《趣味隨機問題》適合高中以上文化程度的學生、教師、科技工作者和數(shù)學愛好者使用。
本書簡介：
《趣味隨機問題》分為概率論、數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程三部分，每部分包含若干個趣味問題。其中有分賭注問題、巴拿赫火柴盒問題、波利亞壇子問題、巴格達竊賊問題、賭徒輸光問題、群體（氏族）滅絕問題等歷史名題，也有許多介紹新內(nèi)容、新方法的問題。《趣味隨機問題》內(nèi)容有趣，應用廣泛。能啟迪讀者的思維，開闊讀者的視野，增強讀者的提出問題、分析問題與解決問題的能力。
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
前言
01概率論篇1
1.1全是不可測集惹的麻煩1
1.2概率概念的完善3
1.3三個孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放回抽樣10
1.5幾次試開能打開大門11
1.6常見離散型分布的背景12
1.7哪個概率大14
1.8分賭注問題16
1.9是否接收這批產(chǎn)品24
1.10抓鬮25"
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
前言
01概率論篇1
1.1全是不可測集惹的麻煩1
1.2概率概念的完善3
1.3三個孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放回抽樣10
1.5幾次試開能打開大門11
1.6常見離散型分布的背景12
1.7哪個概率大14
1.8分賭注問題16
1.9是否接收這批產(chǎn)品24
1.10抓鬮25
1.11最后摸出黑球的概率有多大27
1.12選舉定理及其應用28
1.13剩下全是黑球的可能性30
1.14與摸球是否放回無關31
1.15整除的概率32
1.16抽牌游戲33
1.17點子多贏33
1.18先出現(xiàn)的贏35
1.19摸到奇數(shù)個球的概率37
1.20取數(shù)游戲38
1.21全取到為止40
1.22第m個小的那個數(shù)42
1.23兩次取出的數(shù)字都不相同43
1.24下賭注問題44
1.25連續(xù)出現(xiàn)的概率46
1.26巴拿赫(Banach)火柴盒問題46
1.27波利亞(Polya)壇子問題47
1.28鞋子配對49
1.29信封與信配對50
1.30手套配對51
1.312n根小棒兩兩配對52
1.32接草成環(huán)53
1.33男女配對54
1.34丈夫總在妻子的后面54
1.35夫妻相鄰就坐55
1.36確診率問題56
1.37人壽保險問題56
1.38如何追究責任58
1.39系統(tǒng)可靠性問題59
1.40生日問題61
1.41盒子數(shù)不超過球數(shù)的放球問題63
1.42座位問題65
1.43放球次數(shù)問題65
1.44最小最大球數(shù)問題66
1.45下電梯問題67
1.46上火車問題68
1.47球不可辨的放球問題68
1.48蒲豐(Buffon)投針問題70
1.49會面問題71
1.50不需要等待碼頭空出問題72
1.513段小棒構(gòu)成三角形問題73
1.52圓周上3點構(gòu)成鈍角三角形問題74
1.53兩點之間的距離75
1.54獨立性76
1.55永遠年輕81
1.56最大可能值83
1.57再生性87
1.58最少進貨量87
1.59化驗血清的次數(shù)89
1.60乘客等車(浪費的)時間90
1.61巴格達竊賊(礦工脫險)問題91
1.62蟲卵數(shù)問題92
1.63積分的計算93
1.64維爾斯特拉斯定理的大數(shù)定律證明94
1.65蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬96
1.66沒校出的印刷錯誤數(shù)97
1.67至少安裝外線數(shù)99
1.68每盒至少裝多少只螺絲釘100
1.69價格預測100
1.70概率巧計算101
1.71離散型隨機變量的密度函數(shù)定義103
1.72母函數(shù)104
1.73反之未必成立111
1.74兩個母公式117
02數(shù)理統(tǒng)計篇123
2.1白球多還是黑球多128
2.2湖中有多少條魚130
2.3有效估計量的簡易計算132
2.4貝葉斯估計量的簡易計算134
2.5一般離散型分布參數(shù)的極大似然估計136
2.6袋中有多少個普通硬幣137
2.7收藏家買畫問題139
2.8福利彩票142
2.9截尾試驗中指數(shù)分布參數(shù)的估計148
2.10今天生產(chǎn)的滾球是否合格153
2.11如何減小犯第2類(納偽)錯誤的概率β155
2.12原假設的“惰性”157
2.13驗收(鑒定)抽樣方案159
2.14第5次擲出幾點163
2.15隨機變量模擬抽樣165
03隨機過程篇170
3.1賭徒輸光問題170
3.2群體(氏族)滅絕問題175
3.3市場占有率預測179
3.4股票價格預測182
3.5客機可靠性預測183
3.6教學質(zhì)量評估184
3.7商品銷售情況預測187
3.8定貨總收入模型188
3.9造成死亡交通事故數(shù)191
3.10泊松過程的檢驗193
參考文獻196
附表1標準正態(tài)分布函數(shù)值表198
附表2常見隨機變量分布表200"
"01概率論篇
1.1全是不可測集惹的麻煩
隨機事件(簡稱為事件)、概率、隨機變量是概率論中最基本的三個概念，它們是逐步形成與完善起來的。其中事件與隨機變量這兩個概念與不可測集合的關系非常緊密。如果不存在不可測集合，事件與隨機變量的定義將會非常簡潔易懂。由于不可測集合的存在，給這兩個概念的定義帶來了很大的麻煩，使初學者感到很困難。
學過初等概率論的人都知道，隨機事件是樣本空間(由所有樣本點或基本事件組成的集合)的子集，但是樣本空間的子集卻未必是隨機事件。為什么？一般教科書均不作解釋，因為此問題說起來話長，又涉及較多的數(shù)學知識，一兩句話是說不清楚的。
如果樣本空間Ω中的樣本點只有可數(shù)(可列)多個，則Ω中的任一個子集都可測；如果Ω中的樣本點有無窮不可數(shù)多個(如一個區(qū)間或一個區(qū)域)，則可人為地構(gòu)造出Ω的不可測子集。什么叫做(集合)可測？這涉及較深的測度論知識。通俗地說，所謂集合A可測，就是可以求出A的測度。什么叫做測度？如果A是離散可數(shù)集合，則把A中的元素個數(shù)作為A的測度，如果A是非離散的區(qū)域而且是一維的(二維的、三維的)，就把A的長度(面積、體積)作為A的測度。關于如何構(gòu)造Ω的不可測子集，有興趣的讀者可以參閱鄭維行和王聲望著的《實變函數(shù)與泛函分析概要》。初學者很難理解，一條曲線為什么會不可以測量它的長度呢？美籍華人鐘開來說，讀者可以這樣設想，這條曲線彎曲得非常厲害，我們無法測準它的長度，或者設想它離我們非常遙遠，即使用最先進的儀器也無法對它進行測量。
由于樣本空間中的子集不一定都可測，那些不可測子集我們是無法求其概率的，當然，就不把它們看成事件，這是因為我們研究事件的主要目的是求其出現(xiàn)(發(fā)生)的概率。又因為在實際問題中我們往往要對事件進行各種運算(或變換)，我們自然會問：可測事件運算(或變換)的結(jié)果是否仍為可測？為了保證可測事件運算(或變換)的結(jié)果仍為可測，我們在定義事件中引進了σ代數(shù)的概念。
定義1.1設Ω為一個集合，如果Ω中的一些子集組成的集類(以集合為元素的集合)F滿足：
(i)Ω∈F。
(ii)如果A∈F，則A的補集∈F。
(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，則∪∞n=1An∈F。
則稱F為Ω中的σ代數(shù)。
有了σ代數(shù)的概念，可引入事件的如下的嚴密定義。
定義1.2如果F是由樣本空間Ω中一些(可測)子集組成的σ代數(shù)，則稱F為事件域，稱且僅稱F中的元素為事件。通常稱(Ω，F(xiàn))為可測空間。
由此定義可知：
(i)σ代數(shù)未必是事件域，但是事件域一定是σ代數(shù)。
(ii)｛，Ω｝為最小事件域(其中為不可能事件，即為不含有任何樣本點的空集)。如果A為Ω中的可測子集，則｛，A，A，Ω｝是包含事件A的最小事件域。如果Ω中的子集都可測，則取事件域為｛A：AΩ｝(即如果AΩ，則稱A為事件)，它也是最大的事件域。因此，事件域不是唯一的。
(iii)在實際問題中，如果Ω中的樣本點是可數(shù)的，通常就取事件域為｛A：AΩ｝，否則，通常取事件域為包含我們所關心的事件的σ代數(shù)。在一個問題中，事件域一經(jīng)取定就不再變動
如果不存在樣本空間Ω中的不可測子集，隨機變量就可以簡單定義為：如果X(ω)是Ω上的單值實函數(shù)，則稱X(ω)為隨機變量。而現(xiàn)在隨機變量的定義不僅復雜得多，而且使初學者很不容易理解。
定義1.3設(Ω，F(xiàn))是一個可測空間，X(ω)為定義于Ω上的單值實函數(shù)，如果對任意實數(shù)x，均有
｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝∈F
則稱X(ω)為(Ω，F(xiàn))上的一個隨機變量。
通常簡記X(ω)為X，簡記｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝為｛X≤x｝。｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝表示使得X(ω)≤x成立的那些樣本點ω組成的集合。如果這個集合為可測的事件，即｛X≤x｝∈F，我們才稱X為隨機變量。
由定義1.3知隨機變量不是簡單的變量，而是定義于樣本空間Ω上的滿足條件｛X≤x｝∈F的單值實函數(shù)。不過在實際問題中如果用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量那將是件很麻煩的事情。通常不用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量，而是去驗證該量取值是否為隨機的。如果是，則該量是隨機變量；否則，它就不是隨機變量。何為隨機的？所謂隨機的是指：該量至少能取兩個值，而且事前(試驗之前)無法準確預言它取哪個值。
1.2概率概念的完善
概率是描述事件發(fā)生(出現(xiàn))可能性大小的數(shù)量指標，它是逐步形成和完善起來的。最初人們討論的是古典概型(隨機)試驗中事件發(fā)生的概率。所謂古典概型試驗是指樣本空間中的樣本點的個數(shù)是有限的且每個樣本點(組成的事件)發(fā)生的可能性是相同的，簡稱為有限性與等可能性。例如，擲一顆均勻骰子的試驗與從一個裝有n個相同(編了號)球的袋中隨機摸一個球的試驗都是古典概型試驗。對于古典概型試驗，人們給出概率的如下定義。
定義1.4設試驗E是古典概型的，其樣本空間Ω由n個樣本點組成，其一事件A由r個樣本點組成，則定義A(發(fā)生)的概率為rn，記為P(A)，即
P(A)=A中樣本點數(shù)Ω中樣本點數(shù)=rn
并稱這樣定義的概率為古典概率，稱概率的這樣的定義為古典定義。
古典概率有如下3個性質(zhì)：
(i)對任意事件A，有0≤P(A)≤1。
(ii)P(Ω)=1。
(iii)設A1，A2，，Am為兩兩互斥的m個事件，則
P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai)
(i)、(ii)、(iii)分別稱為概率的有界性、規(guī)范性與有限可加性。
古典概率的定義要求試驗滿足有限性與等可能性，這使得它在實際應用中受到了很大的限制。例如，對于旋轉(zhuǎn)均勻陀螺的試驗：在一個均勻的陀螺圓周上均勻地刻上區(qū)間［0，3)內(nèi)諸數(shù)字，旋轉(zhuǎn)陀螺，當它停下時，其圓周上與桌面接觸處的刻度位于某區(qū)間［a，b)［［0，3)］內(nèi)的概率有多大？對于這樣的試驗，古典概率的定義就不適用。因為此試驗的樣本點不是有限的，而是區(qū)間［0，3］中的每個點，它有無窮不可數(shù)多個。為了克服定義1.4的局限性，人們又引入概率的如下定義。
定義1.5設試驗E的樣本空間為某可度量的區(qū)域Ω，且Ω中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關，則稱E為幾何概型的試驗。且定義E的事件A的概率為
P(A)=A的幾何度量/Ω的幾何度量
其中，如果Ω是一維的、二維的、三維的，則Ω的幾何度量分別為長度、面積、體積。并稱這樣定義的概率為幾何概率，而稱概率的這樣的定義為幾何定義。
幾何概率除了具有古典概率的3個性質(zhì)外，它還具有如下的可列可加性(或完全可加性)：
(iv)設A1，A2，A3，為兩兩互斥的無窮多個事件，則
概率的幾何定義雖然去掉了有限性的限制，但是它仍然要試驗滿足等可能性，這在實際問題中仍有很大的局限性。例如，擲一枚不均勻的硬幣的試驗就不具有等可能性，這樣上述兩個定義對這個非常簡單的試驗都不適用。同時我們還注意到上述兩個定義中的等可能性嚴格地說都是近似的，而不是真正的等可能。因此，我們必須再一次推廣概率的定義，以滿足實際問題要求。為此，人們在頻率的基礎上又引進了概率的統(tǒng)計定義。
通過長期的實踐，人們逐步發(fā)現(xiàn)，當重復試驗的次數(shù)很多時，事件出現(xiàn)的頻率都具有穩(wěn)定性。即對于某個固定的事件，當重復試驗次數(shù)增加時，該事件出現(xiàn)的頻率總在0與1之間某個數(shù)字p附近擺動，且越來越接近p。例如，擲一枚均勻硬幣的試驗，歷史上曾經(jīng)有很多數(shù)學家做過。下表是幾位數(shù)學家做此試驗的結(jié)果。由此表可以看到，當試驗次數(shù)越來越多時，正面出現(xiàn)的頻率越來越靠近0.5(表1-1)。由此，人們又引入概率的統(tǒng)計定義。
表1-1擲均勻硬幣的試驗
定義1.6設A為試驗E的一個事件，如果隨著重復試驗次數(shù)的增加A出現(xiàn)的頻率在0與1之間某個數(shù)p附近擺動，則定義A的概率為p，記為P(A)，即
P(A)=p
稱這樣定義的概率為統(tǒng)計概率，稱概率的這樣的定義為統(tǒng)計定義。
統(tǒng)計概率也有古典概率的3個性質(zhì)，即有界性、規(guī)范性、有限可加性。
概率的統(tǒng)計定義對試驗不作任何要求，它適合所有試驗，也比較直觀。但是在數(shù)學上很不嚴密。因為其依據(jù)是重復試驗次數(shù)很多時頻率呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性。何為“很多”？1萬次相對于1000次來說是很多了，但是相對于10萬次來說它又是很少了。試驗次數(shù)究竟要多到怎樣的程度才能算“很多”定義中沒有說明；又如定義中的“擺動”又如何理解，也沒有數(shù)學說明，再如定義中的“p”又如何確定？不同的人可能會確定不同的值。這樣，一個事件將有多個概率。例如，在表1-1中，正面出現(xiàn)的頻率顯然在0.5附近擺動，因此可以認為正面出現(xiàn)的概率為0.5。但是由于硬幣不會絕對均勻的，也可以認為正面出現(xiàn)的概率為0.50001或0.4999。因此，概率的上述3個定義都有缺陷，與其說它們是定義，不如說它們僅是對不同的情況給出概率的3種計算方法。所以我們有必要給出概率的一個嚴密的對各種情況都適用的定義，以使得概率論這座大廈有牢固的基礎。
20世紀30年代初，馮.米富斯(R.VonMises)給出樣本空間的概念，使得有可能把概率的嚴密的數(shù)學理論建立在測度論上。20世紀30年代中期柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)以上述3個定義的性質(zhì)為背景給出概率的嚴密的公理化定義。
定義1.7設(Ω，F(xiàn))為一個可測空間，P為定義于F上的實值集合函數(shù)，如果P滿足下列3個條件：
(i)對每個A∈F，有P(A)≥0；
(ii)P(Ω)=1；
(iii)如果Ai∈F，i=1，2，3，，且當i≠j時，AiAj=，則P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。
那么，就稱P為概率測度，簡稱為概率。
一般把Ω，F(xiàn)，P寫在一起成(Ω，F(xiàn)，P)，并稱(Ω，F(xiàn)，P)為概率空間。以后總用Ω表示樣本空間，用F表示Ω中的固定的事件域，用P表示相應于Ω與F的概率。此定義的3個條件稱為3個公理。這3個公理分別稱為概率的非負性、規(guī)范性與完全可加性(或可列可加性)。
概率的公理化定義中沒有要求定義于F上的實值集合函數(shù)P滿足有界性與有限可加性，為什么？這是因為有界性與有限可加性可以由3個公理推導出來，而且，一個概念的定義(自然)要求所滿足的條件越少越好，這樣才便于應用。設想，如果一個定義要求滿足10個條件，則每次應用前都要逐一驗證這10個條件是否滿足(如果不滿足，則不能應用該定義)，這將是很麻煩的事情。其次，概率的公理化定義是嚴密的數(shù)學定義，且對試驗不作任何要求，我們很自然地會問，前述的三個定義是否可以不要了？不可以。這是因為公理化定義雖然在數(shù)學上很嚴密，但是它沒有給出事件概率的計算方法。要計算一個具體事件的概率，還得根據(jù)不同的情況，利用上述3個定義之一來計算。
另一個需要說明的是概率的公理化定義不是唯一，它有很多等價定義。由有限可加性得P()=P(∑n+1i=1)=(n+1)P()，即nP()=0，所以P()=0，又對任意事件A∈F，由單調(diào)性，有P(A)≥P()，從而"
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