本書(shū)是由Hardy、Littlewood和Pólya合著的一部經(jīng)典之作.作者詳盡地討論了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函數(shù)的平均值和凸函數(shù)理論、微積分的各種應(yīng)用、無(wú)窮級(jí)數(shù)、積分、變分法的一些應(yīng)用、關(guān)于雙線性形式和多線性形式的一些定理、Hilbert不等式及其推廣等內(nèi)容。.
本書(shū)適合于高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)本科生和研究生，以及對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的研究人員閱讀參考。..
作者簡(jiǎn)介
G. H. Hardy (1877－1947 ) 享有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)大師，英國(guó)分析學(xué)派的創(chuàng)始人之一。數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)涉及解析數(shù)論、調(diào)和分析、函數(shù)論等方面。培養(yǎng)和指導(dǎo)了包括印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金和我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)大家。
J. E. Littlewood（1885—1977）著名英國(guó)數(shù)學(xué)家。任劍橋大學(xué)教授多年，他也是英國(guó)分析學(xué)派的重要建立者，與G. H. Hardy長(zhǎng)期合作取得了豐碩的成果。在數(shù)論和分析學(xué)等方面貢獻(xiàn)很大。
G. Pólya（1887—1985）著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院院士。長(zhǎng)期擔(dān)任斯坦福大學(xué)教授。其數(shù)學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域。他撰寫的《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等闡述解題方法的著作有世界性影響。
目錄
第1章 導(dǎo)論 1 1.1 有限的、無(wú)限的、積分的不等式 1 1.2 記號(hào) 2 1.3 正不等式 2 1.4 齊次不等式 3 1.5 代數(shù)不等式的公理基礎(chǔ) 4 1.6 可比較的函數(shù) 5 1.7 證明的選擇 5 1.8 主題的選擇 7 第2章 初等平均值 9 2.1 常用平均 9 2.2 加權(quán)平均 10 2.3 Mr(a)的極限情形 11 2.4 Cauchy不等式 12 2.5 算術(shù)平均定理和幾何平均定理 13 2.6 平均值定理的其他證明 15 2.7 Hlder不等式及其推廣 17 2.8 Hlder不等式及其推廣(續(xù)) 19 2.9 平均值Mr(a)的一般性質(zhì) 21 2.10 和數(shù)Sr(a) 23 2.11 Minkowski不等式 24 2.12 Minkowski不等式的伴隨不等式 26 2.13 諸基本不等式的解說(shuō)和應(yīng)用 27 2.14 諸基本不等式的歸納證明 31 2.15 與定理37有關(guān)的初等不等式 32 2.16 定理3的初等證明 35 2.17 Tchebychef不等式 35 2.18 Muirhead定理 37 2.19 Muirhead定理的證明 38 2.20 兩個(gè)備擇定理 40 2.21 關(guān)于對(duì)稱平均的其他定理 41 2.22 n個(gè)正數(shù)的初等對(duì)稱函數(shù) 42 2.23 關(guān)于定型的一點(diǎn)說(shuō)明 45 2.24 關(guān)于嚴(yán)格正型的一個(gè)定理 47 2.25 各種定理及特例 50第3章 關(guān)于任意函數(shù)的平均，凸函數(shù)論 55 3.1 定義 55 3.2 等價(jià)平均 56 3.3 平均Mr的特征性質(zhì) 57 3.4 可比較性 59 3.5 凸函數(shù) 59 3.6 連續(xù)凸函數(shù) 60 3.7 關(guān)于凸函數(shù)的另一個(gè)定義 62 3.8 諸基本不等式中的等號(hào) 63 3.9 定理85的改述和推廣 64 3.10 二階可微的凸函數(shù) 65 3.11 二階可微的凸函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 66 3.12 多元凸函數(shù) 67 3.13 H?lder不等式的推廣 69 3.14 關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些定理 70 3.15 關(guān)于任意函數(shù)的和數(shù)：Jensen不等式的推廣 71 3.16 Minkowski不等式的推廣 72 3.17 集合的比較 75 3.18 凸函數(shù)的一般性質(zhì) 77 3.19 連續(xù)凸函數(shù)的其他性質(zhì) 79 3.20 不連續(xù)的凸函數(shù) 81 3.21 各種定理及特例 82 第4章 微積分學(xué)的若干應(yīng)用 87 4.1 導(dǎo)引 87 4.2 中值定理的應(yīng)用 87 4.3 初等微分學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用 88 4.4 一元函數(shù)的極大和極小 91 4.5 Taylor級(jí)數(shù)的使用 91 4.6 多元函數(shù)的極大極小理論的應(yīng)用 92 4.7 級(jí)數(shù)與積分的比較 94 4.8 W.H.Young的一個(gè)不等式 95第5章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 98 5.1 導(dǎo)引 98 5.2 平均值Mr 99 5.3 定理3和定理9的推廣 101 5.4 H?lder不等式及其推廣 102 5.5 平均值Mr(續(xù)) 104 5.6 和數(shù)Sr 104 5.7 Minkowski不等式 105 5.8 Tchebychef不等式 106 5.9 小結(jié) 106 5.10 各種定理及特例 106 第6章 積分 109 6.1 關(guān)于Lebesgue積分的一些初步說(shuō)明 109 6.2 關(guān)于零集和零函數(shù)的說(shuō)明 110 6.3 有關(guān)積分的進(jìn)一步說(shuō)明 111 6.4 關(guān)于證法的說(shuō)明 113 6.5 關(guān)于方法的進(jìn)一步說(shuō)明：Schwarz不等式 114 6.6 當(dāng)r≠0時(shí)平均值Mr(f)的定義 115 6.7 函數(shù)的幾何平均 117 6.8 幾何平均的其他性質(zhì) 119 6.9 關(guān)于積分的H?lder不等式 120 6.10 平均Mr(f)的一般性質(zhì) 123 6.11 平均Mr(f)的一般性質(zhì)(續(xù)) 125 6.12 nMrr的凸性 126 6.13 關(guān)于積分的Minkowski不等式 126 6.14 關(guān)于任意函數(shù)的平均值 131 6.15 Stieltjes積分的定義 133 6.16 Stieltjes積分的特別情形 134 6.17 前面一些定理的推廣 135 6.18 平均Mr(f;Ф) 136 6.19 分布函數(shù) 137 6.20 平均值的特征化 138 6.21 關(guān)于特征性質(zhì)的說(shuō)明 139 6.22 完成定理215的證明 140 6.23 各種定理及特例 142第7章 變分法的一些應(yīng)用 151 7.1 一些一般性的說(shuō)明 151 7.2 本章的目的 152 7.3 對(duì)應(yīng)于不可達(dá)到的極值的不等式的例子 153 7.4 定理254的第一個(gè)證明 154 7.5 定理254的第二個(gè)證明 156 7.6 用來(lái)闡明變分法的其他例子 159 7.7 進(jìn)一步的例子：Wirtinger不等式 161 7.8 包含二階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)例子 164 7.9 一個(gè)較簡(jiǎn)單的定理 169 7.10 各種定理及特例 169 第8章 關(guān)于雙線性形式和多線性形式的一些定理 172 8.1 導(dǎo)引 172 8.2 帶有正變量和正系數(shù)的多線性形式的不等式 172 8.3 W.H.Young的一個(gè)定理 174 8.4 推廣和類似情形 176 8.5 在Fourier級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 178 8.6 關(guān)于正的多線性形式的凸性定理 179 8.7 一般的雙線性形式 180 8.8 有界雙線性形式的定義 182 8.9�。踦,q］中有界形式的一些性質(zhì) 183 8.10�。踦,p′］中兩種形式的卷積 184 8.11 關(guān)于［2，2］中諸形式的一些特有定理 186 8.12 在Hilbert形式中的應(yīng)用 187 8.13 關(guān)于帶有復(fù)變量和系數(shù)的雙線性形式的凸性定理 188 8.14 最大組(x,y)的進(jìn)一步的性質(zhì) 190 8.15 定理295的證明 191 8.16 M.Riesz定理的應(yīng)用 193 8.17 在Fourier級(jí)數(shù)上的應(yīng)用 194 8.18 各種定理及特例 195 第9章 Hilbert不等式及其類似情形和推廣 200 9.1 Hilbert二重級(jí)數(shù)定理 200 9.2 一類廣泛的雙線性形式 201 9.3 關(guān)于積分的相應(yīng)定理 203 9.4 定理318和定理319的推廣 204 9.5 最佳常數(shù)：定理317的證明 205 9.6 關(guān)于Hilbert定理的進(jìn)一步論述 207 9.7 Hilbert定理的應(yīng)用 209 9.8 Hardy不等式 212 9.9 進(jìn)一步的積分不等式 215 9.10 關(guān)于級(jí)數(shù)的進(jìn)一步定理 218 9.11 從關(guān)于積分的定理推出關(guān)于級(jí)數(shù)的定理 219 9.12 Carleman不等式 220 9.13 當(dāng)0＜p＜1時(shí)的定理 222 9.14 帶有兩個(gè)參數(shù)p和q的一個(gè)定理 224 9.15 各種定理及特例 225第10章 重新排列 231 10.1 有限變量集的重新排列 231 10.2 有關(guān)兩個(gè)集的重新排列的一個(gè)定理 232 10.3 定理368的第二個(gè)證明 233 10.4 定理368的改述 234 10.5 有關(guān)三個(gè)集的重新排列定理 235 10.6 將定理373化為一種特殊情形 236 10.7 證明的完成 238 10.8 定理371的另一種證明 240 10.9 任意多個(gè)集的重新排列 242 10.10 關(guān)于任意多個(gè)集的重新排列的另一個(gè)定理 243 10.11 應(yīng)用 245 10.12 函數(shù)的重新排列 245 10.13 關(guān)于兩個(gè)函數(shù)的重新排列 247 10.14 關(guān)于三個(gè)函數(shù)的重新排列 247 10.15 完成定理379的證明 249 10.16 定理379的另一個(gè)證明 252 10.17 應(yīng)用 255 10.18 關(guān)于將函數(shù)按降序重新排列的另外一個(gè)定理 258 10.19 定理384的證明 259 10.20 各種定理及特例 262附錄A 關(guān)于嚴(yán)格正型 267附錄B Thorin關(guān)于定理295的證明及推廣 270附錄C 關(guān)于Hilbert不等式 272參考文獻(xiàn) 274
第1章 導(dǎo)論 1 1.1 有限的、無(wú)限的、積分的不等式 1 1.2 記號(hào) 2 1.3 正不等式 2 1.4 齊次不等式 3 1.5 代數(shù)不等式的公理基礎(chǔ) 4 1.6 可比較的函數(shù) 5 1.7 證明的選擇 5 1.8 主題的選擇 7 第2章 初等平均值 9 2.1 常用平均 9 2.2 加權(quán)平均 10 2.3 Mr(a)的極限情形 11 2.4 Cauchy不等式 12 2.5 算術(shù)平均定理和幾何平均定理 13 2.6 平均值定理的其他證明 15 2.7 Hlder不等式及其推廣 17 2.8 Hlder不等式及其推廣(續(xù)) 19 2.9 平均值Mr(a)的一般性質(zhì) 21 2.10 和數(shù)Sr(a) 23 2.11 Minkowski不等式 24 2.12 Minkowski不等式的伴隨不等式 26 2.13 諸基本不等式的解說(shuō)和應(yīng)用 27 2.14 諸基本不等式的歸納證明 31 2.15 與定理37有關(guān)的初等不等式 32 2.16 定理3的初等證明 35 2.17 Tchebychef不等式 35 2.18 Muirhead定理 37 2.19 Muirhead定理的證明 38 2.20 兩個(gè)備擇定理 40 2.21 關(guān)于對(duì)稱平均的其他定理 41 2.22 n個(gè)正數(shù)的初等對(duì)稱函數(shù) 42 2.23 關(guān)于定型的一點(diǎn)說(shuō)明 45 2.24 關(guān)于嚴(yán)格正型的一個(gè)定理 47 2.25 各種定理及特例 50第3章 關(guān)于任意函數(shù)的平均，凸函數(shù)論 55 3.1 定義 55 3.2 等價(jià)平均 56 3.3 平均Mr的特征性質(zhì) 57 3.4 可比較性 59 3.5 凸函數(shù) 59 3.6 連續(xù)凸函數(shù) 60 3.7 關(guān)于凸函數(shù)的另一個(gè)定義 62 3.8 諸基本不等式中的等號(hào) 63 3.9 定理85的改述和推廣 64 3.10 二階可微的凸函數(shù) 65 3.11 二階可微的凸函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 66 3.12 多元凸函數(shù) 67 3.13 H?lder不等式的推廣 69 3.14 關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些定理 70 3.15 關(guān)于任意函數(shù)的和數(shù)：Jensen不等式的推廣 71 3.16 Minkowski不等式的推廣 72 3.17 集合的比較 75 3.18 凸函數(shù)的一般性質(zhì) 77 3.19 連續(xù)凸函數(shù)的其他性質(zhì) 79 3.20 不連續(xù)的凸函數(shù) 81 3.21 各種定理及特例 82 第4章 微積分學(xué)的若干應(yīng)用 87 4.1 導(dǎo)引 87 4.2 中值定理的應(yīng)用 87 4.3 初等微分學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用 88 4.4 一元函數(shù)的極大和極小 91 4.5 Taylor級(jí)數(shù)的使用 91 4.6 多元函數(shù)的極大極小理論的應(yīng)用 92 4.7 級(jí)數(shù)與積分的比較 94 4.8 W.H.Young的一個(gè)不等式 95第5章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 98 5.1 導(dǎo)引 98 5.2 平均值Mr 99 5.3 定理3和定理9的推廣 101 5.4 H?lder不等式及其推廣 102 5.5 平均值Mr(續(xù)) 104 5.6 和數(shù)Sr 104 5.7 Minkowski不等式 105 5.8 Tchebychef不等式 106 5.9 小結(jié) 106 5.10 各種定理及特例 106 第6章 積分 109 6.1 關(guān)于Lebesgue積分的一些初步說(shuō)明 109 6.2 關(guān)于零集和零函數(shù)的說(shuō)明 110 6.3 有關(guān)積分的進(jìn)一步說(shuō)明 111 6.4 關(guān)于證法的說(shuō)明 113 6.5 關(guān)于方法的進(jìn)一步說(shuō)明：Schwarz不等式 114 6.6 當(dāng)r≠0時(shí)平均值Mr(f)的定義 115 6.7 函數(shù)的幾何平均 117 6.8 幾何平均的其他性質(zhì) 119 6.9 關(guān)于積分的H?lder不等式 120 6.10 平均Mr(f)的一般性質(zhì) 123 6.11 平均Mr(f)的一般性質(zhì)(續(xù)) 125 6.12 nMrr的凸性 126 6.13 關(guān)于積分的Minkowski不等式 126 6.14 關(guān)于任意函數(shù)的平均值 131 6.15 Stieltjes積分的定義 133 6.16 Stieltjes積分的特別情形 134 6.17 前面一些定理的推廣 135 6.18 平均Mr(f;Ф) 136 6.19 分布函數(shù) 137 6.20 平均值的特征化 138 6.21 關(guān)于特征性質(zhì)的說(shuō)明 139 6.22 完成定理215的證明 140 6.23 各種定理及特例 142第7章 變分法的一些應(yīng)用 151 7.1 一些一般性的說(shuō)明 151 7.2 本章的目的 152 7.3 對(duì)應(yīng)于不可達(dá)到的極值的不等式的例子 153 7.4 定理254的第一個(gè)證明 154 7.5 定理254的第二個(gè)證明 156 7.6 用來(lái)闡明變分法的其他例子 159 7.7 進(jìn)一步的例子：Wirtinger不等式 161 7.8 包含二階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)例子 164 7.9 一個(gè)較簡(jiǎn)單的定理 169 7.10 各種定理及特例 169 第8章 關(guān)于雙線性形式和多線性形式的一些定理 172 8.1 導(dǎo)引 172 8.2 帶有正變量和正系數(shù)的多線性形式的不等式 172 8.3 W.H.Young的一個(gè)定理 174 8.4 推廣和類似情形 176 8.5 在Fourier級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 178 8.6 關(guān)于正的多線性形式的凸性定理 179 8.7 一般的雙線性形式 180 8.8 有界雙線性形式的定義 182 8.9�。踦,q］中有界形式的一些性質(zhì) 183 8.10�。踦,p′］中兩種形式的卷積 184 8.11 關(guān)于［2，2］中諸形式的一些特有定理 186 8.12 在Hilbert形式中的應(yīng)用 187 8.13 關(guān)于帶有復(fù)變量和系數(shù)的雙線性形式的凸性定理 188 8.14 最大組(x,y)的進(jìn)一步的性質(zhì) 190 8.15 定理295的證明 191 8.16 M.Riesz定理的應(yīng)用 193 8.17 在Fourier級(jí)數(shù)上的應(yīng)用 194 8.18 各種定理及特例 195 第9章 Hilbert不等式及其類似情形和推廣 200 9.1 Hilbert二重級(jí)數(shù)定理 200 9.2 一類廣泛的雙線性形式 201 9.3 關(guān)于積分的相應(yīng)定理 203 9.4 定理318和定理319的推廣 204 9.5 最佳常數(shù)：定理317的證明 205 9.6 關(guān)于Hilbert定理的進(jìn)一步論述 207 9.7 Hilbert定理的應(yīng)用 209 9.8 Hardy不等式 212 9.9 進(jìn)一步的積分不等式 215 9.10 關(guān)于級(jí)數(shù)的進(jìn)一步定理 218 9.11 從關(guān)于積分的定理推出關(guān)于級(jí)數(shù)的定理 219 9.12 Carleman不等式 220 9.13 當(dāng)0＜p＜1時(shí)的定理 222 9.14 帶有兩個(gè)參數(shù)p和q的一個(gè)定理 224 9.15 各種定理及特例 225第10章 重新排列 231 10.1 有限變量集的重新排列 231 10.2 有關(guān)兩個(gè)集的重新排列的一個(gè)定理 232 10.3 定理368的第二個(gè)證明 233 10.4 定理368的改述 234 10.5 有關(guān)三個(gè)集的重新排列定理 235 10.6 將定理373化為一種特殊情形 236 10.7 證明的完成 238 10.8 定理371的另一種證明 240 10.9 任意多個(gè)集的重新排列 242 10.10 關(guān)于任意多個(gè)集的重新排列的另一個(gè)定理 243 10.11 應(yīng)用 245 10.12 函數(shù)的重新排列 245 10.13 關(guān)于兩個(gè)函數(shù)的重新排列 247 10.14 關(guān)于三個(gè)函數(shù)的重新排列 247 10.15 完成定理379的證明 249 10.16 定理379的另一個(gè)證明 252 10.17 應(yīng)用 255 10.18 關(guān)于將函數(shù)按降序重新排列的另外一個(gè)定理 258 10.19 定理384的證明 259 10.20 各種定理及特例 262附錄A 關(guān)于嚴(yán)格正型 267附錄B Thorin關(guān)于定理295的證明及推廣 270附錄C 關(guān)于Hilbert不等式 272參考文獻(xiàn) 274
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