《應(yīng)用近世代數(shù)》介紹群、環(huán)、域的基本理論與應(yīng)用。近世代數(shù)(又名抽象代數(shù))是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在計算機科學(xué)、信息科學(xué)、近代物理與近代化學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)人員所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
目錄
第1章 引言和預(yù)備知識1.1幾類實際問題 1. 一些計數(shù)問題 2. 數(shù)字通信的可靠性問題與保密性問題 3. 幾何作圖問題 4. 代數(shù)方程根式求解問題 習(xí)題1.11.2集合與映射 1. 集合的記號 2. 子集與冪集 3. 子集的運算 4. 包含與排斥原理 5. 映射的概念 6. 映射的分類 7. 映射的復(fù)合 8. 映射的逆 習(xí)題1.21.3二元關(guān)系 1. 二元運算與代數(shù)系統(tǒng) 2. 二元關(guān)系 3. 等價關(guān)系、等價類和商集 4. 偏序和全序 習(xí)題1.31.4整數(shù)與同余方程 1. 整數(shù)的運算 2. 最大公因子和最小公倍數(shù) 3. 互素 4. 同余方程及孫子定理 習(xí)題1.4第1章小結(jié)第2章 群論2.1基本概念 1. 群和半群 2. 關(guān)于單位元的性質(zhì) 3. 關(guān)于逆元的性質(zhì) 4. 群的幾個等價性質(zhì) 習(xí)題2.12.2子群 1. 子群 2. 元素的階 習(xí)題2.22.3循環(huán)群和生成群，群的同構(gòu) 1. 循環(huán)群和生成群 2. 群的同構(gòu) 3. 循環(huán)群的性質(zhì) 習(xí)題2.32.4變換群和置換群，Cayley定理 1. 置換群 2. Cayley定理 習(xí)題2.42.5子群的陪集和Lagrange定理 1. 子群的陪集 2. 子群的指數(shù)和Lagrange定理 習(xí)題2.52.6正規(guī)子群和商群 1. 正規(guī)子群的概念 2. 正規(guī)子群的性質(zhì) 3. 商群 4. 單群 習(xí)題2.62.7共軛元和共軛子群 1. 中心和中心化子 2. 共軛元和共軛類 3. 共軛子群與正規(guī)化子 4. 置換群的共軛類 習(xí)題2.72.8群的同態(tài) 1. 群的同態(tài) 2. 同態(tài)基本定理 3. 有關(guān)同態(tài)的定理 4. 自同態(tài)與自同構(gòu) 習(xí)題2.82.9群對集合的作用，Burnside引理 1. 群對集合的作用 2. 軌道與穩(wěn)定子群 3. Burnside引理 習(xí)題2.92.10應(yīng)用舉例 1. 項鏈問題 2. 分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題 3. 正多面體著色問題 4. 開關(guān)線路的計數(shù)問題 5. 圖的計數(shù)問題 6. RSA密碼系統(tǒng)的加密與解密變換 7. 二次同余方程 習(xí)題2.102.11群的直積和有限可換群 1. 群的直積 2. 有限可換群的結(jié)構(gòu) 習(xí)題2.112.12有限群的結(jié)構(gòu)，Sylow定理 1. p?子群與Sylow p?子群 2. Sylow定理 習(xí)題2.12第2章小結(jié)第3章 環(huán)論3.1環(huán)的定義和基本性質(zhì) 1. 環(huán)的定義 2. 環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質(zhì) 3. 環(huán)的分類 習(xí)題3.13.2子環(huán)、理想和商環(huán) 1. 子環(huán) 2. 生成子環(huán)和生成理想 3. 商環(huán) 習(xí)題3.23.3環(huán)的同構(gòu)與同態(tài) 1. 同構(gòu)與同態(tài) 2. 有關(guān)同態(tài)的一些定理 3. 分式域 習(xí)題3.33.4整環(huán)中的因子分解 1. 一些基本概念 2. 既約元和素元 3. 最大公因子 習(xí)題3.43.5惟一分解整環(huán) 1. 惟一分解整環(huán)及其性質(zhì) 2. 主理想整環(huán) 3. 歐氏整環(huán) 習(xí)題3.53.6多項式分解問題 1. 本原多項式及其性質(zhì) 2. D［x］的分解性質(zhì) 3. 多項式的可約性判斷 習(xí)題3.63.7應(yīng)用舉例 1. 編碼問題 2. 多項式編碼方法及其實現(xiàn) 習(xí)題3.7第3章小結(jié)第4章 域論4.1域和域的擴張，幾何作圖問題 1. 域的特征和素域 2. 擴張次數(shù)，代數(shù)元和超越元 3. 添加元素的擴張 4. 代數(shù)擴張與有限擴張 5. 幾何作圖問題 習(xí)題4.14.2分裂域，代數(shù)基本定理 1. 分裂域 2. 代數(shù)基本定理 習(xí)題4.24.3有限域，有限幾何 1. 有限域的構(gòu)造及惟一性 2. 有限域的元素的性質(zhì) 3. Zp\[x\]中多項式的根 4. 有限域的子域 5. 有限域的自同構(gòu)群 6. 有限域上的元素和多項式的性質(zhì) 7. 有限幾何 習(xí)題4.34.4單位根，分圓問題 1. 單位根 2. 分圓問題習(xí)題4.4第4章小結(jié)第5章 方程根式求解問題簡介5.1多項式的Galois群 1. 域和多項式的Galois群 2. 多項式的Galois群的置換表示 3. 多項式的Galois群的階 4. 多項式的Galois群的計算 習(xí)題5.15.2群的可解性和代數(shù)方程的根式求解問題 1. 群的可解性 2. 可解群的性質(zhì) 3. 代數(shù)方程的根式可解性 習(xí)題5.2第5章小結(jié)附錄 其他代數(shù)系簡介1. 格與布爾代數(shù)2. 模的概念及例3. 代數(shù)習(xí)題習(xí)題提示與答案符號索引名詞索引參考文獻
第1章 引言和預(yù)備知識1.1幾類實際問題 1. 一些計數(shù)問題 2. 數(shù)字通信的可靠性問題與保密性問題 3. 幾何作圖問題 4. 代數(shù)方程根式求解問題 習(xí)題1.11.2集合與映射 1. 集合的記號 2. 子集與冪集 3. 子集的運算 4. 包含與排斥原理 5. 映射的概念 6. 映射的分類 7. 映射的復(fù)合 8. 映射的逆 習(xí)題1.21.3二元關(guān)系 1. 二元運算與代數(shù)系統(tǒng) 2. 二元關(guān)系 3. 等價關(guān)系、等價類和商集 4. 偏序和全序 習(xí)題1.31.4整數(shù)與同余方程 1. 整數(shù)的運算 2. 最大公因子和最小公倍數(shù) 3. 互素 4. 同余方程及孫子定理 習(xí)題1.4第1章小結(jié)第2章 群論2.1基本概念 1. 群和半群 2. 關(guān)于單位元的性質(zhì) 3. 關(guān)于逆元的性質(zhì) 4. 群的幾個等價性質(zhì) 習(xí)題2.12.2子群 1. 子群 2. 元素的階 習(xí)題2.22.3循環(huán)群和生成群，群的同構(gòu) 1. 循環(huán)群和生成群 2. 群的同構(gòu) 3. 循環(huán)群的性質(zhì) 習(xí)題2.32.4變換群和置換群，Cayley定理 1. 置換群 2. Cayley定理 習(xí)題2.42.5子群的陪集和Lagrange定理 1. 子群的陪集 2. 子群的指數(shù)和Lagrange定理 習(xí)題2.52.6正規(guī)子群和商群 1. 正規(guī)子群的概念 2. 正規(guī)子群的性質(zhì) 3. 商群 4. 單群 習(xí)題2.62.7共軛元和共軛子群 1. 中心和中心化子 2. 共軛元和共軛類 3. 共軛子群與正規(guī)化子 4. 置換群的共軛類 習(xí)題2.72.8群的同態(tài) 1. 群的同態(tài) 2. 同態(tài)基本定理 3. 有關(guān)同態(tài)的定理 4. 自同態(tài)與自同構(gòu) 習(xí)題2.82.9群對集合的作用，Burnside引理 1. 群對集合的作用 2. 軌道與穩(wěn)定子群 3. Burnside引理 習(xí)題2.92.10應(yīng)用舉例 1. 項鏈問題 2. 分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題 3. 正多面體著色問題 4. 開關(guān)線路的計數(shù)問題 5. 圖的計數(shù)問題 6. RSA密碼系統(tǒng)的加密與解密變換 7. 二次同余方程 習(xí)題2.102.11群的直積和有限可換群 1. 群的直積 2. 有限可換群的結(jié)構(gòu) 習(xí)題2.112.12有限群的結(jié)構(gòu)，Sylow定理 1. p?子群與Sylow p?子群 2. Sylow定理 習(xí)題2.12第2章小結(jié)第3章 環(huán)論3.1環(huán)的定義和基本性質(zhì) 1. 環(huán)的定義 2. 環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質(zhì) 3. 環(huán)的分類 習(xí)題3.13.2子環(huán)、理想和商環(huán) 1. 子環(huán) 2. 生成子環(huán)和生成理想 3. 商環(huán) 習(xí)題3.23.3環(huán)的同構(gòu)與同態(tài) 1. 同構(gòu)與同態(tài) 2. 有關(guān)同態(tài)的一些定理 3. 分式域 習(xí)題3.33.4整環(huán)中的因子分解 1. 一些基本概念 2. 既約元和素元 3. 最大公因子 習(xí)題3.43.5惟一分解整環(huán) 1. 惟一分解整環(huán)及其性質(zhì) 2. 主理想整環(huán) 3. 歐氏整環(huán) 習(xí)題3.53.6多項式分解問題 1. 本原多項式及其性質(zhì) 2. D［x］的分解性質(zhì) 3. 多項式的可約性判斷 習(xí)題3.63.7應(yīng)用舉例 1. 編碼問題 2. 多項式編碼方法及其實現(xiàn) 習(xí)題3.7第3章小結(jié)第4章 域論4.1域和域的擴張，幾何作圖問題 1. 域的特征和素域 2. 擴張次數(shù)，代數(shù)元和超越元 3. 添加元素的擴張 4. 代數(shù)擴張與有限擴張 5. 幾何作圖問題 習(xí)題4.14.2分裂域，代數(shù)基本定理 1. 分裂域 2. 代數(shù)基本定理 習(xí)題4.24.3有限域，有限幾何 1. 有限域的構(gòu)造及惟一性 2. 有限域的元素的性質(zhì) 3. Zp\[x\]中多項式的根 4. 有限域的子域 5. 有限域的自同構(gòu)群 6. 有限域上的元素和多項式的性質(zhì) 7. 有限幾何 習(xí)題4.34.4單位根，分圓問題 1. 單位根 2. 分圓問題習(xí)題4.4第4章小結(jié)第5章 方程根式求解問題簡介5.1多項式的Galois群 1. 域和多項式的Galois群 2. 多項式的Galois群的置換表示 3. 多項式的Galois群的階 4. 多項式的Galois群的計算 習(xí)題5.15.2群的可解性和代數(shù)方程的根式求解問題 1. 群的可解性 2. 可解群的性質(zhì) 3. 代數(shù)方程的根式可解性 習(xí)題5.2第5章小結(jié)附錄 其他代數(shù)系簡介1. 格與布爾代數(shù)2. 模的概念及例3. 代數(shù)習(xí)題習(xí)題提示與答案符號索引名詞索引參考文獻
|
