黎曼猜想是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最重要、最期待解決的數(shù)學(xué)難題。黎曼猜想是千禧年美國克雷數(shù)學(xué)研究所在巴黎的會議上懸賞百萬美元求解7個(gè)數(shù)學(xué)難題中的一個(gè)。美國數(shù)學(xué)家蒙哥馬利曾經(jīng)表示，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來換取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。
但黎曼猜想究竟是什么問題？為什么重要？至今還未有一篇有深度的科普文章進(jìn)行介紹，只能參考一些數(shù)學(xué)專業(yè)著作或文獻(xiàn)，因此一般人也就知道“黎曼猜想”這個(gè)問題而已。本書對此做了相當(dāng)詳細(xì)的解釋，并穿插了一些歷史和故事。按知名數(shù)學(xué)家王元院士的評價(jià)：“本書關(guān)于數(shù)學(xué)的闡述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)概念是清晰的。文字流暢，并間夾了一些流傳的故事以增加趣味性與可讀性。從這幾方面來看，都是一本很好的雅俗共賞的數(shù)學(xué)科普圖書。”此書寫作的緣起是在2003年，作者在書店偶然看到關(guān)于“黎曼猜想”的小文章，于是萌生了要寫這個(gè)方向的專業(yè)科普。由于不是約稿文章，所以一方面可以自由寫作，一方面又時(shí)間上不受限，寫寫停停，寫了八年之久。
到2010年，作者受邀擔(dān)任《數(shù)學(xué)文化》雜志的特約撰稿人，并在該雜志連載《黎曼猜想漫談》。在約稿壓力下，終于在2012年1月完成全書。在雜志連載之后，此書受到了海內(nèi)外一些知名數(shù)學(xué)家的贊許，王元院士在百忙之中還寫了個(gè)很長的讀后感。《南方周末》也在2012年3月以《十萬億個(gè)證據(jù)不如一個(gè)證明——猜猜黎曼猜想的命運(yùn)》為題刊登了本書的一個(gè)梗概版�？茖W(xué)松鼠會網(wǎng)站也進(jìn)行了連載，反響很熱烈。除此，本書內(nèi)容也被其他許多知名網(wǎng)站轉(zhuǎn)載或鏈接過。
作者簡介：
盧昌海，出生于杭州，本科就讀于復(fù)旦物理系。畢業(yè)后赴美留學(xué)，于2000年獲得哥倫比亞大學(xué)物理學(xué)博士學(xué)位，目前旅居紐約。著有《尋找太陽系的疆界》《太陽的故事》。并在《中國青年報(bào)》《科幻世界》《現(xiàn)代物理知識》《中學(xué)生天地》《科學(xué)畫報(bào)》等報(bào)紙、雜志上發(fā)表幾十篇科普及高端科普作品。
目錄：
《黎曼猜想漫談》讀后感（代序）
一、哈代的明信片
二、黎曼ζ函數(shù)與黎曼猜想
三、素?cái)?shù)的分布
四、黎曼的論文--基本思路
五、黎曼的論文--零點(diǎn)分布與素?cái)?shù)分布
六、錯(cuò)釣的大魚
七、從零點(diǎn)分布到素?cái)?shù)定理
八、零點(diǎn)在哪里
九、黎曼的手稿
十、探求天書
十一、黎曼-西格爾公式
十二、休閑課題：圍捕零點(diǎn)
十三、從紙筆到機(jī)器
十四、最昂貴的葡萄酒《黎曼猜想漫談》讀后感（代序）
一、哈代的明信片
二、黎曼ζ函數(shù)與黎曼猜想
三、素?cái)?shù)的分布
四、黎曼的論文--基本思路
五、黎曼的論文--零點(diǎn)分布與素?cái)?shù)分布
六、錯(cuò)釣的大魚
七、從零點(diǎn)分布到素?cái)?shù)定理
八、零點(diǎn)在哪里
九、黎曼的手稿
十、探求天書
十一、黎曼-西格爾公式
十二、休閑課題：圍捕零點(diǎn)
十三、從紙筆到機(jī)器
十四、最昂貴的葡萄酒
十五、更高、更快、更強(qiáng)
十六、零點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)
十七、茶室邂逅
十八、隨機(jī)矩陣?yán)碚?br/> 十九、蒙哥馬利-歐德里茲科定律
二十、希爾伯特-波利亞猜想
二十一、黎曼體系何處覓
二十二、玻爾-蘭道定理
二十三、哈代定理
二十四、哈代-李特爾伍德定理
二十五、數(shù)學(xué)世界的獨(dú)行俠
二十六、臨界線定理
二十七、萊文森方法
二十八、艱難推進(jìn)
二十九、哪里沒有零點(diǎn)
三十、監(jiān)獄來信
三十一、與死神賽跑的數(shù)學(xué)家
三十二、從模算術(shù)到有限域
三十三、"山寨版"黎曼猜想
三十四、"豪華版"黎曼猜想
三十五、未竟的探索
附錄A歐拉乘積公式
附錄B超越ZetaGrid
附錄C黎曼猜想大事記
參考文獻(xiàn)
后記真的非常喜歡這個(gè)系列，感覺確實(shí)好看。記得2010年春節(jié)我一口氣把此系列當(dāng)時(shí)有的都看完，絕對是那個(gè)春節(jié)最美好的回憶！
——sfman
極好的數(shù)學(xué)科普文章！熱烈鼓掌！
——來自134.94的游客
黎曼猜想漫談系列是昌海兄最值得出版的系列文章之一。
——星空浩淼
這一系列的文章實(shí)在精彩，看得非常過癮真的非常喜歡這個(gè)系列，感覺確實(shí)好看。記得2010年春節(jié)我一口氣把此系列當(dāng)時(shí)有的都看完，絕對是那個(gè)春節(jié)最美好的回憶！
——sfman
極好的數(shù)學(xué)科普文章！熱烈鼓掌！
——來自134.94的游客
黎曼猜想漫談系列是昌海兄最值得出版的系列文章之一。
——星空浩淼
這一系列的文章實(shí)在精彩，看得非常過癮
——來自140.109的游客
很喜歡昌海兄的寫作態(tài)度和行文風(fēng)格，有量更有質(zhì)。看這個(gè)黎曼猜想的系列也很久了，真是對數(shù)學(xué)中的東西開了眼界，呵呵。
——woodswan
這一系列真的寫的很不錯(cuò)。出版了一定要收藏一本。
——胡一指
向盧老師致以最誠摯的謝意——黎曼猜想漫談是我數(shù)學(xué)博士期間讀過的最難忘的數(shù)學(xué)書。
——來自218.75的游客
一個(gè)字：好！
兩個(gè)字：很好！
三個(gè)字：非常好！
——dfj
很精彩，讀者可以了解歷史上科學(xué)家們的不懈探索和驚人才智。感謝作者源源不斷地提供通俗易懂的高質(zhì)量科普。
——來自216.165的游客
作為一名在校計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生，很少能這么專心的讀下去。感謝博主的文章，把數(shù)學(xué)的美麗展現(xiàn)給我這樣的平常人。謝謝！
——來自61.135的游客
不知該鼓掌還是該流淚，只覺得就這么結(jié)束了……悵然若失�。�
——往事如昨一、哈代的明信片
讓我們從一則小故事開始我們的黎曼猜想（Riemannhypothesis）漫談吧。這則故事來自與哈代相識的匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（GeorgePólya，1887—1985）。故事大約發(fā)生在20世紀(jì)30年代，當(dāng)時(shí)英國有位很著名的數(shù)學(xué)家叫做哈代（GodfreyHardy,1877—1947），他不僅著名，而且在我看來還是兩百年來英國數(shù)學(xué)界的一位勇者。為什么這么說呢？因?yàn)樵?7世紀(jì)的時(shí)候，英國數(shù)學(xué)家與歐洲大陸的數(shù)學(xué)家之間發(fā)生了一場激烈的論戰(zhàn)。論戰(zhàn)的主題是誰先發(fā)明了微積分。論戰(zhàn)所涉及的核心人物一邊是英國的科學(xué)泰斗牛頓（IsaacNewton,1642—1727），另一邊則是歐洲大陸（德國）的哲學(xué)及數(shù)學(xué)家萊布尼茨（GottfriedLeibniz,1646—1716）。這場論戰(zhàn)打下來，兩邊筋疲力盡自不待言，還大傷了和氣，留下了曠日持久的后遺癥。自那以后，許多英國數(shù)學(xué)家開始排斥起來自歐洲大陸的數(shù)學(xué)進(jìn)展。一場爭論演變到這樣的一個(gè)地步，英國數(shù)學(xué)界的集體榮譽(yù)及尊嚴(yán)、牛頓的赫赫威名便都成了負(fù)資產(chǎn)，英國的數(shù)學(xué)在保守的舞步中走起了下坡路。
這下坡路一走便是兩百年。
在這樣的一個(gè)背景下，在復(fù)數(shù)理論還被一些英國數(shù)學(xué)家視為來自歐洲大陸的危險(xiǎn)概念的時(shí)候，土生土長的英國數(shù)學(xué)家哈代卻對來自歐洲大陸（而且偏偏還是德國）、有著復(fù)變函數(shù)色彩的數(shù)學(xué)猜想——黎曼猜想——產(chǎn)生了濃厚興趣，積極地研究它，并且——如我們將在后文中介紹的——取得了令歐洲大陸數(shù)學(xué)界為之震動的成就，算得上是勇者所為。
當(dāng)時(shí)哈代在丹麥有一位很要好的數(shù)學(xué)家朋友叫做玻爾（HaraldBohr，1887—1951），他是著名量子物理學(xué)家玻爾（NielsBohr，1885—1962）的弟弟。玻爾對黎曼猜想也有濃厚的興趣，曾與德國數(shù)學(xué)家蘭道（EdmundLandau，1877—1938）一起研究黎曼猜想（他們的研究成果也將在后文中加以介紹）。哈代很喜歡與玻爾共度暑假，一起討論黎曼猜想。他們對討論都很投入，哈代常常要待到假期將盡才匆匆趕回英國。結(jié)果有一次當(dāng)他趕到碼頭時(shí)，很不幸地發(fā)現(xiàn)只剩下一條小船可以乘坐了。從丹麥到英國要跨越寬達(dá)幾百公里的北海（NorthSea），在那樣的汪洋大海中乘坐小船可不是鬧著玩的事情，弄得好算是浪漫刺激，弄不好就得葬身魚腹。為了旅途的平安，信奉上帝的乘客們大都忙著祈求上帝的保佑。哈代卻是一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人，不僅不信，有一年他還把向大眾證明上帝不存在列入自己的年度六大心愿之中，且排名第三（排名第一的是證明黎曼猜想）。不過在面臨生死攸關(guān)的旅程之時(shí)哈代也沒閑著，他給玻爾發(fā)去了一張簡短的明信片，上面只有一句話:
“我已經(jīng)證明了黎曼猜想�！�
哈代果真已經(jīng)證明了黎曼猜想嗎？當(dāng)然不是。那他為什么要發(fā)那樣一張明信片呢？回到英國后他向玻爾解釋了原因，他說如果那次他乘坐的小船真的沉沒了，那人們就只好相信他真的證明了黎曼猜想。但他知道上帝是肯定不會把這么巨大的榮譽(yù)送給他——一個(gè)堅(jiān)決不信上帝的人——的，因此上帝是一定不會讓他的小船沉沒的。哈代的這個(gè)解釋讓我想起了一句有趣的無神論者的祈禱語:上帝啊，如果你存在的話，拯救我的靈魂吧，如果我有靈魂的話（God,ifthereisone,savemysoulifIhaveone）。
上帝果然沒舍得讓哈代的小船沉沒。自那以后又過了大半個(gè)世紀(jì)，吝嗇的上帝依然沒有物色到一個(gè)可以承受這么大榮譽(yù)的人。
六、錯(cuò)釣的大魚
在黎曼的論文發(fā)表之后的最初二三十年時(shí)間里，他所開辟的這一領(lǐng)域顯得十分冷清，沒有出現(xiàn)任何重大進(jìn)展。如果把黎曼論文的全部內(nèi)涵比作山峰的話，那么在最初這二三十年時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們還只在從山腳往半山腰攀登的路上，只顧著星夜兼程、埋頭趕路。那高聳入云的山巔還籠罩在一片濃濃的霧靄之中，正所謂高處不勝寒。但到了1885年，在這場沉悶的登山之旅中卻爆出了一段驚人的插曲:有人忽然聲稱自己已經(jīng)登頂歸來！
這個(gè)人叫做斯蒂爾切斯（ThomasStieltjes，1856—1894），是一位荷蘭數(shù)學(xué)家。1885年，這位當(dāng)時(shí)年方29歲的年輕數(shù)學(xué)家在巴黎科學(xué)院發(fā)表了一份簡報(bào)，聲稱自己證明了以下結(jié)果:
M(N)≡∑n
這里的μ(n)是我們在第4章末尾提到過的默比烏斯函數(shù)，由它的求和所給出的函數(shù)M(N)被稱為梅爾滕斯函數(shù)（Mertensfunction）。這個(gè)命題看上去倒是“面善”得很:默比烏斯函數(shù)μ(n)不過是一個(gè)整數(shù)函數(shù)，其定義雖有些瑣碎，卻也并不復(fù)雜，而梅爾滕斯函數(shù)M(N)不過是對μ(n)的求和，證明它按照O(N1/2)增長似乎不像是一件太困難的事情。但這個(gè)其貌不揚(yáng)的命題事實(shí)上卻是一個(gè)比黎曼猜想更強(qiáng)的結(jié)果！換句話說，證明了上述命題就等于證明了黎曼猜想（但反過來則不然，否證了上述命題并不等于否證了黎曼猜想）。因此斯蒂爾切斯的簡報(bào)意味著聲稱自己證明了黎曼猜想。
雖然當(dāng)時(shí)黎曼猜想還遠(yuǎn)沒有像今天這么熱門，消息傳得也遠(yuǎn)沒有像今天這么飛快，但有人證明了黎曼猜想仍是一個(gè)非同小可的消息。別的不說，證明了黎曼猜想就意味著證明了素?cái)?shù)定理，而后者自高斯等人提出以來折磨數(shù)學(xué)家們已近一個(gè)世紀(jì)之久，卻仍未得到證明。與在巴黎科學(xué)院發(fā)表簡報(bào)幾乎同時(shí)，斯蒂爾切斯給當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)界的一位重量級人物埃爾米特（CharlesHermite，1822—1901）發(fā)去了一封信件，重復(fù)了這一聲明。但無論在簡報(bào)還是在信件中斯蒂爾切斯都沒有給出證明，他說自己的證明太復(fù)雜，需要簡化。
換作是在今天，一位年輕數(shù)學(xué)家開出這樣一張空頭支票，是很難引起數(shù)學(xué)界的任何反響的。但是19世紀(jì)的情況有所不同，因?yàn)楫?dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界常有科學(xué)家做出成果卻不公布（或只公布一個(gè)結(jié)果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂爾切斯那樣聲稱自己證明了黎曼猜想，卻不給出具體證明，在當(dāng)時(shí)并不算離奇。學(xué)術(shù)界對之的反應(yīng)多少有點(diǎn)像現(xiàn)代西方法庭所奉行的無罪推定原則，即在出現(xiàn)相反證據(jù)之前傾向于相信聲明成立。
但相信歸相信，數(shù)學(xué)當(dāng)然是離不開證明的，而一個(gè)證明要想得到最終的承認(rèn)，就必須公布細(xì)節(jié)、接受檢驗(yàn)。因此大家就期待著斯蒂爾切斯發(fā)表具體的證明，其中期待得最誠心實(shí)意的當(dāng)屬接到斯蒂爾切斯來信的埃爾米特。埃爾米特自1882年起就與斯蒂爾切斯保持著通信關(guān)系，直至12年后斯蒂爾切斯過早地去世為止。在這期間兩人共交換過432封信件。埃爾米特是當(dāng)時(shí)復(fù)變函數(shù)論的大家之一，他與斯蒂爾切斯的關(guān)系堪稱數(shù)學(xué)史上一個(gè)比較奇特的現(xiàn)象。斯蒂爾切斯剛與埃爾米特通信時(shí)還只是萊頓天文臺（LeidenObservatory）的一名助理，而且就連這個(gè)助理的職位還是靠了他父親（斯蒂爾切斯的父親是荷蘭著名的工程師兼國會成員）的關(guān)照才獲得的。在此之前他在大學(xué)里曾三度考試失敗。好不容易“拉關(guān)系、走后門”進(jìn)了天文臺，斯蒂爾切斯卻“身在曹營心在漢”，手上干著天文觀測的活，心里惦記的卻是數(shù)學(xué)，并且給埃爾米特寫了信。照說當(dāng)時(shí)一無學(xué)位、二無名聲的斯蒂爾切斯要引起像埃爾米特那樣的數(shù)學(xué)元老的重視是不容易，甚至不太可能的。但埃爾米特是一位虔誠的天主教徒，他恰巧對數(shù)學(xué)懷有一種奇特的信仰，他相信數(shù)學(xué)存在是一種超自然的東西，尋常的數(shù)學(xué)家只是偶爾才有機(jī)會了解數(shù)學(xué)的奧秘。那么，什么樣的人能比“尋常的數(shù)學(xué)家”更有機(jī)會了解數(shù)學(xué)的奧秘呢？埃爾米特憑著自己的神秘主義眼光找到了一位，那就是默默無聞的觀星之人斯蒂爾切斯。埃爾米特認(rèn)為斯蒂爾切斯具有上帝所賜予的窺視數(shù)學(xué)奧秘的眼光，他對之充滿了信任。在他與斯蒂爾切斯的通信中甚至出現(xiàn)過“你總是對的，我總是錯(cuò)的”那樣極端的贊許。在這種奇特信仰與19世紀(jì)數(shù)學(xué)氛圍的共同影響下，埃爾米特對斯蒂爾切斯的聲明深信不疑。
但無論埃爾米特如何催促，斯蒂爾切斯始終沒有公布他的完整證明。一轉(zhuǎn)眼5年過去了，埃爾米特對斯蒂爾切斯依然“癡心不改”，他決定向?qū)Ψ健罢T之以利”。在埃爾米特的提議下，法國科學(xué)院將1890年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)的主題設(shè)為“確定小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”。這個(gè)主題讀者們想必有似曾相識的感覺，是的，它跟我們前面剛剛介紹過的黎曼那篇論文的題目十分相似。事實(shí)上，該次大獎(jiǎng)的目的就是征集對黎曼那篇論文中提及過卻未予證明的某些命題的證明（這一點(diǎn)明確寫入了征稿要求之中）。至于那命題本身，則既可以是黎曼猜想，也可以是其他命題，只要其證明有助于“確定小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”即可。在如此靈活的要求下，不僅證明黎曼猜想可以獲獎(jiǎng)，就是證明比黎曼猜想弱得多的結(jié)果——比如素?cái)?shù)定理——也可以獲獎(jiǎng)。在埃爾米特看來，這個(gè)數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)將毫無懸念地落到斯蒂爾切斯的腰包里，因?yàn)榧幢闼沟贍柷兴箤杪孪氲淖C明仍然“太復(fù)雜，需要簡化”，他依然能通過發(fā)表部分結(jié)果或較弱的結(jié)果而領(lǐng)取大獎(jiǎng)。
可惜直至大獎(jiǎng)截止日期終了，斯蒂爾切斯依然毫無動靜。
但埃爾米特也并未完全失望，因?yàn)樗膶W(xué)生阿達(dá)馬提交了一篇論文，領(lǐng)走了大獎(jiǎng)——肥水總算沒有流入外人田。阿達(dá)馬獲獎(jiǎng)?wù)撐牡闹饕獌?nèi)容正是我們在第5章中提到過的對黎曼論文中輔助函數(shù)ξ(s)的連乘積表達(dá)式的證明。這一證明雖然不僅不能證明黎曼猜想，甚至離素?cái)?shù)定理的證明也還有一段距離，卻仍是一個(gè)足可獲得大獎(jiǎng)的進(jìn)展。幾年之后，阿達(dá)馬再接再厲，終于一舉證明了素?cái)?shù)定理。埃爾米特放出去的這根長線雖未能如愿釣到斯蒂爾切斯和黎曼猜想，卻錯(cuò)釣上了阿達(dá)馬和素?cái)?shù)定理，斬獲亦是頗為豐厚（素?cái)?shù)定理的證明在當(dāng)時(shí)其實(shí)比黎曼猜想的證明更令數(shù)學(xué)界期待）。
那么斯蒂爾切斯呢？沒聽過這個(gè)名字的讀者可能會覺得他是一個(gè)浮夸無為的家伙，事實(shí)卻不然。斯蒂爾切斯在分析與數(shù)論的許多方面都做出過重要貢獻(xiàn)。他在連分?jǐn)?shù)方面的研究為他贏得了“連分?jǐn)?shù)分析之父”的美譽(yù)；掛著他名字的黎曼·斯蒂爾切斯積分（Riemann·Stieltjesintegral）更是將他與黎曼的大名聯(lián)系在了一起（不過兩人之間并無實(shí)際聯(lián)系——黎曼去世時(shí)斯蒂爾切斯才10歲）。但他那份哈代明信片式的有關(guān)黎曼猜想的聲明卻終究沒能為他贏得永久的懸念。現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為斯蒂爾切斯所宣稱的關(guān)于M(N)=O(N1/2)的證明即便有也是錯(cuò)誤的。不僅如此，就連命題M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越來越多的懷疑。這是因?yàn)楸萂（N）=O（N1/2）稍強(qiáng)、被稱為梅爾滕斯猜想（Mertensconjecture）的命題：M（N）
三十、監(jiān)獄來信
在前面各章中，我們介紹了數(shù)學(xué)家們在證明黎曼猜想的漫長征途上所做過的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數(shù)值計(jì)算，它們雖然永遠(yuǎn)也不可能證明黎曼猜想，卻有可能通過發(fā)現(xiàn)反例而否證黎曼猜想——當(dāng)然，迄今為止并未有人發(fā)現(xiàn)反例；有些則是解析研究，它們具有證明黎曼猜想的潛力，但迄今為止距離目標(biāo)還很遙遠(yuǎn)。如果小結(jié)一下的話，那么這兩類嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因?yàn)樗鼈兊哪繕?biāo)都是黎曼猜想本身。
既然這兩類直接手段都遇到了困難，那我們不妨來問這樣一個(gè)問題:除這些直接手段外，還有沒有別的手段可以幫我們研究黎曼猜想，或至少帶給我們一些啟示呢？
答案是肯定的。
事實(shí)上，黎曼猜想雖然是一個(gè)極為艱深的難題，但這種長時(shí)間無法解決的難題在科學(xué)上是并不鮮見的�？茖W(xué)家們對付這種難題的大思路其實(shí)很簡單，那就是直接手段行不通時(shí)，就采用間接手段。當(dāng)然，大思路雖然簡單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來說，常用的間接手段有兩類:第一類是研究與原問題相等價(jià)的問題——那樣的問題一旦被解決，原問題自然也就解決了；除了研究等價(jià)問題外，人們有時(shí)還會研究比原問題更普遍的問題。有讀者可能會問：那樣的問題難道不應(yīng)該與原問題同樣困難、甚至更困難嗎？是的，一般來說，與一個(gè)難題相等價(jià)或更普遍的問題本身也不太可能是省油的燈。但是，解決難題往往需要靈感，而不同的問題（哪怕是等價(jià)的問題）所能激發(fā)的靈感是不同的，因此研究那樣的問題有時(shí)能起到意想不到的作用。第二類則是研究與原問題相類似、但卻更簡單的問題——這類手段雖不能解決原問題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問題實(shí)在太艱深時(shí)，這類手段往往比其他手段更具可行性。
就目前我們對黎曼猜想的了解而言，它看來是屬于那種“原問題實(shí)在太艱深”的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二類間接手段。這類手段在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。比如物理學(xué)家們遇到很困難的三維空間中的問題時(shí)，往往轉(zhuǎn)而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問題相類似的問題。又比如生物學(xué)家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時(shí)，往往轉(zhuǎn)而用動物作為研究對象。最近比較熱門的用凝聚態(tài)體系模擬基礎(chǔ)問題的做法，也是第二類間接手段的例子。這方面的一個(gè)例子，是利用石墨烯（graphene）中的電子運(yùn)動與相對論量子力學(xué)中無質(zhì)量粒子運(yùn)動的類似性，來研究后者。此外，2009年受到過一些媒體關(guān)注的用特定流體中的聲子運(yùn)動來模擬黑洞附近的光子行為的所謂“聲學(xué)黑洞”（sonicblackhole）研究也是一個(gè)例子。這類手段通俗地講，其實(shí)就是研究“山寨版”的問題。只不過與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的“山寨版”產(chǎn)品被四處喊打不同，科學(xué)領(lǐng)域中的“山寨版”問題不僅不違規(guī)，對它們的研究還廣受鼓勵(lì)。有時(shí)候，在“山寨版”問題上的突破，甚至能成為重大的科學(xué)成就，并獲得重大的科學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)。黎曼猜想就是一個(gè)很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“雞犬升天”，變成了非同小可的問題，研究或解決它的數(shù)學(xué)家甚至可以獲得數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)，堪稱是史上最牛的“山寨版”。需要補(bǔ)充說明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不僅僅來自“正版”黎曼猜想的艱深與重要，它本身以及它與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)也有著不容忽視的重要性。
為了介紹這種史上最牛的“山寨版”，讓我們把時(shí)光暫時(shí)拉回到1940年。
1940年4月，著名的法國幾何學(xué)家埃里·嘉當(dāng)（·lieCartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國海濱城市魯昂（Rouen）的一座軍事監(jiān)獄。
一位著名數(shù)學(xué)家居然收到一封來自監(jiān)獄的信件，那會是什么樣的信件呢？照常理來說，最大的可能性是某位民間“科學(xué)家”（簡稱民科）的杰作，對于法國數(shù)學(xué)家，情況尤其如此。因?yàn)樵谶@方面，法國科學(xué)院（FrenchAcademyofSciences）可謂是開了風(fēng)氣之先——自從一個(gè)多世紀(jì)前它為費(fèi)馬大定理懸賞以來，民科信件便如雪片般地飛向了法國數(shù)學(xué)家的手里。那熱情，就連一百多年的時(shí)光也不足以使之熄滅。自那以后，知名法國數(shù)學(xué)家收到民科來信就不再是新鮮事了。不過嘉當(dāng)收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間”，筆跡卻頗為熟悉，因?yàn)槟枪P跡屬于一位真正的數(shù)學(xué)家。那數(shù)學(xué)家不僅嘉當(dāng)認(rèn)識，更是他那數(shù)學(xué)家兒子昂利·嘉當(dāng)（HenriCartan，1904—2008）的好朋友。那位數(shù)學(xué)家叫做韋伊（AndréWeil，1906—1998），他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在嘉當(dāng)手里的這封監(jiān)獄來信來揭開序幕，但當(dāng)時(shí)的他就已在代數(shù)、分析、數(shù)論等諸多領(lǐng)域中享有了一定的聲譽(yù)。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數(shù)學(xué)家（其中包括昂利·嘉當(dāng)）一同，創(chuàng)立了一個(gè)后來大名鼎鼎的數(shù)學(xué)學(xué)派——布爾巴基學(xué)派。
嘉當(dāng)對筆跡的細(xì)心留意使那封監(jiān)獄來信免遭了被棄之垃圾桶的命運(yùn)，也為我們的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。
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