《數(shù)學(xué)演義》對古今中外著名的數(shù)學(xué)故事用演義文體進行通而不俗、深入淺出的論述。例如十進制和二進制的故事和游戲，《九章算術(shù)》寓理于算的高招，三次方程與四次方程求根公式的演繹，兔子序列與優(yōu)選法，笛卡兒之夢，油漆匠悖論，人口論中的數(shù)學(xué)，太和殿的屋頂是什么形狀？怎樣對圖進行計算？防空導(dǎo)彈需要多少枚？如何算出系統(tǒng)工程的竣工日期？你想做數(shù)學(xué)家嗎？等等。行文流暢生動，推理嚴(yán)格簡潔，是一部雅俗共賞的科普著作。
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
前言
第一回手指腳趾計數(shù)自然
二進十進游戲高雅1
第二回測天度地作周髀
弄巧動智證勾股4
第三回欲知何謂無理數(shù)
應(yīng)尋誰是戴德金11
第四回詭辯派胡謅規(guī)尺作圖題
眾后生高談擴域超越數(shù)16
第五回數(shù)學(xué)之神巧施反證定圓畝
阿基米德切片秤量度球積23
第六回引葭赴岸劉徽設(shè)計公式解
玉枝傾倒天竺學(xué)吟蓮花詩28叢書修訂版前言
第一版總序
前言
第一回手指腳趾計數(shù)自然
二進十進游戲高雅1
第二回測天度地作周髀
弄巧動智證勾股4
第三回欲知何謂無理數(shù)
應(yīng)尋誰是戴德金11
第四回詭辯派胡謅規(guī)尺作圖題
眾后生高談擴域超越數(shù)16
第五回數(shù)學(xué)之神巧施反證定圓畝
阿基米德切片秤量度球積23
第六回引葭赴岸劉徽設(shè)計公式解
玉枝傾倒天竺學(xué)吟蓮花詩28
第七回劉徽首創(chuàng)等冪等積定理
祖暅巧算牟合方蓋體積32
第八回五家共井劉徽解法不俗
大竹小竹九章招數(shù)真絕37
第九回莞蒲生葉引發(fā)指數(shù)方程
兩鼠穿墻呼喚對數(shù)解法42
第十回五湖四海能者細算圓周率
古今中外何人通曉實數(shù)π46
第十一回癡迷數(shù)學(xué)張遂剃度天臺山
創(chuàng)立天元李冶隱居封龍谷51
第十二回楊輝三角藏數(shù)理
華老觚板揭玄機56
第十三回天地人物漢卿著《四元玉鑒》
堆垛嵐峰松庭作《算學(xué)啟蒙》61
第十四回神農(nóng)幻方楊輝獻藝
憂郁圖版丟勒作秀68
第十五回三次方程鬧劇獲得公式解
神醫(yī)卡丹內(nèi)疚難舍詭辯量72
第十六回嚴(yán)刑逼供伽利略違心交出悔過書
死不悔改保釋犯巧手發(fā)明扇形規(guī)80
第十七回比薩才子寵養(yǎng)兔子成序列
斐波那契應(yīng)試宮廷得滿分85
第十八回給我兩個互素自然數(shù)
送君一枚正星多邊形91
第十九回豪華廣場追求地面別致
美麗石磚講究邊角適度93
第二十回歐拉函數(shù)奇妙無窮
費馬定理難度有限96
第二十一回算術(shù)游戲豈止詼諧愜意
數(shù)學(xué)小品絕非粗俗作秀101
第二十二回帕普斯五線一點求軌跡
笛卡兒一夜三夢得魔鑰104
第二十三回牛頓求導(dǎo)表述欠妥
牧師發(fā)難搬弄是非110
第二十四回伯克萊悖論一波未平
油漆匠謬言驚瀾再起113
第二十五回歐拉柯西眾賢加固微積分
外爾斯特拉斯力駁伯克萊116
第二十六回伯努利擺擂征解速降線
牛萊歐應(yīng)戰(zhàn)創(chuàng)立變分法127
第二十七回帕斯卡費馬分賭本
伯努利卡丹論概率140
第二十八回投針求π數(shù)理不凡
隨機畫弦悖論真刁146
第二十九回二馬高談人口論誰是誰非
利柏計算考古學(xué)孰真孰假150
第三十回公理定理嚴(yán)密準(zhǔn)確
謬論悖論似是而非155
第三十一回直覺恩賜過我們
直覺誤導(dǎo)過我們166
第三十二回斯巴達魔咒腰帶纏棍可破譯
RSA明文密鑰公開不泄密171
第三十三回凱萊大律師攢錢研究代數(shù)
網(wǎng)絡(luò)鄰接陣計量細算圖論177
第三十四回康托爾創(chuàng)建數(shù)學(xué)天堂
龐加萊詛咒集合地獄187
第三十五回英國海岸幾多長
北疆雪花何其美193
第三十六回設(shè)空防搞空襲勝率多少
備導(dǎo)彈派飛機耗損幾何202
第三十七回微分方程天上人間常見模型
定性理論現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要分支210
第三十八回系統(tǒng)工程須統(tǒng)籌
關(guān)鍵工序應(yīng)先知226
第三十九回人皆尊重有為者
我也要做數(shù)學(xué)家231
第四十回數(shù)學(xué)演義言猶未盡
篇末寄語情絲不斷238
參考文獻240第一回手指腳趾計數(shù)自然二進十進游戲高雅
話說5萬多年前，我們的祖先手持石器木棒，刀耕火種，狩獵捕魚，逐漸有了“有無與多少”的概念。他們清點獵物和收獲的野果，拿過一只山雞，就扳屈一個指頭，10個指頭全扳屈了，就在地上放一塊石子，心知已得10只山雞，這就是10進制的萌芽。指頭是自然界賦予人類的，所以后人稱從1開始的正整數(shù)為自然數(shù)。19世紀(jì)，德國大數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克說：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余一切都是人造的�！贝嗽捴械摹吧系邸比绻斫獬捎钪�，則此言言之有理。我國民間約定俗成了一種“手指數(shù)”：伸直一個指頭代表1，伸直兩個指頭代表2，，伸直五個指頭代表5，伸出大拇指與小拇指代表6，伸出食指與中指和大拇指捏在一起代表7，伸出大拇指與食指代表8，伸出食指且彎曲代表9，伸出一個拳頭代表10。古代南美洲印第安人生活困苦，加之天氣炎熱，幾乎人人赤腳，于是在他們的瑪雅文化中使用20進制(手指加腳趾=20)，有些國家也受了瑪雅文化的影響，例如丹麥人、威爾士人、格陵蘭人等，用一口人代表20，兩口人代表40等等，英國人常用Score(20，記賬，計算)這個詞，他們心目中20和計數(shù)是有內(nèi)在聯(lián)系的。古巴比倫人(今伊拉克人的祖先)則用60進制，全世界的計時一直到現(xiàn)在仍在沿用60進位制。
到了近代，數(shù)學(xué)家把進位制用級數(shù)來表達，例如
在十進制中，2004=4×100+0×101+0×102+2×103
模仿十進制的這種表達方式，其他進位制的數(shù)字最大者不能超過進位制基數(shù)(十進制基數(shù)是10)減1，例如5進制中沒有形如2005這個數(shù)。
在5進制中數(shù)碼2004折合成10進制為254(符號表示“規(guī)定”)：20044×50+0×51+0×52+2×53=254在20進制中數(shù)碼2004折合成10進制為16004：20044×200+0×201+0×202+2×203=16004一般而言，正整數(shù)在10進制中是N，則當(dāng)N=a0×b0+a1×b1+a2×b2++an×bn時，在b進制中寫成N=anan-1an-2a0，其中b是自然數(shù)。
17世紀(jì)，德國大數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)明了二進制，在二進制中，只有0與1兩個數(shù)字，如果0是斷電，1是通電，則用0-1化表達的整數(shù)適于“電氣化”，所以在計算機上二進制很吃香。
在十進制與二進制中，可以編制不少好玩的數(shù)字游戲。
【游戲1】“用手指計算器”計算5到10之間的任二數(shù)之積。
例如8×9，一只手上伸出8-5=3個指頭，另一只手伸出9-5=4個指頭，3+4=7，7就是積的十位數(shù)字，把兩手彎曲的指頭數(shù)相乘得
2×1=2，2就是積的個位數(shù)，于是8×9=72。
道理：ab=［(a-5)+(b-5)］10+(10-a)(10-b)。
【游戲2】把你心中的兩位數(shù)的十位數(shù)字乘以5加上7，再二倍，加上原來兩位數(shù)的個位數(shù)，結(jié)果是幾？這個幾減去14就是你讓我猜的那個數(shù)。
道理：設(shè)你心中的兩位數(shù)是ab，則2(5a+7)+b=(10a+b)+14=ab+14。
【游戲3】把你心中的三位數(shù)的百位數(shù)字乘以2，加上3，乘以5，加上7，再加上原來那個數(shù)的十位數(shù)字，乘以2，加上3，乘以5，再加上原來那個數(shù)的個位數(shù)字，結(jié)果是幾？這個幾減去235就是你讓我猜的那個數(shù)。
道理：設(shè)你心中的三位數(shù)是abc，則
52［5(2a+3)+7+b］+3+c=100a+10b+c+235。
【游戲4】把你心中的三位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，如果你那個數(shù)百位與個位不一樣，你告訴我這兩個數(shù)之差的最后一個數(shù)字，我就能猜出這個數(shù)。
道理：abc=100a+10b+c，cba=100c+10b+a，a≠c，于是
abc-cba=100(a-c)+(c-a)，知道了c-a，就知道a-c，于是差100(a-c)+(c-a)就知道了。
【游戲5】①13579111315
�、�236710111415
③456712131415
�、�89101112131415
一個不超過15歲的孩子，只要他告訴我他的年齡在哪幾行，我立刻知道他今年幾歲。
謎底：把他告知的那幾行的排頭相加即得。
道理：把上述4行的數(shù)(1至15)都表成二進制，則知第1行最后數(shù)字是1，第2行倒數(shù)第2個數(shù)字是1，第3行倒數(shù)第3個數(shù)字是1，第4行第1個數(shù)字是1，而未知數(shù)(年齡)x可表示成x=a020+a121+a222+a323x在第n行，則an-1=1，例如你說你的年齡在1，3，4行，則a0=a2=a3=1，x=a020+a121+a222+a323=1+22+23=13(歲)。
如果你用1到31(25-1)這31個數(shù)字排成5行，每行16個數(shù)，排頭分別是1，2，4，8，16，且把在2進制中最后一個數(shù)字為1的數(shù)排在第1行，把2進制中倒數(shù)第2個數(shù)字為1的數(shù)排在第2行，倒數(shù)第3個數(shù)字為1的排在第3行，倒數(shù)第4個數(shù)為1的排在第4行，倒數(shù)第5個數(shù)為1的排在第5行。則可以問一位青少年(不超過31歲)，讓他告知他的年齡在第幾行，再把這幾行的排頭相加，即是他的年齡。
依此類推，可以制作n+1行的數(shù)表，排頭分別是1，2，4，，2n，進行相似游戲。且容易證明每行恰有2n個不同的數(shù)，這些數(shù)來自｛1，2，3，，2n+1-1｝。
第二回測天度地作周髀弄巧動智證勾股
第二回測天度地作周髀
弄巧動智證勾股
公元前11世紀(jì)，商紂王暴虐無道，寵淫婦妲己，殺忠臣比干，朝廷揮霍無度，官僚苛政猛于虎，弄得神州民不聊生；周武王起兵伐紂，一呼百應(yīng)，糾兵不堪一擊，紂王兵敗自焚，西周建國。武王封其胞弟周公為相，周公乃中國古代第一聰明人，他上知天文下知地理又精通數(shù)學(xué)，不但有治國平天下之韜略，而且重視科學(xué)技術(shù)，鼓勵臣民鉆研自然科學(xué)。朝中一位文臣喚作商高，這位商高是當(dāng)時有名的星相家，兼善計算，一日，風(fēng)和日麗，朝中無要事，周公在王家花園散步，見商高拿一個繩圈擺弄，只見那繩圈上用紅色等分成12等份，每份1尺(1米=3尺)。周公問道：“此物何用？”商高答：“此圈大有學(xué)問�！敝芄穯枺骸昂卧S學(xué)問，請先生指教。”商高于是向這位開國重臣論述了下面一段12尺繩圈上的數(shù)學(xué)，商高考慮邊長為整數(shù)的由繩圈構(gòu)成的三角形。
(1)把繩圈拉緊構(gòu)成的三角形中，不會有邊長大于5的三角形。
事實上，設(shè)由繩圈構(gòu)成的三角形中邊長分別為x尺、y尺和z尺，則應(yīng)有x+y+z=12若x≥6，則y+z=12-x≤6≤x而在三角形中，兩邊之和y+z應(yīng)大于第三邊x，矛盾，所以x不應(yīng)大于5。
這時x∈｛1，2，3，4，5｝。
(2)當(dāng)x=1時，y+z=12-x=11。與(1)同理可知y≤5，z≤5，這樣，y+z≤10，與y+z=11矛盾，可見不存在x=1尺的由繩圈構(gòu)成的三角形。
(3)當(dāng)x=3時，y+z=12-3=9，y≤3時，z=9-y≥9-3=6，與z≤5相違，故y≥4；同理z≥4，于是只能是y=4，z=5，或y=5，z=4，即這時三角形三邊長只能是3尺、4尺和5尺。
(4)當(dāng)x=4時，y+z=12-4=8，由y≤5，z≤5知y∈｛3，4，5｝，這時只有三種可能：
①x=4，y=3，z=5，②x=4，y=4，z=4，③x=4，y=5，z=3。
由①②③知繩圈構(gòu)成的邊長為整數(shù)的三角形，若一邊長為4，則只有兩種情形，或者邊長分別為3尺、4尺和5尺，或者是邊長為4的正三角形。
(5)當(dāng)x=5時，y+z=12-5=7，又由y≤5，z≤5知y∈｛2，3，4，5｝，這時只有四種可能：
�、躼=5，y=4，z=3，⑤x=5，y=5，z=2，⑥x=5，y=3，z=4，⑦x=5，y=2，z=5。
綜上所述，商高對周公下結(jié)論說：
用這條繩圈構(gòu)成的邊長為整數(shù)的三角形只有三種：
第一種：三邊長皆4尺的正三角形，它的三個角都是60°。
第二種：底邊長2尺，兩腰皆5尺的等腰三角形。
第三種：邊長分別為3尺、4尺和5尺的一個三角形，這個三角形有一個角是90°，這個角與5尺長的邊相對；我把它的最短邊叫做勾，最長的邊叫做弦，另一條邊叫做股，這時勾2+股2=弦2，(即32+42=52)。
勾3股4弦5的這種直角三角形是由三個連續(xù)整數(shù)為邊長的唯一的直角三角形。事實上，設(shè)x為整數(shù)，x-1，x，x+1是一個直角三角形的三條邊之長，由
勾2+股2=弦2
得
(x-1)2+x2=(x+1)2
x(x-4)=0
解得正整數(shù)x=4，于是x-1=3，x+1=5，即這種三角形是唯一的，它就是我們上面由繩圈構(gòu)成的那個勾3股4弦5的直角三角形。
周公聽了商高上述一番論述，贊嘆道：“商高賢弟真神人也。”周公向商高咨詢?nèi)绾斡嬎闾煊卸喔叩赜卸鄰V。周公問道：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高答道：“勾廣3，股修4，徑隅5�！鄙谈咧钢Q立的8尺長的牛大腿骨說，大人您瞧，這根“周髀”的影子長6尺，按我們上面從繩圈得到的結(jié)論，即按直角三角形三邊之比為3∶4∶5可知，從“周髀”的頂?shù)健爸荀隆庇白拥亩它c之距離應(yīng)該是2×5=10尺。見圖2-1。如果我們能測得日下之長AD，則可以得日高股長=AD勾長
斜至日弦長=AD勾長從而算出日高與“斜至日”。
圖2-1
后來周公的后代陳子把商高的“勾三股四弦五”的結(jié)論32+42=52推而廣之，說了下面一句十分重要的有歷史意義的話：“求斜至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并以開方除之，得斜至日�！贝搜暂d入我國最早的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》上。陳子的話用現(xiàn)在的話來講就是“直角三角形斜邊之長等于兩直角邊平方和的算術(shù)平方根”，此即我們現(xiàn)在所說的勾股定理。據(jù)說陳子等人測得“日下=60000里，日高=80000里”(1里=500米)，于是
斜至日=600002+800002=100000里
這些數(shù)據(jù)顯然是錯的，在不知宇宙的無窮性和地球是球狀星體又缺乏測
|
