史上zui富有創(chuàng)造性的數(shù)學家——黎曼。 他奉行恩師高斯的座右銘，寧肯少些，但要成熟。 黎曼生前只發(fā)表10篇論文，卻是很多領域的開拓者。 他提出的黎曼猜想是數(shù)學史上的不朽謎語，被公認為是zui偉大的數(shù)學猜想。作者以非常明晰的數(shù)學闡釋文字與優(yōu)雅、生動、有趣的傳記和歷史篇章交替出現(xiàn)，對一個史詩般的數(shù)學之謎作了迷人而流暢的敘述，而這個謎還將繼續(xù)挑戰(zhàn)和刺激著世人。大師留給我們的豈止是一些公式、原理？還有他們對未知世界的探索精神，這都將激發(fā)人們對理想和美的追求。 數(shù)學家王元院士的評價：“本書關于數(shù)學的闡述是嚴謹?shù)�，�?shù)學概念是清晰的。文字流暢，并間夾了一些流傳的故事以增加趣味性與可讀性。從這幾方面來看，都是一本很好的雅俗共賞的數(shù)學科普圖書。” 《黎曼猜想漫談：一場攀登數(shù)學高峰的天才盛宴》由原點閱讀出品。原點閱讀（TheOrigin）（微信號：ydreadtup），清華大學出版社旗下的圖書品牌，秉承“科學，讓個人更智慧，讓社會更理性”的理念，致力于科學普及和科技文化類圖書的出版，傳播科學知識、科學精神、科學方法，展現(xiàn)科學的真實、獨立、智慧、多變、寬容、動人及迷人。
本書簡介：
《黎曼猜想漫談：一場攀登數(shù)學高峰的天才盛宴》用科普的語言、用抽絲剝繭的方式講述了黎曼猜想提出后一百多年里的方方面面。這使得對數(shù)學知識知之不多的讀者了解黎曼猜想也成為可能。作者講述了曾經從事過黎曼猜想的著名數(shù)學家的生平趣事和在黎曼猜想研究方面所做的貢獻，介紹了100多年里相關數(shù)學理論和工具的發(fā)展情況。人們常常將好的數(shù)學問題比喻成會下蛋的母雞，以此形容好的數(shù)學問題在數(shù)學發(fā)展過程中的推動作用。從這樣的數(shù)學問題研究過程中，我們可以管窺數(shù)學發(fā)展的概貌。因此，閱讀本書能夠幫助我們了解與黎曼猜想有關的數(shù)學進展。而且，本書的文筆力求通俗有趣，比如：“山寨版”黎曼猜想、“豪華版”黎曼猜想等等。相信對數(shù)學文化、數(shù)學科普感興趣的讀者一定會有所收獲。并且這本書對于數(shù)學專業(yè)人士也不失為一本有趣而有用的讀物。
作者簡介：
盧昌海，出生于杭州，本科就讀于復旦大學物理系，畢業(yè)后赴美留學，于2000年獲美國哥倫比亞大學物理學博士學位，目前旅居紐約。著有《那顆星星不在星圖上：尋找太陽系的疆界》、《上下百億年：太陽的故事》、《黎曼猜想漫談》（獲第七屆吳大猷科學普及著作原創(chuàng)類金簽獎）、《從奇點到蟲洞：廣義相對論專題選講》、《小樓與大師：科學殿堂的人和事》（入選“2014中國好書”）、《因為星星在那里：科學殿堂的磚與瓦》、《霍金的派對：從科學天地到數(shù)碼時代》等，并曾在《南方周末》、《科學畫報》、《現(xiàn)代物理知識》、《數(shù)學文化》（任特約撰稿人）等報紙、雜志上發(fā)表一百多篇科普及專業(yè)科普作品。個人網(wǎng)站：http://www.changhai.org/新浪微博：http://www.weibo.com/ChanghaiNews
目錄：
《黎曼猜想漫談》讀后感（代序）
一、哈代的明信片
二、黎曼ζ函數(shù)與黎曼猜想
三、素數(shù)的分布
四、黎曼的論文--基本思路
五、黎曼的論文--零點分布與素數(shù)分布
六、錯釣的大魚
七、從零點分布到素數(shù)定理
八、零點在哪里
九、黎曼的手稿
十、探求天書
十一、黎曼-西格爾公式
十二、休閑課題：圍捕零點
十三、從紙筆到機器
十四、最昂貴的葡萄酒《黎曼猜想漫談》讀后感（代序） 一、哈代的明信片 二、黎曼ζ函數(shù)與黎曼猜想 三、素數(shù)的分布 四、黎曼的論文--基本思路 五、黎曼的論文--零點分布與素數(shù)分布 六、錯釣的大魚 七、從零點分布到素數(shù)定理 八、零點在哪里 九、黎曼的手稿 十、探求天書 十一、黎曼-西格爾公式 十二、休閑課題：圍捕零點 十三、從紙筆到機器 十四、最昂貴的葡萄酒 十五、更高、更快、更強 十六、零點的統(tǒng)計關聯(lián) 十七、茶室邂逅 十八、隨機矩陣理論 十九、蒙哥馬利-歐德里茲科定律 二十、希爾伯特-波利亞猜想 二十一、黎曼體系何處覓 二十二、玻爾-蘭道定理 二十三、哈代定理 二十四、哈代-李特爾伍德定理 二十五、數(shù)學世界的獨行俠 二十六、臨界線定理 二十七、萊文森方法 二十八、艱難推進 二十九、哪里沒有零點 三十、監(jiān)獄來信 三十一、與死神賽跑的數(shù)學家 三十二、從模算術到有限域 三十三、"山寨版"黎曼猜想 三十四、"豪華版"黎曼猜想 三十五、未竟的探索 附錄A歐拉乘積公式 附錄B超越ZetaGrid附錄C黎曼猜想大事記人名索引術語索引參考文獻 后記沉下心讀此書，閱讀體驗美不勝收，不知不覺中就讀完了，有讀武俠的快感，一拿起就難以放下。終于搞懂了長期以來想了解的黎曼零點的意義，有這樣深度的科普著作真是難得！
——微博讀者阿蒙
如果你看不懂里面的數(shù)學描述，其他部分的內容也足夠抓住你的心，你能看到百年間全世界的精英數(shù)學家一步步逼近黎曼猜想最后的證明。
——豆瓣讀者勤快卓克
很喜歡昌海兄的寫作態(tài)度和行文風格，有量更有質�？催@個黎曼猜想的系列也很久了，真是對數(shù)學中的東西開了眼界，呵呵。
——知乎讀者woodswan
沉下心讀此書，閱讀體驗美不勝收，不知不覺中就讀完了，有讀武俠的快感，一拿起就難以放下。終于搞懂了長期以來想了解的黎曼零點的意義，有這樣深度的科普著作真是難得！——微博讀者阿蒙 如果你看不懂里面的數(shù)學描述，其他部分的內容也足夠抓住你的心，你能看到百年間全世界的精英數(shù)學家一步步逼近黎曼猜想最后的證明。——豆瓣讀者勤快卓克 很喜歡昌海兄的寫作態(tài)度和行文風格，有量更有質�？催@個黎曼猜想的系列也很久了，真是對數(shù)學中的東西開了眼界，呵呵。——知乎讀者woodswan 很精彩，讀者可以了解歷史上科學家們的不懈探索和驚人才智。感謝作者源源不斷地提供通俗易懂的高質量科普。——果殼網(wǎng)讀者letter 一個中國物理學家寫的，有些東西我也是頭一回知道，對于一個科普類書，即使專業(yè)人士看了也不虛此行。——亞馬遜讀者yangpeng六、錯釣的大魚在黎曼的論文發(fā)表之后的最初二三十年時間里，他所開辟的這一領域顯得十分冷清，沒有出現(xiàn)任何重大進展。如果把黎曼論文的全部內涵比作山峰的話，那么在最初這二三十年時間里，數(shù)學家們還只在從山腳往半山腰攀登的路上，只顧著星夜兼程、埋頭趕路。那高聳入云的山巔還籠罩在一片濃濃的霧靄之中，正所謂高處不勝寒。但到了1885年，在這場沉悶的登山之旅中卻爆出了一段驚人的插曲:有人忽然聲稱自己已經登頂歸來！這個人叫做斯蒂爾切斯（ThomasStieltjes，1856—1894），是一位荷蘭數(shù)學家。1885年，這位當時年方29歲的年輕數(shù)學家在巴黎科學院發(fā)表了一份簡報，聲稱自己證明了以下結果:M(N)≡∑n這里的μ(n)是我們在第4章末尾提到過的默比烏斯函數(shù)，由它的求和所給出的函數(shù)M(N)被稱為梅爾滕斯函數(shù)（Mertensfunction）。這個命題看上去倒是“面善”得很:默比烏斯函數(shù)μ(n)不過是一個整數(shù)函數(shù)，其定義雖有些瑣碎，卻也并不復雜，而梅爾滕斯函數(shù)M(N)不過是對μ(n)的求和，證明它按照O(N1/2)增長似乎不像是一件太困難的事情。但這個其貌不揚的命題事實上卻是一個比黎曼猜想更強的結果！換句話說，證明了上述命題就等于證明了黎曼猜想（但反過來則不然，否證了上述命題并不等于否證了黎曼猜想）。因此斯蒂爾切斯的簡報意味著聲稱自己證明了黎曼猜想。雖然當時黎曼猜想還遠沒有像今天這么熱門，消息傳得也遠沒有像今天這么飛快，但有人證明了黎曼猜想仍是一個非同小可的消息。別的不說，證明了黎曼猜想就意味著證明了素數(shù)定理，而后者自高斯等人提出以來折磨數(shù)學家們已近一個世紀之久，卻仍未得到證明。與在巴黎科學院發(fā)表簡報幾乎同時，斯蒂爾切斯給當時法國數(shù)學界的一位重量級人物埃爾米特（CharlesHermite，1822—1901）發(fā)去了一封信件，重復了這一聲明。但無論在簡報還是在信件中斯蒂爾切斯都沒有給出證明，他說自己的證明太復雜，需要簡化。換作是在今天，一位年輕數(shù)學家開出這樣一張空頭支票，是很難引起數(shù)學界的任何反響的。但是19世紀的情況有所不同，因為當時學術界常有科學家做出成果卻不公布（或只公布一個結果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂爾切斯那樣聲稱自己證明了黎曼猜想，卻不給出具體證明，在當時并不算離奇。學術界對之的反應多少有點像現(xiàn)代西方法庭所奉行的無罪推定原則，即在出現(xiàn)相反證據(jù)之前傾向于相信聲明成立。但相信歸相信，數(shù)學當然是離不開證明的，而一個證明要想得到最終的承認，就必須公布細節(jié)、接受檢驗。因此大家就期待著斯蒂爾切斯發(fā)表具體的證明，其中期待得最誠心實意的當屬接到斯蒂爾切斯來信的埃爾米特。埃爾米特自1882年起就與斯蒂爾切斯保持著通信關系，直至12年后斯蒂爾切斯過早地去世為止。在這期間兩人共交換過432封信件。埃爾米特是當時復變函數(shù)論的大家之一，他與斯蒂爾切斯的關系堪稱數(shù)學史上一個比較奇特的現(xiàn)象。斯蒂爾切斯剛與埃爾米特通信時還只是萊頓天文臺（LeidenObservatory）的一名助理，而且就連這個助理的職位還是靠了他父親（斯蒂爾切斯的父親是荷蘭著名的工程師兼國會成員）的關照才獲得的。在此之前他在大學里曾三度考試失敗。好不容易“拉關系、走后門”進了天文臺，斯蒂爾切斯卻“身在曹營心在漢”，手上干著天文觀測的活，心里惦記的卻是數(shù)學，并且給埃爾米特寫了信。照說當時一無學位、二無名聲的斯蒂爾切斯要引起像埃爾米特那樣的數(shù)學元老的重視是不容易，甚至不太可能的。但埃爾米特是一位虔誠的天主教徒，他恰巧對數(shù)學懷有一種奇特的信仰，他相信數(shù)學存在是一種超自然的東西，尋常的數(shù)學家只是偶爾才有機會了解數(shù)學的奧秘。那么，什么樣的人能比“尋常的數(shù)學家”更有機會了解數(shù)學的奧秘呢？埃爾米特憑著自己的神秘主義眼光找到了一位，那就是默默無聞的觀星之人斯蒂爾切斯。埃爾米特認為斯蒂爾切斯具有上帝所賜予的窺視數(shù)學奧秘的眼光，他對之充滿了信任。在他與斯蒂爾切斯的通信中甚至出現(xiàn)過“你總是對的，我總是錯的”那樣極端的贊許。在這種奇特信仰與19世紀數(shù)學氛圍的共同影響下，埃爾米特對斯蒂爾切斯的聲明深信不疑。但無論埃爾米特如何催促，斯蒂爾切斯始終沒有公布他的完整證明。一轉眼5年過去了，埃爾米特對斯蒂爾切斯依然“癡心不改”，他決定向對方“誘之以利”。在埃爾米特的提議下，法國科學院將1890年數(shù)學大獎的主題設為“確定小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”。這個主題讀者們想必有似曾相識的感覺，是的，它跟我們前面剛剛介紹過的黎曼那篇論文的題目十分相似。事實上，該次大獎的目的就是征集對黎曼那篇論文中提及過卻未予證明的某些命題的證明（這一點明確寫入了征稿要求之中）。至于那命題本身，則既可以是黎曼猜想，也可以是其他命題，只要其證明有助于“確定小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”即可。在如此靈活的要求下，不僅證明黎曼猜想可以獲獎，就是證明比黎曼猜想弱得多的結果——比如素數(shù)定理——也可以獲獎。在埃爾米特看來，這個數(shù)學大獎將毫無懸念地落到斯蒂爾切斯的腰包里，因為即便斯蒂爾切斯對黎曼猜想的證明仍然“太復雜，需要簡化”，他依然能通過發(fā)表部分結果或較弱的結果而領取大獎�？上е敝链螵劷刂谷掌诮K了，斯蒂爾切斯依然毫無動靜。但埃爾米特也并未完全失望，因為他的學生阿達馬提交了一篇論文，領走了大獎——肥水總算沒有流入外人田。阿達馬獲獎論文的主要內容正是我們在第5章中提到過的對黎曼論文中輔助函數(shù)ξ(s)的連乘積表達式的證明。這一證明雖然不僅不能證明黎曼猜想，甚至離素數(shù)定理的證明也還有一段距離，卻仍是一個足可獲得大獎的進展。幾年之后，阿達馬再接再厲，終于一舉證明了素數(shù)定理。埃爾米特放出去的這根長線雖未能如愿釣到斯蒂爾切斯和黎曼猜想，卻錯釣上了阿達馬和素數(shù)定理，斬獲亦是頗為豐厚（素數(shù)定理的證明在當時其實比黎曼猜想的證明更令數(shù)學界期待）。那么斯蒂爾切斯呢？沒聽過這個名字的讀者可能會覺得他是一個浮夸無為的家伙，事實卻不然。斯蒂爾切斯在分析與數(shù)論的許多方面都做出過重要貢獻。他在連分數(shù)方面的研究為他贏得了“連分數(shù)分析之父”的美譽；掛著他名字的黎曼·斯蒂爾切斯積分（Riemann·Stieltjesintegral）更是將他與黎曼的大名聯(lián)系在了一起（不過兩人之間并無實際聯(lián)系——黎曼去世時斯蒂爾切斯才10歲）。但他那份哈代明信片式的有關黎曼猜想的聲明卻終究沒能為他贏得永久的懸念�，F(xiàn)在數(shù)學家們普遍認為斯蒂爾切斯所宣稱的關于M(N)=O(N1/2)的證明即便有也是錯誤的。不僅如此，就連命題M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越來越多的懷疑。這是因為比M（N）=O（N1/2）稍強、被稱為梅爾滕斯猜想（Mertensconjecture）的命題：M（N） 三十、監(jiān)獄來信在前面各章中，我們介紹了數(shù)學家們在證明黎曼猜想的漫長征途上所做過的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數(shù)值計算，它們雖然永遠也不可能證明黎曼猜想，卻有可能通過發(fā)現(xiàn)反例而否證黎曼猜想——當然，迄今為止并未有人發(fā)現(xiàn)反例；有些則是解析研究，它們具有證明黎曼猜想的潛力，但迄今為止距離目標還很遙遠。如果小結一下的話，那么這兩類嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因為它們的目標都是黎曼猜想本身。既然這兩類直接手段都遇到了困難，那我們不妨來問這樣一個問題:除這些直接手段外，還有沒有別的手段可以幫我們研究黎曼猜想，或至少帶給我們一些啟示呢？答案是肯定的。事實上，黎曼猜想雖然是一個極為艱深的難題，但這種長時間無法解決的難題在科學上是并不鮮見的�？茖W家們對付這種難題的大思路其實很簡單，那就是直接手段行不通時，就采用間接手段。當然，大思路雖然簡單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來說，常用的間接手段有兩類:第一類是研究與原問題相等價的問題——那樣的問題一旦被解決，原問題自然也就解決了；除了研究等價問題外，人們有時還會研究比原問題更普遍的問題。有讀者可能會問：那樣的問題難道不應該與原問題同樣困難、甚至更困難嗎？是的，一般來說，與一個難題相等價或更普遍的問題本身也不太可能是省油的燈。但是，解決難題往往需要靈感，而不同的問題（哪怕是等價的問題）所能激發(fā)的靈感是不同的，因此研究那樣的問題有時能起到意想不到的作用。第二類則是研究與原問題相類似、但卻更簡單的問題——這類手段雖不能解決原問題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問題實在太艱深時，這類手段往往比其他手段更具可行性。就目前我們對黎曼猜想的了解而言，它看來是屬于那種“原問題實在太艱深”的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二類間接手段。這類手段在科學研究中有著廣泛的應用。比如物理學家們遇到很困難的三維空間中的問題時，往往轉而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問題相類似的問題。又比如生物學家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時，往往轉而用動物作為研究對象。最近比較熱門的用凝聚態(tài)體系模擬基礎問題的做法，也是第二類間接手段的例子。這方面的一個例子，是利用石墨烯（graphene）中的電子運動與相對論量子力學中無質量粒子運動的類似性，來研究后者。此外，2009年受到過一些媒體關注的用特定流體中的聲子運動來模擬黑洞附近的光子行為的所謂“聲學黑洞”（sonicblackhole）研究也是一個例子。這類手段通俗地講，其實就是研究“山寨版”的問題。只不過與經濟領域中的“山寨版”產品被四處喊打不同，科學領域中的“山寨版”問題不僅不違規(guī)，對它們的研究還廣受鼓勵。有時候，在“山寨版”問題上的突破，甚至能成為重大的科學成就，并獲得重大的科學獎項。黎曼猜想就是一個很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“雞犬升天”，變成了非同小可的問題，研究或解決它的數(shù)學家甚至可以獲得數(shù)學界的最高獎，堪稱是史上最牛的“山寨版”。需要補充說明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不僅僅來自“正版”黎曼猜想的艱深與重要，它本身以及它與其他數(shù)學領域的關聯(lián)也有著不容忽視的重要性。為了介紹這種史上最牛的“山寨版”，讓我們把時光暫時拉回到1940年。1940年4月，著名的法國幾何學家埃里·嘉當（·lieCartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國海濱城市魯昂（Rouen）的一座軍事監(jiān)獄。一位著名數(shù)學家居然收到一封來自監(jiān)獄的信件，那會是什么樣的信件呢？照常理來說，最大的可能性是某位民間“科學家”（簡稱民科）的杰作，對于法國數(shù)學家，情況尤其如此。因為在這方面，法國科學院（FrenchAcademyofSciences）可謂是開了風氣之先——自從一個多世紀前它為費馬大定理懸賞以來，民科信件便如雪片般地飛向了法國數(shù)學家的手里。那熱情，就連一百多年的時光也不足以使之熄滅。自那以后，知名法國數(shù)學家收到民科來信就不再是新鮮事了。不過嘉當收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間”，筆跡卻頗為熟悉，因為那筆跡屬于一位真正的數(shù)學家。那數(shù)學家不僅嘉當認識，更是他那數(shù)學家兒子昂利·嘉當（HenriCartan，1904—2008）的好朋友。那位數(shù)學家叫做韋伊（AndréWeil，1906—1998），他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在嘉當手里的這封監(jiān)獄來信來揭開序幕，但當時的他就已在代數(shù)、分析、數(shù)論等諸多領域中享有了一定的聲譽。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數(shù)學家（其中包括昂利·嘉當）一同，創(chuàng)立了一個后來大名鼎鼎的數(shù)學學派——布爾巴基學派。嘉當對筆跡的細心留意使那封監(jiān)獄來信免遭了被棄之垃圾桶的命運，也為我們的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。
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