這是一本專門講述伽羅瓦理論的教材。內(nèi)容包括伽羅瓦理論基本定理和多項(xiàng)式方程的根式可解性、伽羅瓦群的計(jì)算及其反問題，《伽羅瓦理論：天才的激情》強(qiáng)調(diào)通過伽羅瓦對(duì)應(yīng)，可將代數(shù)數(shù)域中的問題轉(zhuǎn)化成群論的問題加以解決。作為這種思想的應(yīng)用，證明了代數(shù)基本定理，解決了e和的超越性及尺規(guī)作圖的四大古代難題。為方便讀者查閱，附錄中詳細(xì)梳理了所要用到的群、環(huán)、域方面的結(jié)論。每節(jié)配有充足的習(xí)題并包含提示。
《伽羅瓦理論：天才的激情》可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)類各專業(yè)的教材，也可供其他相關(guān)專業(yè)參考。
目錄：
序言
前言
§0. 伽羅瓦理論概述
§1. 有限伽羅瓦擴(kuò)張
1.1 伽羅瓦對(duì)應(yīng)
1.2 阿廷引理 10
1.3 戴德金無關(guān)性引理 12
1.4 有限伽羅瓦擴(kuò)張 14
習(xí)題 15
§2. 伽羅瓦理論基本定理 17
2.1 表述及意義 17
2.2 證明 19
2.3 注記與例子 21
2.4 代數(shù)基本定理 26
習(xí)題 27
§3. 伽羅瓦群的計(jì)算 29
3.1 伽羅瓦的原始思想 29
3.2 判別式 32
3.3 4 次方程 34
.3.4 純粹方程 36
3.5 分圓域 38
3.6 素?cái)?shù)次對(duì)稱群 39
3.7 布饒爾的構(gòu)造 40
習(xí)題 42
§4. 一般方程的伽羅瓦群 45
4.1 一般方程 45
4.2 伽羅瓦反問題 47
習(xí)題 49
§5. 方程根式可解的伽羅瓦大定理 51
5.1 歷史背景及表述 51
5.2 充分性的證明 54
5.3 必要性的證明 55
5.4 3 次方程求根公式 57
5.5 4 次方程求根公式 59
習(xí)題 61
§6. 模 p 法 63
6.1 有理函數(shù)域 63
6.2 模 p 法 65
6.3 對(duì)稱群 68
習(xí)題 70
§7. e 和 π 的超越性 71
7.1 林德曼–魏爾斯特拉斯定理 71
7.2 證明 73
7.3 公開問題 77
習(xí)題 77
§8. 尺規(guī)作圖問題 79
8.1 幾何定義與代數(shù)描述 79
8.2 三大古典難題 84
8.3 可構(gòu)數(shù)的另一判定法 85
8.4 正 n 邊形的尺規(guī)作圖 86
習(xí)題 87
§9. 附錄 i: 所需群和環(huán)中的結(jié)論 89
9.1 有限群中若干結(jié)論 89
9.2 有限阿貝爾群 93
9.3 可解群 94
9.4 對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理 95
9.5 唯一因子分解整環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán) 97
9.6 中國(guó)剩余定理 98
§10. 附錄 ii: 域論摘要 101
10.1 域擴(kuò)張的基本概念 101
10.2 分裂域和同構(gòu)延拓定理. 104
10.3 有限域 107
10.4 可分?jǐn)U張和正規(guī)擴(kuò)張 108
10.5 單位根與分圓多項(xiàng)式 111
10.6 狄利克雷素?cái)?shù)定理的特例 115
參考文獻(xiàn) 119
中英文名詞索引 121
|
