《數(shù)學(xué)志異》讀者對(duì)象為中學(xué)生、大學(xué)生、中小學(xué)教師及數(shù)學(xué)T作者
本書簡(jiǎn)介：
《數(shù)學(xué)志異》主要內(nèi)容包括數(shù)學(xué)悖論，第一次、第二次、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，哥德爾不可判定命題、混沌等非平凡問題；離散數(shù)學(xué)當(dāng)中的有趣問題；數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)哲學(xué)當(dāng)中的敏感問題等。如將來(lái)數(shù)學(xué)還會(huì)產(chǎn)生悖論與危機(jī)嗎？尚未解決的數(shù)學(xué)難題是否為不可判定命題？既然是確定性系統(tǒng)為什么會(huì)產(chǎn)生紊動(dòng)？愚公移山式的窮舉法為什么可能無(wú)效？牛頓創(chuàng)立的微積分能得100分嗎？數(shù)學(xué)家是些什么人？數(shù)學(xué)定理為什么要證明？等等�！稊�(shù)學(xué)志異》集知識(shí)性、思想性和趣味性為一體，說(shuō)理直觀嚴(yán)密，通俗易懂，充分展示數(shù)學(xué)之美妙，之深刻
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
刖昌
01離散篇
1.1神龜龍馬，洛書河圖
1.2三只鴿子兩個(gè)窩
1.3好括號(hào)和姊妹洗碗
1.4兔子不是瀕危物種
1.5兔兒兔孫與優(yōu)選法
1.636軍官問題與拉丁方正交試驗(yàn)
1.7這些錢怎么花
1.8勸君多畫示意圖
1.9棋盤之旅
1.10中國(guó)籌碼游戲
1.11組合在幾何中作怪叢書修訂版前言
第一版總序
刖昌
01離散篇
1.1神龜龍馬，洛書河圖
1.2三只鴿子兩個(gè)窩
1.3好括號(hào)和姊妹洗碗
1.4兔子不是瀕危物種
1.5兔兒兔孫與優(yōu)選法
1.636軍官問題與拉丁方正交試驗(yàn)
1.7這些錢怎么花
1.8勸君多畫示意圖
1.9棋盤之旅
1.10中國(guó)籌碼游戲
1.11組合在幾何中作怪
1.12投票排列名次是否公正
1.13合時(shí)容易分時(shí)難
1.14夫婦入席問題
1.15把握機(jī)會(huì)，成自險(xiǎn)出
1.16摔碎的砝碼還能用嗎
1.17排隊(duì)打水
1.18不患寡而患不均
1.19核按鈕的鑰匙
02混沌篇
2.1面包師抻面與砍頭映射
2.2混沌禮贊
2.3北京拉面的數(shù)學(xué)模型
2.4三角帳篷中的混沌
2.5蒙古包里的混沌
2.6面片上的混沌
2.7非整數(shù)維數(shù)的奇怪不變集
2.8生命游戲
2.920世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之
2.10混沌學(xué)座談紀(jì)要
03危機(jī)篇
3.1畢達(dá)哥拉斯學(xué)派何以把門生投入大海
3.2有理數(shù)平易近人，可數(shù)可列
3.3無(wú)理數(shù)神出鬼沒，數(shù)不勝數(shù)
3.4有理數(shù)是米，無(wú)理數(shù)是湯
3.5問遍天堂地獄，誰(shuí)人知π真面貌
3.3.6為全人類增添光彩的人物
3.7此人就是一所科學(xué)院
3.8第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
3.9代牛頓圈改《流數(shù)簡(jiǎn)論》
3.10皮囊悖論
3.11整體等于其半
3.12神秘的康托爾塵集
3.13理發(fā)師悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
3.14悖論欣賞
3.15哥德爾抖出了數(shù)學(xué)的家丑
04思想篇
4.1從禿頭悖論談起
4.2數(shù)學(xué)內(nèi)容是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的
4.3應(yīng)用數(shù)學(xué)是壞數(shù)學(xué)嗎
4.4數(shù)學(xué)定理為什么必須證明
4.5數(shù)學(xué)家是些什么人
4.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
4.7各執(zhí)己見，爭(zhēng)吵不休
4.8數(shù)學(xué)的非數(shù)學(xué)障礙
4.9數(shù)學(xué)豈能孤立自己
4.10數(shù)學(xué)是一種文化
卷末寄語(yǔ)
參考文獻(xiàn)離散篇
離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)當(dāng)中最美、最妙、最有人緣也最有難度的數(shù)學(xué)樂園和數(shù)學(xué)天堂。
1.1神龜龍馬，洛書河圖
公元前2200年，我國(guó)商周時(shí)代的《易經(jīng)》中載：大禹治伏水患之后，洛河上浮出一只巨型神龜，背馱如圖11所示的“洛書”獻(xiàn)給大禹，作為蒼天對(duì)他治水有功造福百姓的獎(jiǎng)勵(lì)。這幅天書橫看、豎看和斜看，每一組由黑點(diǎn)子與白點(diǎn)子合成，總點(diǎn)數(shù)皆為15。后來(lái)人們把此洛書翻譯成如圖1-2所示的一個(gè)所謂幻方。
所謂幻方，是由1，2，3，，n2-1，n2組成的一個(gè)數(shù)字方陣，每數(shù)恰在此陣中出現(xiàn)一次，且每行之和，每列之和和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和皆相等。
1275年，我國(guó)宋代著名數(shù)學(xué)家楊輝把洛書形象地描寫為：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺進(jìn)，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。”破譯了洛書的玄機(jī)，見圖13。
“九子斜排”是按箭頭方向分別把1，2，3；4，5，6和7，8，9排成具有右下方走向的一排，三個(gè)斜排組成一個(gè)傾斜45。角的正方形陣。
“上下對(duì)易”，指1與9對(duì)換，1移入最下空格，9移入最上空格，使得正中的頭部戴了一個(gè)9的帽子，正中最低處穿了一雙l字鞋，即“戴九履一”。
“左右相更”，指最右邊的3與最左邊的7對(duì)調(diào)，3移至左側(cè)空格，7移至右側(cè)空格。
至此造成一個(gè)四方陣，即“四維挺進(jìn)”，又2與4分別在右上角（肩）與左上角，6與8分別在右下角（足）與左下角，即“二四為肩”“六八為足”。
楊輝的這種口訣中的關(guān)鍵詞是“訂2子斜排”“上下對(duì)易”和“左右相更”三句。圖14和圖15分別給出按楊輝口訣構(gòu)作的5階幻方和7階幻方，任意奇數(shù)（大于3）階的幻方皆可照此制作，但同階幻方不是唯一的，高階幻方的個(gè)數(shù)非常之巨大，例如五階幻方就有一千多萬(wàn)個(gè)！另外，楊輝口訣不適用于偶階幻方，偶階幻方的構(gòu)作十分困難。
“對(duì)易“和“相更”時(shí)，移動(dòng)的步數(shù)恰為幻方的階數(shù)，例如圖1501
離散篇④
(a)中頂上的1下降7步至33的上方鄰格內(nèi)，圖1-5(a)中的9下降7步至33的下方鄰格內(nèi)，圖1-5(a)中的7左移7步至25的左側(cè)鄰格，等等。
洛書對(duì)應(yīng)的幻方史稱“神農(nóng)幻方”。
《易經(jīng)》上又云，為獎(jiǎng)勵(lì)大禹功績(jī)，一匹龍馬從黃河躍出，把如圖16所示的一張“河圖”贈(zèng)予大禹。
圖1-6(b)是相應(yīng)位置上“點(diǎn)子”的個(gè)數(shù)，不過4個(gè)10的意思是被虛線聯(lián)絡(luò)的10個(gè)黑點(diǎn)子視為分布在它們形成的正方形的四個(gè)頂處。這樣，河圖的數(shù)學(xué)含量就大了：
從中心5向右加上4等于最有端的9；
從中心5向左加上3等于最左端的8；
從中心5向上加上2等于最上端的7；
從中心5向下加上l等于最下端的6。
斜著看，7J-9—2J-IOJ-4=16，8+6—3+lO+1—14，9+6—4+10+1=15，8+7—2_--IO+3=15.
洛書和河圖出自四千多年前中華民族之手，是世界組合數(shù)學(xué)的最早成果，值得我們白豪；可惜它被后人神化，未能發(fā)展成系統(tǒng)的理論；中國(guó)幾千年的封建君主統(tǒng)治，鼓勵(lì)乃至強(qiáng)迫知識(shí)分子為皇帝歌功頌德，使大多數(shù)知識(shí)分子成為什么科學(xué)知識(shí)也沒有，只會(huì)呼喊×××皇帝萬(wàn)歲的奴才，在這種社會(huì)背景之下，中國(guó)的許多本應(yīng)領(lǐng)先的數(shù)學(xué)分支和組合數(shù)學(xué)一樣，并沒有發(fā)展起來(lái)。事實(shí)上，組合數(shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要分支，而且是信息產(chǎn)業(yè)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)科研當(dāng)中，必須給以足夠的重視。
1.2三只鴿子兩個(gè)窩
三只鴿子出去覓食，晚上歸巢柄息，它們共有兩個(gè)窩，顯然必有一個(gè)窩里至少住有兩只鴿子，不然，即使每巢一只鴿子，還有一只鴿子不能回巢。一般而言，對(duì)于自然數(shù)n，n+1只鴿子佳在”個(gè)巢中，至少有一巢里不少于兩只鴿子。
這一結(jié)論稱為鴿籠原理或抽屜原理。
把m本書放入門個(gè)抽屜，m>粗，至少一個(gè)抽屜里放了多于本書，其中表示的整數(shù)部分。當(dāng)m=n+1時(shí)，即n+l本書放入門個(gè)抽屜，至少一個(gè)抽屜里放不少于兩本書。
事實(shí)上，若每個(gè)抽屜里放的書都不超過m本，則總的本數(shù)不超過m-l，與共有m本書矛盾。所以一定是有的抽屜里放了多于m-1本書。就是這么一個(gè)幾乎不證白明的道理卻能解千種難題，有萬(wàn)般應(yīng)用。下面是一些應(yīng)用鴿籠原理的生動(dòng)實(shí)例。
①某軍彈藥庫(kù)每天需一個(gè)班保衛(wèi)，保衛(wèi)排有六個(gè)班，一周內(nèi)至少有一個(gè)班出勤兩天。
②13人中必有兩人同一個(gè)月份Ll生。
③商店里有10雙皮鞋放在貨架上，有11位顧客同時(shí)來(lái)購(gòu)鞋，售貨員給每位顧客拿出一只鞋試穿，則顧客們手中必有兩只鞋恰是一雙。
�、軓膡1，2，，2000）中選1001個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)，一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。
事實(shí)上，取出的每個(gè)數(shù)可表成2”“，粗是非負(fù)整數(shù)，“是奇數(shù)，故對(duì)1到2000的每個(gè)數(shù)，“是1000個(gè)奇數(shù)1，3，5．．1999中的數(shù)，可見在所選的1001個(gè)數(shù)中，有兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)因數(shù)“是一樣的，它們是2”-“和2”z“，不妨設(shè)粗2>粗l，則2”-a÷21“一2”z-nl，即后者能被前者除盡。
�、蒈菡呅蝺�(nèi)任放七個(gè)點(diǎn)，則至少有兩點(diǎn)之間的距離小于或等于該正六邊形外接網(wǎng)的半徑。連接正六邊形的三條對(duì)角線如圖17，由鴿籠原理，在圖17的六個(gè)三角形的某個(gè)上面必然有放置的七個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，它們的距離不大于正六邊形外接網(wǎng)的半徑。
�、薨裮1+m2十十m，，-州+1個(gè)球放人n個(gè)盒子，其中m，m，，7。皆正整數(shù)，則下面”件事至少發(fā)生一件：第一個(gè)盒子中至少有m，個(gè)球，第二個(gè)盒子中至少有m球，，第""個(gè)盒子中至少有m。值大于r-l時(shí)，mi，m：，事實(shí)上，如果m，事實(shí)上，若這n件事都不發(fā)生，則總球數(shù)不會(huì)超過(mi-l)+（m。-l）++（m。-l）一7T/l+7T/2++m。一n，而原來(lái)有球7T/l+7T/2++m。-n+1，矛盾。
�、摺保╮-l）J-I個(gè)鴿子進(jìn)入粗個(gè)窩，r是自然數(shù)，則至少一個(gè)窩里的鴿子不會(huì)少于r只。
�、嘟銈�(gè)自然數(shù)mi，m。，，m。的平均，m。中至少有一個(gè)不小于r，r是自然數(shù)。i=l，2，，加，則71+7T/2++m。<加r，與mi，m。，，m，，的平均值大于r-l矛盾。
⑨任給定粗2+1個(gè)不等的實(shí)數(shù)組成的數(shù)列“l(fā)，“2，，“772+1
則此數(shù)列中至少存在由n+1個(gè)實(shí)數(shù)組成的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的子數(shù)列。
事實(shí)上，記m。是從“，開始最長(zhǎng)的單調(diào)遞增子數(shù)列的長(zhǎng)度，若存在某個(gè)m�！輓+1，則命題⑨已成立。否則，m，a。。>>∞。+．，若不然，例如a，．<“：：，而由a。開始的遞增子列的長(zhǎng)度m。-m，再把a(bǔ)，，接到此子列前面，則知m，，≥m，+1一m+1，與m，，一m矛盾。至此找到由n+1個(gè)數(shù)組成的遞增子序列“，，，“22，。
例如17個(gè)數(shù)組成的數(shù)列9，8，18，20.7.5.4.6.11.15．10.13.12.19.17.3，14，由命題⑨，上述數(shù)列中有4J-1=5個(gè)數(shù)組成的單調(diào)子數(shù)列，事實(shí)上，5，6，11，15，19就是一個(gè)。20，7，5，4，3是另一個(gè)。
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