《浴缸里的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》是一本趣題集，里面的題目全部來自于作者顧森十余年來的精心收集，包括幾何、組合、行程、數(shù)字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類別，其中既有小學(xué)奧數(shù)當(dāng)中的經(jīng)典題目，又有世界級的著名難題，但它們無一例外都是作者心目中的“好題”：題目本身簡單而不容易，答案出人意料卻又在情理之中，解法優(yōu)雅精巧令人拍案叫絕。作者還有意設(shè)置了語言和情境兩個(gè)類別的問題，希望讓完全沒有數(shù)學(xué)背景的讀者也能體會(huì)到解題的樂趣。
《浴缸里的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》是一個(gè)瘋狂數(shù)學(xué)愛好者的數(shù)學(xué)筆記，主要面向小學(xué)生、初中生和高中生，以及所有掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算知識、善于思考的讀者，適合作為數(shù)學(xué)興趣班的數(shù)學(xué)培訓(xùn)教材。
作者簡介：
顧森，網(wǎng)名Matrix67，數(shù)學(xué)愛好者。長期為各類科普雜志供稿，從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育多年。著有《思考的樂趣：Matrix67數(shù)學(xué)筆記》。
目錄：
1.幾何問題
2.組合問題
3.行程問題
4.時(shí)鐘問題
5.數(shù)字問題
6.序列問題
7.算賬問題
8.概率問題
9.邏輯問題
10.博弈問題
11.策略問題
12.語言問題
13.情境問題
14.以及其他30個(gè)問題
誰支付了啤酒錢
據(jù)說，曾經(jīng)在某一段時(shí)間里，美國和加拿大的貨幣匯率出了問題：把9美元帶到加拿大去，可以換成10個(gè)加元；把9加元帶到美國去，可以換成10個(gè)美元。于是，就出現(xiàn)了這么一個(gè)往返于美加邊境的酒鬼：他用10美元在美國買了杯1美元的啤酒，把找回來的9個(gè)美元帶到加拿大去，換成10加元；然后在加拿大又買了1加元的啤酒，把找回來的9個(gè)加元帶到美國，再換成10美元……如此反復(fù)，他就可以不花一分錢，免費(fèi)喝到無窮多的啤酒！問題出現(xiàn)了：究竟是誰支付了啤酒錢？
答案：他用自己的勞動(dòng)支付了啤酒。他以一個(gè)貿(mào)易商的角色往返于兩地之間，并把賺到的錢花在了啤酒上。不要老想著貨幣匯率的問題了，其實(shí)整個(gè)過程的實(shí)質(zhì)很簡單，就相當(dāng)于他從美國買了很多特產(chǎn)帶到加拿大去賣，再在加拿大買了很多特產(chǎn)帶到美國去賣，如此反復(fù)并不斷獲利，再用賺來的錢買啤酒罷了。
另類的俄羅斯輪盤賭
俄羅斯輪盤賭是史上最酷的決斗方式之一。左輪手槍的轉(zhuǎn)輪中有六個(gè)彈槽。在其中一個(gè)彈槽中放入一顆子彈，然后快速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)輪，再把它合上。參與決斗的兩個(gè)人輪流對準(zhǔn)自己的頭部扣動(dòng)扳機(jī)，直到其中一方死亡。這是一場真男人游戲，雙方勝負(fù)的概率各占50%，游戲沒有任何技巧可言，命運(yùn)決定了一切。
為了讓游戲更加刺激，這一回我們稍微改變一下游戲規(guī)則。在轉(zhuǎn)輪的連續(xù)三個(gè)彈槽中放入子彈，然后旋轉(zhuǎn)并合上轉(zhuǎn)輪。這一次，你是打算先開槍還是后開槍呢？
你應(yīng)該選擇后開槍，因?yàn)楹箝_槍的人幸存的概率更高。為了算出雙方存活的概率，我們只需要考慮所有6種可能的子彈位置即可。不妨用字母B來表示有子彈的彈槽，用字母E來表示空的彈槽。我們便能列出下面這張表：
BBBEEE→先開槍者死BBEEEB→先開槍者死BEEEBB→先開槍者死EEEBBB→后開槍者死EEBBBE→先開槍者死EBBBEE→后開槍者死可見，先開槍者死亡的概率高達(dá)2/3，是后開槍者死亡概率的兩倍。
可以算出，當(dāng)轉(zhuǎn)輪里位置相連的子彈數(shù)分別為1、2、3、4、5、6時(shí)，先開槍者死亡的概率分別為1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看來，并不是所有游戲都是先下手為強(qiáng)啊。
藍(lán)眼睛島上的故事
某座島上有200個(gè)人，其中100個(gè)人的眼睛是藍(lán)色的，另外100個(gè)人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的顏色，也沒法看到自己眼睛的顏色。他們可以通過觀察別人的眼睛顏色，來推斷自己的眼睛顏色；除此之外，他們之間不能有任何形式的交流。每天午夜都會(huì)有一艘渡船停在島邊，所有推出自己眼睛顏色的人都必須離開這座島。所有人都是無限聰明的，只要他們能推出來的東西，他們一定能推出來。島上的所有人都非常清楚地知道上面這些條件和規(guī)則。
有一天，一位大法師來到了島上。他把島上所有人都叫來，然后向所有人宣布了一個(gè)消息：島上至少有一個(gè)人是藍(lán)色的眼睛。
接下來的每一個(gè)午夜里，都會(huì)有哪些人離開這座島？
答案：從第1個(gè)午夜到第99個(gè)午夜，沒有任何人離開這座島；到第100個(gè)午夜，所有100個(gè)藍(lán)眼睛將會(huì)同時(shí)離開。
為什么？大家不妨先這樣想：什么情況下第一天就會(huì)有人離開這座島？很簡單。假如島上只有一個(gè)藍(lán)眼睛，那么當(dāng)他聽說島上至少有一個(gè)藍(lán)眼睛之后，他就知道了自己一定就是那個(gè)藍(lán)眼睛，因?yàn)樗吹降钠渌腥硕际亲厣难劬�。因而，�?dāng)天夜里他就會(huì)離開這座島。好了，如果島上只有兩個(gè)藍(lán)眼睛呢？他們在第一天都無法立即推出自己是藍(lán)眼睛，但在第二天，每個(gè)人都發(fā)現(xiàn)對方還在，就知道自己一定是藍(lán)眼睛了。這是因?yàn)�，每個(gè)人都會(huì)這么想：如果我不是藍(lán)眼睛，那么對方昨天就會(huì)意識到他是藍(lán)眼睛，對方昨天夜里就應(yīng)該消失，然而今天竟然還在這兒，說明我也是藍(lán)眼睛。最后，這兩個(gè)人將會(huì)在第二天夜里一并消失。
類似地，如果島上有三個(gè)藍(lán)眼睛，那么每個(gè)人到了第三天都發(fā)現(xiàn)另外兩個(gè)人還沒走，便能很快推出，這一定是因?yàn)樽约菏撬{(lán)眼睛。所以，這三個(gè)藍(lán)眼睛將會(huì)在第三個(gè)午夜集體離開。不斷地這樣推下去，最終便會(huì)得出，如果島上有100個(gè)藍(lán)眼睛，那么每個(gè)人都會(huì)在第100天意識到自己是藍(lán)色的眼睛，于是他們將會(huì)在第100個(gè)午夜集體離開。
很多人都會(huì)對這段解釋非常滿意，然而細(xì)心的朋友卻會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：在大法師出現(xiàn)之前，每個(gè)人都能看見99個(gè)藍(lán)眼睛，因此每個(gè)人都知道“島上至少有一個(gè)人是藍(lán)色的眼睛”這件事情。那么，大法師的出現(xiàn)究竟有什么用呢？這是一個(gè)很好的問題。它的答案是：大法師的行為，讓“島上至少有一個(gè)人是藍(lán)色的眼睛”的消息成為了共識。
在生活當(dāng)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到與共識有關(guān)的問題。讓我們來看這么一段故事。A、B兩人有事需要面談，他們要用短信的方式約定明天的見面時(shí)間和地點(diǎn)。不過，兩人的時(shí)間都非常寶貴，只有確信對方能夠出席時(shí)，自己才會(huì)到場。A給B發(fā)短信說，“我們明天10:00在西直門地鐵站見吧”。不過，短信發(fā)丟了是常有的事情。為了確信B得知了此消息，A補(bǔ)充了一句，“收到請回復(fù)”。B收到了之后，立即回復(fù)：“已收到，明天10:00不見不散”。不過，B也有他自己的擔(dān)憂：A不是只在確認(rèn)我要去了之后才會(huì)去嗎？萬一對方?jīng)]有收到我的確認(rèn)短信，屆時(shí)沒有到場讓我白等一中午怎么辦？因此B也附了一句：“收到此確認(rèn)信請回復(fù)”。A收到確認(rèn)信之后，自然會(huì)回復(fù)“收到確認(rèn)信”。但A又產(chǎn)生了新的顧慮：如果B沒收到我的回復(fù)，一定會(huì)擔(dān)心我因?yàn)闆]收到他的回復(fù)而不去了，那他會(huì)不會(huì)也就因此不去了呢？為了確保B收到了回復(fù)，A也在短信末尾加上了“收到請回復(fù)”。這個(gè)過程繼續(xù)下去，顯然是沒完沒了。其結(jié)果是，A、B兩人一直在確認(rèn)對方的信息，但卻始終無法達(dá)成這么一個(gè)共識：“我們都將在明天10:00到達(dá)西直門地鐵站”。
有的人或許會(huì)說，那還不簡單，A給B打個(gè)電話不就行了嗎？在生活當(dāng)中，這的確是上述困境的一個(gè)最佳解決辦法。有意思的問題出來了：打電話和發(fā)短信有什么區(qū)別，使得兩人一下就把問題給解決了？主要原因可能是，打電話是“在線”的，而發(fā)短信是“離線”的。在打電話時(shí)，每個(gè)人都能確定對方在聽著，也能確定對方確定自己在聽著，等等，因此兩人說的任何一句話，都將會(huì)立即成為共識：不但我知道了，而且我知道你知道了，而且我知道你知道我知道了……
大法師當(dāng)眾宣布“島上至少有一個(gè)藍(lán)眼睛”，就是讓所有人都知道這一點(diǎn)，并且讓所有人都知道所有人都知道這一點(diǎn)，并且像這樣無限嵌套下去。這就叫做某條消息成為大家的共識。讓我們來看一下，如果這個(gè)消息并沒有成為共識，事情又會(huì)怎樣。
為了簡單起見，我們還是假定島上只有兩個(gè)藍(lán)眼睛。這兩個(gè)人都能看見對方是藍(lán)眼睛，因而他們都知道“島上至少有一個(gè)藍(lán)眼睛”。但是，由于法師沒有出現(xiàn)，因此他倆都不知道，對方是否知道“島上有藍(lán)眼睛”這件事。所以，到了第二天的時(shí)候，之前的推理就無法進(jìn)行下去了——每個(gè)人心里都會(huì)想，對方?jīng)]有離開完全有可能是因?yàn)閷Ψ讲恢馈皪u上有藍(lán)眼睛”這件事。
類似地，如果島上有三個(gè)藍(lán)眼睛，那么除非他們都知道，所有人都知道所有人都知道了“島上有藍(lán)眼睛”這件事，否則第三天的推理是不成立的——到了第三天，會(huì)有人覺得，那兩個(gè)人沒走僅僅是因?yàn)樗麄儾恢缹Ψ揭仓馈皪u上有藍(lán)眼睛”這件事罷了。繼續(xù)擴(kuò)展到100個(gè)藍(lán)眼睛的情形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，“互相知道”必須得嵌套100層，才能讓所有推理能順利進(jìn)行下去。
實(shí)際上，我們的題目條件也是不完整的。“島上的所有人都非常清楚地知道上面這些條件和規(guī)則”這句話應(yīng)該改為“上面這些條件和規(guī)則是島上所有人的共識”，或者說“島上所有人都知道上面這些條件和規(guī)則，并且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果沒有這個(gè)條件，剛才的推理也是不成立。比方說，雖然所有人都是無限聰明的，但是如果大家不知道別人也是無限聰明的，或者大家不知道大家知道別人也是無限聰明的，推理也會(huì)因?yàn)椤白蛲硭麤]走僅僅是因?yàn)樗苛藳]推出來”之類的想法而被卡住。下一章的博弈問題當(dāng)中，共識的概念也會(huì)起到很大的作用。
這是一道非常經(jīng)典的問題，網(wǎng)絡(luò)漫畫網(wǎng)站XKCD把它稱作是“世界上最難的邏輯謎題”。我至少見過這個(gè)問題的四種不同的版本。JohnAllenPaulos的OnceUponANumber里寫過一個(gè)大女子主義村的故事：村子里有50個(gè)已婚婦女，每個(gè)婦女都不知道自己的男人是否有外遇，但卻可以觀察到其他婦女的男人是否有外遇。規(guī)定，只要哪個(gè)婦女推出了自己的男人有外遇，當(dāng)晚她就必須把自己的男人殺死。有一天，村子里來了一位女族長。女族長宣布，島上至少有一個(gè)婦女，他的男人有外遇。實(shí)際上，每個(gè)婦女的男人都有外遇。那么最后究竟會(huì)發(fā)生什么呢？村子里的人將會(huì)度過49個(gè)平靜的晚上，到第50天則會(huì)出現(xiàn)徹徹底底的大屠殺。
另一個(gè)與瘋狗有關(guān)的版本也大致如此：村子里每個(gè)人都養(yǎng)了一條狗，每個(gè)人都不知道自己的狗是不是瘋了，但都可以觀察到別人家的狗是不是瘋狗。只要推出自己的狗是瘋的，當(dāng)天晚上就必須用槍把它殺死。有一天，村里來了一個(gè)人，宣布了至少有一條瘋狗的消息，然后前2天平安無事，第3天夜里出現(xiàn)了一陣槍響，問村子里實(shí)際上有多少瘋狗？答案是，3條。
最后還有一個(gè)戴帽子的版本。老師給5個(gè)小孩兒每個(gè)人頭上都戴了一頂黑帽子，然后告訴大家，至少有一個(gè)人頭上戴著的是黑色的帽子。接下來，老師向大家提問：“知道自己戴著黑帽子的請舉手”，連問四次沒有反應(yīng)，到了第五次則齊刷刷地舉手。有的地方把“戴著黑帽子”換成“額頭上點(diǎn)了一個(gè)墨點(diǎn)”，然后老師讓大家推測自己額頭上是否有墨點(diǎn)。這本質(zhì)上也是一樣的。
……
|
