理數(shù)學(xué)
234五官問題
235巍巍寶塔
吳敬
236孔明統(tǒng)兵
237出門望堤
238本利幾何
239竹筒盛米
等差等比數(shù)列簡史
240七商分紅
241螞蟻爬竹
非常規(guī)題
03幾何部分
31爭蕩秋千（西江月）
幾何簡史與譯名
32秋千跳起（西江月）
誰早發(fā)現(xiàn)勾股定理
33葭蒲多長（西江月）
薪盡火傳的詞題
34風(fēng)箏高飛（西江月）
35田中有竹
朱世杰
36門廳高低（西江月）
37田中拴馬（西江月）
38釣魚樂趣
39折竹抵地（西江月）
310丈量田地
311葛藤纏木
螺旋線的發(fā)生
—xix—
312圓材埋壁
趙州橋與勾股
313方斜種糧（鳳棲梧）
314勾股容方
315勾股容圓
李冶與勾股容圓
316直田面積
面（體）積公式起源
317矩形田積
318長闊多少
319坡田修平（西江月）
320三斜求積
等價(jià)的海倫公式
321和尚算家
張遂（一行）
322圓中方形（西江月）
李冶
323方形圓徑（西江月）
天元術(shù)和演段術(shù)
324圓環(huán)求周
325環(huán)田求周（鳳棲梧）
數(shù)學(xué)與詩詞
326古墳占地（雙搗練）
327丈量田法
《詳明算法》、割補(bǔ)法
328平方帶縱
限制尺規(guī)之因
329平分月餅
330用矩之法
測量家商高、伏羲
331日影測量
《數(shù)理精蘊(yùn)》與康熙
332測量塔高
三角學(xué)測量之始
—xx—
333方城邊長
334編造幻方
幻方簡史
335金磚重量
細(xì)草、羅士琳
336垛積問題
三次方程求根史
337方圓倉窖①
體積起源
338圓錐倉窖
估算糧重
339臺(tái)體倉窖
王孝通三次方程
340長城墻積
古代球積公式
341穿渠雇工
342金球重量
343金球直徑（駐馬聽）
數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用
參考文獻(xiàn)
后記"
進(jìn)位制與數(shù)學(xué)游戲（修訂版）
"
目錄：
—xxiii—25浮屠增級(jí)
郭啟庶和他的數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)因工程
26李白沽酒
李太白酒里有文章
27群羊逐草
一次假設(shè)法
28隔墻分銀
萬能算法——盈不足術(shù)
29蒲莞同高
二次假設(shè)法
30雙鼠穿垣
盈不足術(shù)的應(yīng)用與探究
31雉兔同籠
我國古代的方程理論
32物不知數(shù)
小韓信神機(jī)人莫測
孫子算經(jīng)
33古算摘奇
二談“數(shù)不知數(shù)”
34韓信點(diǎn)兵
孫子定理
35三偷盜米
“大衍求一術(shù)”淺說
36太平蓮燈
俞潤汝解韓信點(diǎn)兵
37百雞問題
時(shí)曰醇勤奮治學(xué)
陳景潤解“百雞問題”
38獐兔鼠歌
更相減損法和二元一次不定方程
—xxiv—39三翁垂釣
五猴分桃
馬克思解不定方程
40移子相間
歷史悠久的移子游戲
41戲放風(fēng)箏
劉徽、趙爽證勾股定理
42葭生中央
毆幾里得證勾股定理
43竹折抵地
張丘建算經(jīng)
44三斜求積
吳文俊證秦九韶三斜求積公式
45窺望海島
解密星期幾
46望敵遠(yuǎn)近
徐光啟遺憾三百年
47臨臺(tái)測水
趣談楊輝三角
48遙度圓城
王守義和數(shù)書九章新釋
參考文獻(xiàn)
附錄"
趣味隨機(jī)問題（修訂版） 三藏西天①去取經(jīng)，
一去十萬八千程。
每日常行七十五，問公幾日得回程②。
——梅瑴成《增刪算法統(tǒng)宗》
【注釋】①西天，指佛教發(fā)源地印度，被認(rèn)為是一塊極樂世界，藏有佛教真經(jīng)典籍。②當(dāng)時(shí)1年按360天計(jì)。
【譯文】唐朝的三藏前往佛教圣地去取經(jīng)，走了108000里，每天平均走75里，試問唐僧一行多少日后返回來？
【解法】本題題面簡潔，條件明晰，從譯文便可清除疑慮，驅(qū)散迷霧，提筆一試，答案就在眼前。
因?yàn)?08000÷75=1440（日）
所以到達(dá)西天需要1440÷360=4（年）
來回時(shí)間為2×4=8（年）
答：唐三藏取經(jīng)1440日即4年后到達(dá)西天，8年后回來。
【探源】詩本身很美，古代數(shù)學(xué)家在詩題中注入文學(xué)古典名著《西游記》中的三藏，更是美中增鮮，樂中生花，激起青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的波濤，撥響喜歡數(shù)學(xué)的思維琴弦，聯(lián)想翻滾：取經(jīng)路上的艱辛甜苦，連綿的群峰，蔽天的茂林，崎嶇的山道，豺狼虎豹，妖魔鬼怪，獸嘯魚游，蟬鳴鳥語，百花爭艷，古剎寺宇，熱情的佛門，凡夫俗子……一一出現(xiàn)在眼前。
這首詩題，不是從古算書中的算題改編而來的，可能是根據(jù)《西游記》編成的。一百多年后，也被梅瑴成所青睞。讀者必然要問，梅瑴成何許人也。
梅氏數(shù)學(xué)世家
梅文鼎（1633～1721）
梅瑴成（1681～1763）字玉汝，號(hào)循齋，又號(hào)柳下居士。清代安徽宣城人。是以梅文鼎為首的梅氏數(shù)學(xué)家族中的一員。梅文鼎（1633～1721）一生著作頗豐，且恰與其享年相等，即88種（歲）。
梅氏家族是聲名顯赫的數(shù)學(xué)家族，梅文鼎和他的兩個(gè)弟弟、一個(gè)兒子、兩個(gè)孫子，五個(gè)曾孫共11位是數(shù)學(xué)家。梅瑴成是他的孫子。祖孫四代都精通數(shù)學(xué)，可與瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族相媲美。
梅瑴成在數(shù)學(xué)上造詣很深，被當(dāng)朝的康熙皇帝所賞識(shí)。他曾和皇子皇妃等在宮中讀詩書和數(shù)理天文，還聽博學(xué)的康熙帝用滿文講歐幾里得《幾何原本》的內(nèi)容。梅瑴成是個(gè)有突出成就的數(shù)學(xué)家，編著很多，如1713年5月他與何國宗主編《律歷淵源》巨著共100卷，并編輯了包含他自己的數(shù)學(xué)著作在內(nèi)的《梅氏叢書輯要》23種61卷。另外，他還根據(jù)明朝數(shù)學(xué)家程大位書上的詩題編成《增刪算法統(tǒng)宗》卷十、卷十一，這兩卷中的題都是用詩歌寫出來的。
我國數(shù)學(xué)史家嚴(yán)敦杰（1917～1988）先生說：“在17到19世紀(jì)我國數(shù)學(xué)家的研究，主要為安徽學(xué)派所掌握，而梅氏祖孫為中堅(jiān)部分�！�
"
"01蘇武牧羊
當(dāng)年蘇武去北邊不知去了幾多年
分明記得天邊月二百三十五番圓
答曰：一十九年
選自《算法統(tǒng)宗》
蘇武是西漢的使者，在公元前100年奉命出使匈奴，被匈奴扣留并多方威脅誘降，始終堅(jiān)貞不屈，大義凜然。后被流放北海(今貝加爾湖)牧羊，生活非常艱苦，不知過了多少年月，只記得天上月亮整整圓了235次，問蘇武流放了多少年?
這是一個(gè)簡單的小學(xué)數(shù)學(xué)題，用算式表示就是
235÷12=19……7
本題不能答為十九年零七個(gè)月。因?yàn)楦鶕?jù)中國農(nóng)歷十九年應(yīng)有七個(gè)閏月，所以蘇武在北海流放了十九年，直到匈奴與漢朝和好才遣送回國。
古往今來老蘇武月下思故鄉(xiāng)漢武帝派蘇武出使匈奴，匈奴單于動(dòng)員他叛國留匈，給以高官厚祿，他斷然拒絕，被流放北海，度日如年。他白天拿著使節(jié)放羊，晚上抱著使節(jié)數(shù)月亮，年歲日久，使節(jié)上的紅穗都掉光了，成為一根光棍子。漢武帝雖然多次與匈奴交涉，要求放回蘇武，匈奴都說“蘇武死了”。武帝死后，昭帝登基，他在一次打獵時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只大雁的腳爪上掛了一條很長的紅綢帶子，上面有蘇武寫給漢武帝的信，表明他想回國的愿望。幾經(jīng)交涉，終于放他回來。40歲的中年人出使匈奴，歸來時(shí)已白發(fā)蒼蒼，發(fā)出感慨“分明記得天邊月，二百三十五番圓”。
這本來是十九年零七個(gè)月，為什么是“十九年呢？”
這是一個(gè)必須解決的實(shí)際問題，千百年來匯集了幾十代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家的智慧和心血。
大家知道，地球繞太陽一周所需的日數(shù)為一年。月亮繞地球一周所需的日數(shù)為一月。通常認(rèn)為一年是360天，一月是30天，這樣一年共有360÷30=12個(gè)月。其實(shí)這是很不精確的數(shù)據(jù)。
我國對(duì)歷法的研究有著悠久的歷史，積累了大量的數(shù)據(jù)，有豐碩的研究成果。秦始皇統(tǒng)一六國以后，根據(jù)長期觀測的數(shù)據(jù)，定一年為36514天，一月為29499940天。依據(jù)這個(gè)結(jié)果頒布了統(tǒng)一的歷法，叫顓頊歷(顓頊，ｚｈｕ�。睿笔莻髡f中古代部族的領(lǐng)袖，號(hào)高陽氏。實(shí)際上顓頊歷在周朝末年已經(jīng)制定，秦朝統(tǒng)一施行)。這樣一年應(yīng)有
3651429499940=34333527759=121022727759=12719(11)
個(gè)月。這個(gè)結(jié)果告訴我們，蘇武在匈奴235個(gè)月恰好是19年。
讀讀練練練習(xí)題1某月內(nèi)有三個(gè)星期天的日期都是偶數(shù)。這個(gè)月的15號(hào)是（）
A星期一B星期三C星期五D星期六
約簡下列分?jǐn)?shù)：
2(1)1022727759；(2)16917726244593632611
答案：(1)719；(2)144391
提示：參看“更相減損法”。
02粒米求程
02粒米求程
廬山山高八十里山峰頂上一粒米
黍米一轉(zhuǎn)只三分幾轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到山腳底
答曰：四百八十萬轉(zhuǎn)
選自《算法統(tǒng)宗》
本題是說廬山從山頂?shù)缴侥_有一條80里長的道路，山頂上有一粒黍米，滾動(dòng)一周，行程3分，問沿著這條路滾到山腳底，共轉(zhuǎn)了多少周?
需要說明的是，這是一個(gè)明代的題，取明朝的度量制度，1步＝5尺，1里＝360步。
解因?yàn)椋?里＝360步，1步＝5尺＝500分
80×360×500÷3＝4800000(轉(zhuǎn))
所以，黍米轉(zhuǎn)了480萬轉(zhuǎn)。
民間趣事一個(gè)考題的背景經(jīng)過十年文化大革命，高考于1977年恢復(fù)，深受人們的歡迎，二十年來，為國家選拔了大量人才，但同時(shí)要求改革這“一考定終身”制度的呼聲也越來越高。1998年開始實(shí)行保送生制度，高校對(duì)保送生進(jìn)行綜合測試，在這第一年的測試卷里，我見到了一個(gè)求“月亮自轉(zhuǎn)周期”的題目，很有意思。原題是：
若近似認(rèn)為月球繞地公轉(zhuǎn)與地球繞日公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi),且均為正圓,又知這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)同向,如圖21所示。月相變化的周期為295天（下圖是相繼兩次滿月時(shí)，月、地、日相對(duì)位置的示意圖）。求月球繞地球一周所用的時(shí)間T（因月球總是一面朝向地球，故T恰是月球自轉(zhuǎn)周期）。
�。�1998年高校保送生綜合測試題）
這個(gè)題目很好，但不算太難。
圖21
解當(dāng)?shù)厍驈腅1轉(zhuǎn)到E2時(shí)，用了295天，月球沿著它的軌道從第一個(gè)圓的M1轉(zhuǎn)了一圈到第二個(gè)圓的M2的位置，一共轉(zhuǎn)了360°+θ，因此，轉(zhuǎn)1°需要
295360+θ（天）（1）
轉(zhuǎn)一周（360°）所需的天數(shù)就是周期T
T=295×360360+θ（天）（2）
這里只要把θ算出來代入就行了。
∵∠M1E2M2=∠M1SM2
θ=295365×360°（3）
所以
T=295×360360+295365×360=295×365365+295≈273（天）
過去，我們都認(rèn)為從第一個(gè)朔（初一）到第二個(gè)朔，叫農(nóng)歷的一個(gè)月（朔望月，望指十五），早在秦始皇時(shí)期，就測定它的周期是29499940天，一年定36514天，制定了統(tǒng)一的歷法，叫顓頊歷。
見了這個(gè)考題以后，我又看了陳久金、楊怡著的《中國古代天文與歷法》，才知道朔望月與恒星月是有區(qū)別的。朔和望是由日、月、地三者的相對(duì)位置決定的，與恒星背景無關(guān)。月亮繞地球一圈并回到同一恒星位置的周期，叫做恒星月。圖中地球從E1走到E2時(shí)，月亮從M1走到后一個(gè)M1，此時(shí)E2M1（后一個(gè)）∥E1M1，E2M1（后一個(gè)）和E1M1指向恒星背景中的同一位置，兩個(gè)M1之間的時(shí)間間隔就是一個(gè)恒星月。當(dāng)月亮從后一個(gè)M1走到M2時(shí)，發(fā)生第二個(gè)滿月，這就是兩個(gè)望月之間的間隔，是一個(gè)朔望月，所以恒星月要比朔望月短。
這里，兩個(gè)θ角相同是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵。在上面的圖中，就月亮來說，一個(gè)朔望月（295天）它繞地球一圈還多一個(gè)θ角，它的數(shù)值就是
朔望月恒星月×360°=360°+θ（4）
（4）式中的θ就是由公式（3）確定，從圖中容易看出
θ=∠E1SE2=E1E2弧長圓S周長×360°=朔望月回歸年×360°
這樣，就得到了一個(gè)公式
360°恒星月×朔望月-360°回歸年×朔望月=360°（5）
從圖中我們看出，月亮繞地球，一個(gè)朔望月轉(zhuǎn)了360°+θ，而太陽在這個(gè)月里也走了θ=∠E1SE2,360°是這個(gè)月中月亮多走的度數(shù)。因此，月亮一天所轉(zhuǎn)的度數(shù)是
360°+θ朔望月=360°朔望月+θ朔望月
即：月亮每天所走的度數(shù)=太陽每天所走的度數(shù)+月亮每天比太陽多走的度數(shù)
據(jù)陳久金先生介紹，這個(gè)公式是我國古代天文學(xué)中的重要公式，用這個(gè)公式可以推求月亮任意一天的位置。春秋戰(zhàn)國時(shí)期，人們已經(jīng)能夠熟練地運(yùn)用該公式預(yù)推月亮的位置了。
“蘇武牧羊”這個(gè)古題可以看出，陰歷的閏月還蘊(yùn)含著中國歷法的復(fù)雜知識(shí)。一個(gè)高考題能夠把天文知識(shí)和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)結(jié)合起來，而且難度不大，確實(shí)考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，我看應(yīng)該提倡出這樣的考題。
讀讀練練練習(xí)題1今有索長五千七百九十四步，欲使作方問幾何?
答曰：一千四百四十八步三尺
選自《孫子算經(jīng)》
提示：求正方形邊長。1步=6尺。
2后園一棵麻，七十二枝椏，一個(gè)枝椏剝四兩，一共可剝多少麻？
答案：18斤。
選自《數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)因工程》
3今有人持米過三關(guān)，過內(nèi)關(guān)時(shí)納稅，過中關(guān)時(shí)納稅，過外關(guān)時(shí)納稅，出三關(guān)后剩米5斗，問原持米多少升？（1斗=10升）
取自《九章算術(shù)》
"
"2002年8月在北京舉行國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM2002）期間，91歲高齡的數(shù)學(xué)大師陳省身先生為少年兒童題詞，寫下了“數(shù)學(xué)好玩”4個(gè)大字。
數(shù)學(xué)真的好玩嗎？不同的人可能有不同的看法。
有人會(huì)說，陳省身先生認(rèn)為數(shù)學(xué)好玩，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)大師，他懂?dāng)?shù)學(xué)的奧妙。對(duì)于我們
凡夫俗子來說，數(shù)學(xué)枯燥，數(shù)學(xué)難懂，數(shù)學(xué)一點(diǎn)也不好玩。
其實(shí)，陳省身從十幾歲就覺得數(shù)學(xué)好玩。正因?yàn)橛X得數(shù)學(xué)好玩，才興致勃勃地玩?zhèn)�不停
，才玩成了數(shù)學(xué)大師。并不是成了大師才說好玩。
所以，小孩子也可能覺得數(shù)學(xué)好玩。
當(dāng)然，中學(xué)生或小學(xué)生能夠體會(huì)到的數(shù)學(xué)好玩，和數(shù)學(xué)家所感受到的數(shù)學(xué)好玩，是有所
不同的。好比象棋，剛?cè)腴T的棋手覺得有趣，國手大師也覺得有趣，但對(duì)于具體一步棋的奧
妙和其中的趣味，理解的程度卻大不相同。
世界上好玩的事物，很多要有了感受體驗(yàn)才能食髓知味。有酒仙之稱的詩人李白寫道：“但得此中味，勿為醒者傳�！辈缓染频娜耸呛茈y理解酒中樂趣的。
但數(shù)學(xué)與酒不同。數(shù)學(xué)無所不在。每個(gè)人或多或少地要用到數(shù)學(xué)，要接觸數(shù)學(xué)，或多或
少地能理解一些數(shù)學(xué)。
早在2000多年前，人們就認(rèn)識(shí)到數(shù)的重要。中國古代哲學(xué)家老子在《道德經(jīng)》中說：
“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想家菲洛勞斯
說得更加確定有力：“龐大、萬能和完美無缺是數(shù)字的力量所在，它是人類生活的開始和主
宰者，是一切事物的參與者。沒有數(shù)字，一切都是混亂和黑暗的。”
既然數(shù)是一切事物的參與者，數(shù)學(xué)當(dāng)然就無所不在了。
在很多有趣的活動(dòng)中，數(shù)學(xué)是幕后的策劃者，是游戲規(guī)則的制定者。
玩七巧板，玩九連環(huán)，玩華容道，不少人玩起來樂而不倦。玩的人不一定知道，所玩的
其實(shí)是數(shù)學(xué)。這套叢書里，吳鶴齡先生編著的《七巧板、九連環(huán)和華容道——中國古典智
力游戲三絕》一書，講了這些智力游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)道理，說古論今，引人入勝
。叢書編者應(yīng)讀者要求，還收入了吳先生的另一本備受大家歡迎的《幻方及其他——娛樂數(shù)
學(xué)經(jīng)典名題》，該書題材廣泛、內(nèi)容有趣，能使人在游戲中啟迪思想、開闊視野，鍛煉思
維能力。叢書的其他各冊(cè)，內(nèi)容也時(shí)有涉及數(shù)學(xué)游戲。游戲就是玩。把數(shù)學(xué)游戲作為叢書的
重要部分，是“好玩的數(shù)學(xué)”題中應(yīng)有之義。
數(shù)學(xué)的好玩之處，并不限于數(shù)學(xué)游戲。數(shù)學(xué)中有些極具實(shí)用意義的內(nèi)容，包含了深刻的
奧妙，發(fā)人深思，使人驚訝。比如，以數(shù)學(xué)家歐拉命名的一個(gè)公式
e2πi=1
這里指數(shù)中用到的π，就是大家熟悉的圓周率，即圓的周長和直徑的比值，它是數(shù)學(xué)中最
重要的一個(gè)常數(shù)。數(shù)學(xué)中第2個(gè)重要的常數(shù)，就是上面等式中左端出現(xiàn)的ｅ，它也是一個(gè)無
理數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底，近似值為2718281828459…。指數(shù)中用到的另一個(gè)數(shù)i,就是虛數(shù)
單位，它的平方等于-1。誰能想到，這3個(gè)出身大不相同的數(shù)，能被這樣一個(gè)簡潔的等式聯(lián)
系在一起呢?叢書中，陳仁政老師編著的《說不盡的π》和《不可思議的e》（此二書尚無學(xué)生版——編者注），分別
詳盡地說明了這兩個(gè)奇妙的數(shù)的來歷、有關(guān)的軼事趣談和人類認(rèn)識(shí)它們的漫長的過程。其材
料的豐富詳盡，論述的清楚確切，在我所知的中外有關(guān)書籍中，無出其右者。
如果你對(duì)上面等式中的虛數(shù)i的來歷有興趣，不妨翻一翻王樹和教授為本叢書所寫的《數(shù)學(xué)演義》的“第十五回三次方程鬧劇獲得公式解神醫(yī)卡丹內(nèi)疚難舍詭辯量”。這本章回體的數(shù)學(xué)史讀物，可謂通而不俗、深入淺出。王樹和教授把數(shù)學(xué)史上的大事趣事憾事，像說評(píng)書一樣，向我們娓娓道來，使我們時(shí)而驚訝、時(shí)而嘆息、時(shí)而感奮，引來無窮懷念遐想。數(shù)學(xué)好玩，人類探索數(shù)學(xué)的曲折故事何嘗不好玩呢？光看看這本書的對(duì)聯(lián)形式的四十回的標(biāo)題，就夠過把癮了。王教授還為叢書寫了一本《數(shù)學(xué)聊齋》（此次學(xué)生版出版時(shí)，王教授對(duì)原《數(shù)學(xué)聊齋》一書進(jìn)行了仔細(xì)修訂后，將其拆分為《數(shù)學(xué)聊齋》與《數(shù)學(xué)志異》二書——編者注），把現(xiàn)代數(shù)學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)中許多看似古怪而實(shí)則富有思想哲理的內(nèi)容，像《聊齋》講鬼說狐一樣最大限度地大眾化，努力使讀者不但“知其然”而且“知其所以然”。在這里，數(shù)學(xué)的好玩，已經(jīng)到了相當(dāng)高雅的層次了。
談祥柏先生是幾代數(shù)學(xué)愛好者都熟悉的老科普作家，大量的數(shù)學(xué)科普作品早已膾炙人口。他為叢書所寫的《樂在其中的數(shù)學(xué)》，很可能是他的封筆之作。此書吸取了美國著名數(shù)學(xué)科普大師伽德納25年中作品的精華，結(jié)合中國國情精心改編，內(nèi)容新穎、風(fēng)格多變、雅俗共賞。相信讀者看了必能樂在其中。
易南軒老師所寫的《數(shù)學(xué)美拾趣》一書，自2002年初版以來，獲得讀者廣泛好評(píng)。該書以流暢的文筆，圍繞一些有趣的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了縱橫知識(shí)面的聯(lián)系與擴(kuò)展，足以開闊眼界、拓廣思維。讀者群中有理科和文科的師生，不但有數(shù)學(xué)愛好者，也有文學(xué)藝術(shù)的愛好者。該書出版不久即脫銷，有一些讀者索書而未能如愿。這次作者在原書基礎(chǔ)上進(jìn)行了較大的修訂和補(bǔ)充，列入?yún)矔�，希望能滿足這些讀者的心愿。
世界上有些事物的變化，有確定的因果關(guān)系。但也有著大量的隨機(jī)現(xiàn)象。一局象棋的勝負(fù)得失，一步一步地分析起來，因果關(guān)系是清楚的。一盤麻將的輸贏，卻包含了很多難以預(yù)料的偶然因素，即隨機(jī)性。有趣的是，數(shù)學(xué)不但長于表達(dá)處理確定的因果關(guān)系，而且也能表達(dá)處理被偶然因素支配的隨機(jī)現(xiàn)象，從偶然中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。孫榮恒先生的《趣味隨機(jī)問題》一書，向我們展示出概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程這些數(shù)學(xué)分支中許多好玩的、有用的和新穎的問題。其中既有經(jīng)典趣題，如賭徒輸光定理，也有近年來發(fā)展的新的方法。
中國古代數(shù)學(xué)，體現(xiàn)出算法化的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，曾一度輝煌�；仡櫼幌轮袊潘阒械拿}趣事，有助于了解歷史文化，振奮民族精神，學(xué)習(xí)邏輯分析方法，發(fā)展空間想像能力。郁祖權(quán)先生為叢書所著的《中國古算解趣》，詩、詞、書、畫、數(shù)五術(shù)俱有，以通俗藝術(shù)的形式介紹韓信點(diǎn)兵、蘇武牧羊、李白沽酒等40余個(gè)中國古算名題；以題說法，講解我國古代很有影響的一些數(shù)學(xué)方法；以法傳知，敘述這些算法的歷史背景和實(shí)際應(yīng)用，并對(duì)相關(guān)的中算典籍、著名數(shù)學(xué)家的生平及其貢獻(xiàn)做了簡要介紹，的確是青少年的好讀物。
讀一讀《好玩的數(shù)學(xué)》，玩一玩數(shù)學(xué)，是消閑娛樂，又是學(xué)習(xí)思考。有些看來已經(jīng)解決的小問題，再多想想，往往有“柳暗花明又一村”的感覺。
舉兩個(gè)例子：
《中國古算解趣》第37節(jié)，講了一個(gè)“三翁垂釣”的題目。與此題類似，有個(gè)“五猴分桃”的趣題在世界上廣泛流傳。著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者李政道教授訪問中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)時(shí)，曾用此題考問中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班的學(xué)生，無人能答。這個(gè)問題，據(jù)說是由大物理學(xué)家狄拉克提出的，許多人嘗試著做過，包括狄拉克本人在內(nèi)都沒有找到很簡便的解法。李政道教授說，著名數(shù)理邏輯學(xué)家和哲學(xué)家懷德海曾用高階差分方程理論中通解和特解的關(guān)系，給出一個(gè)巧妙的解法。其實(shí)，仔細(xì)想想，有一個(gè)十分簡單有趣的解法，小學(xué)生都不難理解。
原題是這樣的：5只猴子一起摘了1堆桃子，因?yàn)樘哿耍鼈兩塘繘Q定，先睡一覺再分。
過了不知多久，來了1只猴子，它見別的猴子沒來，便將這1堆桃子平均分成5份，結(jié)果多了1個(gè)，就將多的這個(gè)吃了，拿走其中的1堆。又過了不知多久，第2只猴子來了，它不知道有1個(gè)同伴已經(jīng)來過，還以為自己是第1個(gè)到的呢，于是將地上的桃子堆起來，平均分成5份，發(fā)現(xiàn)也多了1個(gè)，同樣吃了這1個(gè)，拿走其中的1堆。第3只、第4只、第5只猴子都是這樣……問這5只猴子至少摘了多少個(gè)桃子？第5個(gè)猴子走后還剩多少個(gè)桃子？
思路和解法：題目難在每次分都多1個(gè)桃子，實(shí)際上可以理解為少4個(gè)，先借給它們4個(gè)再分。
好玩的是，桃子盡管多了4個(gè)，每個(gè)猴子得到的桃子并不會(huì)增多，當(dāng)然也不會(huì)減少。這樣，每次都剛好均分成5堆，就容易算了。
想得快的一下就看出，桃子增加4個(gè)以后，能夠被5的5次方整除，所以至少是3125個(gè)。把借的4個(gè)桃子還了，可知5只猴子至少摘了3121個(gè)桃子。
容易算出，最后剩下至少1024-4=1020個(gè)桃子。
細(xì)細(xì)地算，就是：
設(shè)這1堆桃子至少有x個(gè)，借給它們4個(gè)，成為x+4個(gè)。
5個(gè)猴子分別拿了a，b，c，d，e個(gè)桃子(其中包括吃掉的一個(gè))，則可得
a＝(x+4)／5
b＝4(x+4)／25
c＝16(x+4)／125
d＝64(x+4)／625
e＝256(x+4)／3125
e應(yīng)為整數(shù)，而256不能被5整除，所以x＋
|
