本書通過大量豐富的實(shí)例，幫助讀者從基本的常微分方程向更多高級概念(偏微分方程、傅里葉級數(shù)和邊界值問題等)順利過渡。作者輕松的語言風(fēng)格使得書中的材料通俗易懂，尤其適合那些渴望了解更多和更深微積分知識的讀者。
本書強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)踐相結(jié)合，介紹了大量偏微分方程在工程和物理學(xué)方面的應(yīng)用，并且提供了相關(guān)數(shù)學(xué)證明和偏微分方程的原理。此外，本書的每一節(jié)后都配備了大量的習(xí)題，并提供了注釋、圖標(biāo)或重要的公式等，突出了書中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，方便讀者自學(xué)。
本書提倡讀者利用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)，旨在使讀者更直觀，更清晰地理解和掌握書中所講述的題材。讀者可以利用從作者網(wǎng)站上下載的Mathematica文件進(jìn)行上機(jī)實(shí)踐。
本書系統(tǒng)講解偏微分方程及其定解問題的求解方法，通過大量實(shí)例討論微分方程解的性質(zhì)，特別強(qiáng)調(diào)傅里葉級數(shù)在求解邊值問題中的作用。書中配有豐富的例題與習(xí)題，還采用“專題問題”較為系統(tǒng)地研究某個(gè)具體問題，補(bǔ)充和擴(kuò)展了正文內(nèi)容。
本書內(nèi)容豐富、推導(dǎo)嚴(yán)密，包含大量物理背景，為理解和掌握偏微分方程提供了有效途徑。本書可作為高等院校數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)學(xué)生的偏微分方程課程教材，同時(shí)也可作為工程技術(shù)人員、科技工作者的參考書。
目錄：
譯者序
前言
有用的公式
第1章 應(yīng)用與方法概述
1.1什么是偏微分方程
1.2求解并解釋偏微分方程
第2章 傅里葉級數(shù)
2.1周期函數(shù)
2.2傅里葉級數(shù)
2.3以任意數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)
2.4半幅展開：余弦級數(shù)和正弦級數(shù)
2.5均方逼近和帕塞瓦爾恒等式
2.6傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式
2.7受迫振動
2.8傅里葉級數(shù)表示定理的證明
2.9一致收斂性和傅里葉級數(shù)
2.10狄利克雷判別法和傅里葉級數(shù)收斂性
第3章 直角坐標(biāo)中的偏微分方程
3.1物理學(xué)和工程技術(shù)中的偏微分方程
3.2建模：弦振動和波動方程
3.3一維波動方程的求解：分離變量法
3.4達(dá)朗貝爾方法
3.5一維熱傳導(dǎo)方程
3.6棒中的熱傳導(dǎo)：各種邊界條件
3.7二維波動方程和熱傳導(dǎo)方程
3.8直角坐標(biāo)中的拉普拉斯方程
3.9泊松方程：特征函數(shù)展開法
3.10諾伊曼條件和羅賓條件
3.11最大值原理
第4章 極坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)中的偏微分方程
4.1各個(gè)坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子
4.2圓形膜的振動：對稱情況
4.3圓形膜的振動：一般情況
4.4圓域中的拉普拉斯方程
4.5圓柱體中的拉普拉斯方程
4.6亥姆霍茲方程和泊松方程
4.7貝塞爾方程和貝塞爾函數(shù)
4.8貝塞爾級數(shù)展開
4.9貝塞爾函數(shù)的積分公式和漸近式
第5章 球面坐標(biāo)中的偏微分方程
5.1問題和方法概述
5.2對稱狄利克雷問題
5.3球面調(diào)和函數(shù)和一般狄利克雷問題
5.4亥姆霍茲方程及其對泊松方程、熱傳導(dǎo)方程和波動方程的應(yīng)用
5.5勒讓德微分方程
5.6勒讓德多項(xiàng)式和勒讓德級數(shù)展開
5.7相伴勒讓德函數(shù)和相伴勒讓德級數(shù)展開
第6章 施圖姆-劉維爾理論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用
6.1正交函數(shù)
6.2施圖姆-劉維爾理論
6.3懸鏈
6.4四階施圖姆-劉維爾理論
6.5梁的彈性振動和屈曲
6.6雙調(diào)和算子
6.7圓盤的振動
第7章 傅里葉變換及其應(yīng)用
7.1傅里葉積分表示
7.2傅里葉變換
7.3傅里葉變換法
7.4熱傳導(dǎo)方程和高斯核
7.5狄利克雷問題和泊松積分公式
7.6傅里葉余弦變換和正弦變換
7.7半無限區(qū)間上的問題
7.8廣義函數(shù)
7.9非齊次熱傳導(dǎo)方程
7.10杜阿梅爾原理
第8章 拉普拉斯變換和漢克爾變換及其應(yīng)用
8.1拉普拉斯變換
8.2拉普拉斯變換的進(jìn)一步性質(zhì)
8.3拉普拉斯變換法
8.4漢克爾變換及其應(yīng)用
第9章 有限差分?jǐn)?shù)值方法
9.1熱傳導(dǎo)方程的有限差分法
9.2波動方程的有限差分法
9.3拉普拉斯方程的有限差分法
9.4拉普拉斯方程的迭代法
第10章 抽樣和離散傅里葉分析及其在偏微分方程中的應(yīng)用
10.1抽樣定理
10.2偏微分方程與抽樣定理
10.3離散傅里葉變換與快速傅里葉變換
10.4傅里葉變換與離散傅里葉變換
第11章 量子力學(xué)引論
11.1薛定諤方程
11.2氫原子
11.3海森伯格不定性原理
11.4埃爾米特多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式
第12章 格林函數(shù)和共形映射
12.1格林定理和恒等式
12.2調(diào)和函數(shù)和格林恒等式
12.3格林函數(shù)
12.4圓盤和上半平面的格林函數(shù)
12.5解析函數(shù)
12.6利用共形映射求解狄利克雷問題
12.7格林函數(shù)與共形映射
12.8諾伊曼函數(shù)和諾伊曼問題的解
附錄A 常微分方程：概念和方法的回顧
附錄B 變換表
參考文獻(xiàn)
部分習(xí)題答案
索引
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