《微積分原理與嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)》由兩部分組成，重點討論兩個課題，即微積分的基本原理和微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。第一部分以函數(shù)的非均勻性兩種分類為視角，從研究對象、處理問題的方法、運算之間的聯(lián)系和定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等不同側(cè)面，對導(dǎo)數(shù)與積分的內(nèi)涵和二者之間的互逆關(guān)系作了全面分析，并由此提煉出微積分的基本原理。第二部分對微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)的三個組成部分（集論、ε－ζ語言和實數(shù)理論）作了系統(tǒng)的討論，對ε－ζ語言的實質(zhì)、確定實數(shù)系的公理化方法作了深入的評析�！段⒎e分原理與嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)》可供學(xué)習(xí)微積分和數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)生和授課老師參考。
目錄
第一部分 微積分原理 1 引言 2 函數(shù)、極限和連續(xù)性 2.1 函數(shù) 2.2 極限 2.3 連續(xù)性 3 微分學(xué)最基本的概念——導(dǎo)數(shù) 3.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的問題 3.2 導(dǎo)數(shù)概念 3.3 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計算 4 微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用 4.1 拉格朗日中值定理 4.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 5 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例 6 積分學(xué)最基本的概念——定積分 6.1 引出定積分概念的問題 6.2 定積分定義 6.3 定積分的幾何意義 6.4 關(guān)于面積公理 7 關(guān)于定積分定義的補(bǔ)充說明 7.1 定積分定義的各種表述 7.2 評注與建議 8 微積分基本定理 8.1 牛頓-萊布尼茨公式 8.2 廣義斯托克斯公式 9 定積分應(yīng)用舉例 9.1 幾何應(yīng)用 9.2 物理應(yīng)用 9.3 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 9.4 浦豐小針問題 10 微積分的基本原理 10.1 導(dǎo)數(shù)與積分的互逆關(guān)系 10.2 微積分的基本原理第二部分 微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ) 11 引言 12 集論基礎(chǔ) 12.1 基本概念 12.2 集代數(shù) 12.3 點集拓?fù)? 13 無窮集 13.1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 13.2 悖論 13.3 公理集論簡介 14 集論對于構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)的作用 14.1 集是各種不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本框架 14.2 集論語言有助于精確刻畫數(shù)學(xué)概念 14.3 佐恩引理 15 關(guān)于鄰域?qū)?yīng)思想(ε-δ語言) 15.1 牛頓和萊布尼茨 15.2 對微積分基礎(chǔ)的質(zhì)疑 15.3 極限的ε-δ定義 15.4 ε-δ語言的實質(zhì) 15.5 鄰域?qū)?yīng)思想 16 建立實數(shù)系的幾種方案 16.1 從有理數(shù)系擴(kuò)張到實數(shù)系的方案 16.2 確定實數(shù)系的公理化方法 16.3 幾種方案的比較 17 阿基米德性質(zhì)實數(shù)的十進(jìn)小數(shù)逼近 17.1 阿基米德性質(zhì) 17.2 實數(shù)的有限十進(jìn)小數(shù)逼近 17.3 實數(shù)的幾何表示 18 實數(shù)理論是微積分的邏輯基礎(chǔ) 18.1 怎樣證明根號2是無理數(shù) 18.2 關(guān)于函數(shù)的定義 18.3 關(guān)于連續(xù)函數(shù)的幾個重要定理 18.4 實數(shù)系的完備性 18.5 關(guān)于緊性
第一部分 微積分原理 1 引言 2 函數(shù)、極限和連續(xù)性 2.1 函數(shù) 2.2 極限 2.3 連續(xù)性 3 微分學(xué)最基本的概念——導(dǎo)數(shù) 3.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的問題 3.2 導(dǎo)數(shù)概念 3.3 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計算 4 微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用 4.1 拉格朗日中值定理 4.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 5 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例 6 積分學(xué)最基本的概念——定積分 6.1 引出定積分概念的問題 6.2 定積分定義 6.3 定積分的幾何意義 6.4 關(guān)于面積公理 7 關(guān)于定積分定義的補(bǔ)充說明 7.1 定積分定義的各種表述 7.2 評注與建議 8 微積分基本定理 8.1 牛頓-萊布尼茨公式 8.2 廣義斯托克斯公式 9 定積分應(yīng)用舉例 9.1 幾何應(yīng)用 9.2 物理應(yīng)用 9.3 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 9.4 浦豐小針問題 10 微積分的基本原理 10.1 導(dǎo)數(shù)與積分的互逆關(guān)系 10.2 微積分的基本原理第二部分 微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ) 11 引言 12 集論基礎(chǔ) 12.1 基本概念 12.2 集代數(shù) 12.3 點集拓?fù)? 13 無窮集 13.1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 13.2 悖論 13.3 公理集論簡介 14 集論對于構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)的作用 14.1 集是各種不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本框架 14.2 集論語言有助于精確刻畫數(shù)學(xué)概念 14.3 佐恩引理 15 關(guān)于鄰域?qū)?yīng)思想(ε-δ語言) 15.1 牛頓和萊布尼茨 15.2 對微積分基礎(chǔ)的質(zhì)疑 15.3 極限的ε-δ定義 15.4 ε-δ語言的實質(zhì) 15.5 鄰域?qū)?yīng)思想 16 建立實數(shù)系的幾種方案 16.1 從有理數(shù)系擴(kuò)張到實數(shù)系的方案 16.2 確定實數(shù)系的公理化方法 16.3 幾種方案的比較 17 阿基米德性質(zhì)實數(shù)的十進(jìn)小數(shù)逼近 17.1 阿基米德性質(zhì) 17.2 實數(shù)的有限十進(jìn)小數(shù)逼近 17.3 實數(shù)的幾何表示 18 實數(shù)理論是微積分的邏輯基礎(chǔ) 18.1 怎樣證明根號2是無理數(shù) 18.2 關(guān)于函數(shù)的定義 18.3 關(guān)于連續(xù)函數(shù)的幾個重要定理 18.4 實數(shù)系的完備性 18.5 關(guān)于緊性
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