《幻方與素?cái)?shù)：娛樂數(shù)學(xué)兩大經(jīng)典名題》分為兩部分，第一部分是百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題，對(duì)古今中外在幻方研究中的發(fā)現(xiàn)和成果有極為詳細(xì)的介紹；第二部分是素?cái)?shù)——娛樂數(shù)學(xué)另一經(jīng)典名題，包括素?cái)?shù)之謎、素?cái)?shù)奇趣、素?cái)?shù)與完美數(shù)、素?cái)?shù)與親和數(shù)等問(wèn)題。題材廣泛、內(nèi)容有趣，能夠啟迪思想、開闊視野，培養(yǎng)讀者分析和解決問(wèn)題的能力。
作者簡(jiǎn)介：
張景中，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)。他的不講數(shù)學(xué)理論只講數(shù)學(xué)思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學(xué)的創(chuàng)作手法，是我國(guó)數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學(xué)科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡(jiǎn)單的材料收集乖¨整理，而是一個(gè)站在科學(xué)前沿的學(xué)者的真知灼見。因此，他寫的科普讀物高屋建瓴，常有畫龍點(diǎn)睛，令人叫絕之筆，多年以來(lái)，喜歡數(shù)學(xué)的讀者無(wú)不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國(guó)數(shù)學(xué)科普的旗幟，是中國(guó)數(shù)學(xué)科普最高水平的標(biāo)志。吳鶴齡，漢族，上海市金山區(qū)人，1937年5月出生。1998年從北京理工大學(xué)退休后從事科普創(chuàng)作，已先后出版《ACM圖靈獎(jiǎng)》、《IEEE計(jì)算機(jī)先驅(qū)獎(jiǎng)》、《好玩的數(shù)學(xué)》、《七巧板、九連環(huán)和華容道》、《囚徒的困境》、《迷宮趣話》、《魅力魔方》，獲得2009年國(guó)家科學(xué)技術(shù)進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)、第三屆臺(tái)灣吳大猷科普著作獎(jiǎng)翻譯類佳作獎(jiǎng)、北京市箍四屆優(yōu)秀科普作品獎(jiǎng)、國(guó)家新聞出版總署第二屆“三個(gè)一百”原創(chuàng)優(yōu)秀圖書出版工程等多項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)。
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
第四版說(shuō)明
第三版說(shuō)明
第二版說(shuō)明
第一版前言
第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題
引子洛水神龜獻(xiàn)奇圖
01有關(guān)幻方的傳聞趣事
1.1宇宙飛船上的搭載物
1.2南宋楊輝——研究幻方第一人
1.3楊輝4階幻方中的奧秘
1.4出土文物中的阿拉伯幻方
1.5歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方
1.6富蘭克林的神奇幻方叢書修訂版前言
第一版總序
第四版說(shuō)明
第三版說(shuō)明
第二版說(shuō)明
第一版前言
第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題
引子洛水神龜獻(xiàn)奇圖
01有關(guān)幻方的傳聞趣事
1.1宇宙飛船上的搭載物
1.2南宋楊輝——研究幻方第一人
1.3楊輝4階幻方中的奧秘
1.4出土文物中的阿拉伯幻方
1.5歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方
1.6富蘭克林的神奇幻方
02怎樣構(gòu)造幻方
2.1連續(xù)擺數(shù)法（暹羅法）
2.2階梯法（樓梯法）
2.3奇偶數(shù)分開的菱形法
2.4對(duì)稱法
2.5對(duì)角線法
2.6比例放大法
2.7斯特雷奇法
2.8LUX法
2.9拉伊爾法（基方、根方合成法）
2.104襄邊法
2.11相乘法
2.12幻方模式
03幻方數(shù)量知多少
3.13階幻方的數(shù)量
3.24階幻方的數(shù)量
3.35階幻方的數(shù)量
04“幻中之幻”
4.1對(duì)稱幻方
4.2泛對(duì)角線幻方
4.3棋盤上的幻方
4.4親子幻方
4.5奇偶數(shù)分居的對(duì)稱鑲邊幻方
4.6T形幻方
05非正規(guī)幻方
5.1普朗克幻方
5.2合數(shù)幻方
5.3乘幻方及其他
06幻方的變形
6.1楊輝的幻圓
6.2對(duì)楊輝變形幻方的發(fā)展
6.3中世紀(jì)印度的幻圓和魔蓮花寶座
6.4富蘭克林的八輪幻圓
6.5幻星
6.6幻矩形
6.7魔蜂窩
6.8幻環(huán)
07進(jìn)一步的“幻中之幻”
7.1雙幻方
7.2幻立方（魔方）
7.3四維魔方
7.4—些奇特的魔幻方
第二部分娛樂數(shù)學(xué)另一經(jīng)典名題——素?cái)?shù)
08素?cái)?shù)之謎
8.1素?cái)?shù)的無(wú)限性及其證明
8.2有沒有素?cái)?shù)的一般表達(dá)式
8.3表達(dá)素?cái)?shù)的函數(shù)
8.4怎樣判定大素?cái)?shù)
8.5某范圍內(nèi)素?cái)?shù)知多少
8.6梅森素?cái)?shù)最大素?cái)?shù)的表示形式
8.7最大素?cái)?shù)有多大
09素?cái)?shù)奇趣
9.1由順（逆）序數(shù)字組成的素?cái)?shù)
9.2回文素?cái)?shù)
9.3可逆素?cái)?shù)
9.4“雙胞胎”和“三胞胎”素?cái)?shù)
9.5形成級(jí)數(shù)的素?cái)?shù)
9.6“清一色”和“近乎清一色”的素?cái)?shù)
9.7素?cái)?shù)與π及其他
9.8—些素?cái)?shù)倒數(shù)的特殊性質(zhì)
9.9素?cái)?shù)分布的有趣圖案
9.10高斯素?cái)?shù)和艾森斯坦素?cái)?shù)
10素?cái)?shù)和完美數(shù)
10.1求完美數(shù)的公式
10.2完美數(shù)與梅森素?cái)?shù)
10.3完美數(shù)的一些特征
10.4多倍完美數(shù)
10.5另一種完美
11素?cái)?shù)和親和數(shù)
11.1什么叫親和數(shù)？
11.2產(chǎn)生親和數(shù)的公式
11.3親和數(shù)
12素?cái)?shù)和幻方
12.1素?cái)?shù)幻方
12.2科藝幻方
部分習(xí)題、問(wèn)題答案
參考文獻(xiàn)
數(shù)學(xué)網(wǎng)站第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題
本書分兩大部分，第一部分專門介紹幻方，第二部分介紹素?cái)?shù)。把幻方作為一個(gè)專題著重加以介紹，并非完全是由于筆者的偏愛，更主要的是因?yàn)榛梅皆趭蕵窋?shù)學(xué)中的地位以及它的意義實(shí)在非同一般，也因?yàn)榛梅绞侵袊?guó)人的首創(chuàng)，是值得中國(guó)人驕傲的。賴塞(H.J.Ryser)的名著《組合數(shù)學(xué)》（CombinatorialMathematics）(MAA，1962)開宗明義地寫道：“組合數(shù)學(xué)，也稱為組合分析或組合學(xué)，是一門起源于古代的數(shù)學(xué)學(xué)科。據(jù)傳說(shuō)，中國(guó)的大禹(約公元前2200年)在一只神龜?shù)谋成峡吹饺缦禄梅蕉蠹s公元前1100年，排列即已在中國(guó)開始萌芽”
幻方從中國(guó)傳到世界其他地區(qū)以后，引起廣泛的重視，一代又一代的學(xué)者對(duì)它進(jìn)行不懈的研究，取得了許多成果，有關(guān)的文獻(xiàn)資料多不勝舉。數(shù)學(xué)家詹姆士紐曼(JamesRoyNewman，1907～1966)在20世紀(jì)50年代編輯了一部數(shù)學(xué)文庫(kù)性質(zhì)的《數(shù)學(xué)世界》(TheWorldofMathematics，TempusBooks，1956)，收集了數(shù)學(xué)各個(gè)分支、各個(gè)年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)謎語(yǔ)”這部分的開頭，紐曼在介紹中提到幻方時(shí)說(shuō)道：“單單是有關(guān)幻方的著作就足夠辦一個(gè)規(guī)�？捎^的圖書館了(Thewritingsonmagicsquaresalonesufficetomakeafair-sizedlibrary)�！弊x者在看過(guò)本書以后當(dāng)會(huì)相信紐曼的這個(gè)說(shuō)法是一點(diǎn)也不過(guò)分的，筆者專用一部分介紹幻方也是有道理的。
引子洛水神龜獻(xiàn)奇圖
公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我們中華民族祖先居住的大地上，發(fā)生了暴雨連綿、洪水泛濫、成千上萬(wàn)的人遭到?jīng)]頂之災(zāi)的大悲劇。當(dāng)時(shí)人類抵御自然災(zāi)害的能力十分有限。在拯救自身生命的強(qiáng)烈愿望驅(qū)使下，人們奮起抗災(zāi)，在斗爭(zhēng)和失敗中學(xué)習(xí)，涌現(xiàn)出了許多可歌可泣的故事，其中大家最熟悉的是大禹為治水三過(guò)家門而不入的事跡。在大禹治水的過(guò)程中，還有許多美麗、動(dòng)人的傳說(shuō)。例如，相傳大禹在治黃河的時(shí)候，黃河龍馬獻(xiàn)給大禹一張河圖，從而幫助大禹制定了一套正確的治黃方案。另一則傳說(shuō)是大禹在治洛水的時(shí)候，洛水神龜獻(xiàn)給大禹一本洛書，書中有如圖0-1所示的一幅奇怪的圖。這幅圖用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)3階幻方，也就是在3×3的方陣中填入1～9，其每行、每列和2條對(duì)角線上3個(gè)數(shù)字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常數(shù)(magicsquareconstant)或幻和(magicsum)。這就是中國(guó)人首先發(fā)現(xiàn)的世界第一個(gè)幻方。別小看了這個(gè)小小的幻方，這是中國(guó)人在數(shù)學(xué)上的一個(gè)偉大創(chuàng)造，它奠定了數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支——組合學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，由于當(dāng)時(shí)還沒有發(fā)明我們今天所使用的數(shù)字符號(hào)，所以我們的祖先就巧妙地用這個(gè)圖來(lái)表達(dá)他們所知道的幻方。圖中，奇數(shù)用若干個(gè)空心的圓圈表示，偶數(shù)用若干個(gè)實(shí)心的圓圈表示，這和中國(guó)古時(shí)的陰陽(yáng)學(xué)說(shuō)有關(guān)。
由于作為洛書3階幻方基礎(chǔ)的九宮數(shù)字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的記載，因此，中國(guó)人首先發(fā)現(xiàn)了幻方，是國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的。但是，幻方到底是什么時(shí)候出現(xiàn)的，有沒有實(shí)物為證？這個(gè)問(wèn)題卻長(zhǎng)期得不到解決，直到20世紀(jì)70年代的一個(gè)考古發(fā)現(xiàn)才最終給出了答案。
圖0-1洛書上的3階幻方
1977年春，安徽省阜陽(yáng)縣(現(xiàn)改為“阜陽(yáng)市”)城郊的農(nóng)民在雙古堆平整土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩座古墓。文物工作者發(fā)掘后證明這是西漢汝陰侯的墓葬。汝陰侯是漢高帝劉邦對(duì)其同鄉(xiāng)的功臣夏侯嬰的封號(hào)。墓主人是第二代汝陰侯夏侯灶及其妻子。據(jù)史書記載，夏侯灶死于漢文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件極為珍貴的中國(guó)古代天文儀器，其中一件叫“太乙九宮占盤”，是用來(lái)占卦的盤，分上盤和下盤兩部分，上盤嵌入下盤的凹槽，可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖0-2(a)所示。將盤上的古漢字轉(zhuǎn)寫成現(xiàn)代漢字以后如圖0-2（b)。由圖可見，太乙九宮占盤正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行屬性排列的，其九宮名稱和各宮節(jié)氣的天數(shù)與古書《靈樞經(jīng)》（這是《黃帝內(nèi)經(jīng)》的重要組成部分，是中國(guó)最早研究天氣變化與人體關(guān)系，以占風(fēng)圖0-2太乙九宮占盤候，治疾病的古書）完全一致。這個(gè)占盤就是用來(lái)測(cè)算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至這8個(gè)節(jié)氣的，說(shuō)明我們的祖先很早就掌握了季節(jié)變化的規(guī)律，這里我們不加詳述，感興趣的讀者可參閱《考古》1978年5月號(hào)上殷非的文章“西漢汝陰侯墓出土的占盤和天文儀器”。我們感興趣的是盤上圓圈中8個(gè)方位上的數(shù)字如果補(bǔ)上中心因安裝轉(zhuǎn)軸而無(wú)法刻上的“5”的話，恰為九宮數(shù)字“四九二，三五七，八一六”！因此，我國(guó)數(shù)學(xué)史專家梁宗巨先生在其遺作《世界數(shù)學(xué)通史》（遼寧教育出版社，2005）中認(rèn)定這是一個(gè)3階幻方的實(shí)物。根據(jù)盤上刻的該盤的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字樣，專家已確切地考證出這是漢文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中國(guó)的出現(xiàn)已有2180年以上的歷史，比根據(jù)《大戴禮記》的推算提前了兩個(gè)半世紀(jì)（但不知什么原因，梁先生書上只說(shuō)提前了一個(gè)半世紀(jì)）�；梅胶髞�(lái)陸續(xù)傳播到日本、朝鮮、印度、泰國(guó)、阿拉伯等地，引起廣泛興趣和重視。但根據(jù)史料記載，國(guó)外最早研究幻方的學(xué)者當(dāng)推阿拉伯的塔比伊本夸兒拉(ThabitibnQurrah，826～901)，那已是公元9世紀(jì)了。至于歐洲人知道幻方就更晚了，最早是生于康斯坦丁諾普爾(Constantinople)的印度人穆曉普魯斯(ManuelMoschopulus)首先在15世紀(jì)把幻方介紹到歐洲去的。
在中國(guó)古代，洛書3階幻方被蒙上了一層厚厚的神秘色彩。周朝的易學(xué)家把它同“九宮說(shuō)”等同起來(lái)(九宮指乾、坎、艮、震、巽、離、坤、兌八卦之宮，外加中央之宮，合稱九宮)，或者把它同他們所主張的“天地生成數(shù)說(shuō)”聯(lián)系起來(lái)(天數(shù)指奇數(shù)1、3、5、7、9，表陽(yáng)、乾、天等；地?cái)?shù)指2、4、6、8，表陰、坤、地等)。而兩漢時(shí)的巫師或方士則把它用作占卜吉兇的圖讖。在我國(guó)西藏地區(qū)，過(guò)去藏民普遍攜帶的一種護(hù)身符如圖0-3所示，除了有黃道十二宮和八卦以外，中央就是一個(gè)用藏文數(shù)字表示的3階幻方。此外，初版于1923年的《數(shù)學(xué)史》（D.E.Smith:HistoryofMathematics)中，轉(zhuǎn)載了拉薩出版物中一幅名為“生命之輪”（WheelofLife）的畫，如圖0-4所示，也有類似的，但宗教色彩更濃厚，內(nèi)容更豐富的圖案，其中央也是一個(gè)3階幻方。另一方面，由于洛書3階幻方配置9個(gè)數(shù)字的均衡性和完美性，產(chǎn)生了極
圖0-3藏民的護(hù)身符
圖0-4“生命之輪”
大的審美效果，使古人認(rèn)為其中包含了某種至高無(wú)上的原則，也把它作為治國(guó)安民九類大法的模式，或把它視為舉行國(guó)事大典的明堂的格局，因此使中國(guó)古人的這一數(shù)學(xué)杰作，具有哲學(xué)意義的創(chuàng)造。
事實(shí)上，隱藏在洛書3階幻方背后，還可能有許多奧秘有待人們?nèi)ネ诰�。我�?guó)著名的科普作家兼娛樂數(shù)學(xué)專家談祥柏先生就曾在他的著作中介紹了有關(guān)對(duì)洛書3階幻方的新發(fā)現(xiàn)。首先是把幻方想像為畫在汽車輪胎上，于是，最左一列與最右一列相鄰，最上一行與最下一行也相鄰。這時(shí)，9個(gè)2×2方陣中的4數(shù)之和恰好從16到24，既不重復(fù)也不遺漏，如圖0-5所示。你說(shuō)奇不奇?
其次，把每列數(shù)字看成一個(gè)3位數(shù)，則此3個(gè)3位數(shù)之和與其3個(gè)逆轉(zhuǎn)3位數(shù)之和相等，而且取它們的平方和也相等，即
276+951+438=672+159+834=1665
2762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421
不僅如此，這種性質(zhì)對(duì)行來(lái)說(shuō)也成立，即
492+357+816=294+753+618=1665
4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369
圖0-5洛書3階幻方9個(gè)2×2方陣形成連續(xù)數(shù)列
更有甚者，如果我們把對(duì)角線也分成兩族，自左上角到右下角的主對(duì)角線及與它平行的兩條折對(duì)角線稱為主族，反方向的對(duì)角線稱為副族，則上述奇妙性質(zhì)依然成立，即
主對(duì)角線族：654+798+213=456+897+312=1665
6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889
副對(duì)角線族：258+714+693=852+417+396=1665……
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