本書(shū)是由美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家撰寫(xiě)的經(jīng)典教材，不僅介紹了向量代數(shù)、線性空間、線性變換、矩陣、行列式和二次型等傳統(tǒng)授課內(nèi)容，還介紹了線性代數(shù)在微分方程中的應(yīng)用。書(shū)中內(nèi)容獨(dú)具特色，自成體系，理論和應(yīng)用并重。書(shū)中習(xí)題豐富，并且提供了習(xí)題解答，便于課堂教學(xué)或自學(xué)。
本書(shū)篇幅適中，敘述簡(jiǎn)潔，通俗易懂，是一本非常好的線性代數(shù)入門(mén)教材，已被很多學(xué)校采用。
作者簡(jiǎn)介
Tom M. Apostol 加州理工學(xué)院榮休教授，著名的解析數(shù)論專家和數(shù)學(xué)教育家，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和科學(xué)發(fā)展協(xié)會(huì)會(huì)士。1923年出生于美國(guó)猶他州，父母均為希臘移民。分別于1946年和1948年獲得華盛頓大學(xué)西雅圖分校碩士學(xué)位和加州大學(xué)伯克利分校博士學(xué)位，此后在加州大學(xué)伯克利分校和MIT任教，1950年加入加州理工學(xué)院。2001年當(dāng)選雅典科學(xué)院通訊院士。Apostol教授著述頗豐，除本書(shū)外還著有《解析數(shù)論導(dǎo)引》、《微積分》（卷Ⅰ和卷Ⅱ）以及《數(shù)學(xué)分析》等專著和教材，在國(guó)際上產(chǎn)生重要影響。
目錄：
第0 章預(yù)備知識(shí) 1
I與微積分無(wú)關(guān)的預(yù)備知識(shí) 1
0.1 用直線上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù) 1
0.2 用平面上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)對(duì) 1
0.3 極坐標(biāo) 3
0.4 復(fù)數(shù) 4
0.5 復(fù)數(shù)的定義與代數(shù)性質(zhì) 4
0.6 復(fù)數(shù)作為實(shí)數(shù)的推廣 6
0.7 虛數(shù)單位i 6
0.8 習(xí)題 7
0.9 幾何解釋?模與輻角 7
0.10 共軛復(fù)數(shù) 9
0.11 習(xí)題 9
0.12 數(shù)學(xué)歸納法 10
0.13 習(xí)題 12
0.14 必要條件和充分條件 12
II關(guān)于微積分的預(yù)備知識(shí) 13
0.15 導(dǎo)數(shù)概念 13
0.16 導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì) 14
0.17 一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 15
0.18 速度和加速度 15
0.19 面積問(wèn)題與積分學(xué)的歷史 16
0.20 用積分法構(gòu)造新函數(shù) 17
0.21 積分的基本性質(zhì) 17
0.22 指數(shù)函數(shù) 18
0.23 復(fù)指數(shù) 19
0.24 復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式 20
0.25 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù) 21
0.26 習(xí)題 22
第1 章向量代數(shù) 24
1.1 歷史背景 24
1.2 實(shí)n 元組組成的向量空間 25
1.3 n 6 3 時(shí)n 維向量的幾何描述 27
1.4 習(xí)題 29
1.5 點(diǎn)積 30
1.6 向量的模和范數(shù) 31
1.7 向量的正交 33
1.8 習(xí)題 34
1.9 投影? n 維空間中向量的夾角 35
1.10 單位坐標(biāo)向量 37
1.11 習(xí)題 38
1.12 有限向量組的線性生成集 40
1.13 線性無(wú)關(guān) 41
1.14 基 43
1.15 習(xí)題 44
1.16 復(fù)數(shù)的n 元組構(gòu)成的向量空間Cn 46
1.17 習(xí)題 47
第2 章向量代數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用 49
2.1 引言 49
2.2 n 維空間中的直線 50
2.3 Rn 中直線的一些簡(jiǎn)單性質(zhì) 51
2.4 n 維空間中的直線和向量值函數(shù) 52
2.5 三維空間和二維空間中的直線 53
2.6 習(xí)題 55
2.7 n 維歐氏空間中的平面 56
2.8 平面和向量值函數(shù) 59
2.9 習(xí)題 59
2.10 R3 中兩向量的叉積 61
2.11 用行列式表示叉積 63
2.12 習(xí)題 65
2.13 純量三重積 66
2.14 解三元線性方程組的Cramer 法則 68
2.15 習(xí)題 69
2.16 R3 中平面的法向量 70
2.17 R3 中平面的線性笛卡兒方程 72
2.18 習(xí)題 73
2.19 二次曲線 74
2.20 二次曲線的離心率77
2.21 二次曲線的極坐標(biāo)方程78
2.22 習(xí)題 79
2.23 一般二次曲線的笛卡兒方程 80
2.24 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的二次曲線 81
2.25 橢圓和雙曲線在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的笛卡兒方程 82
2.26 拋物線的笛卡兒方程 84
2.27 習(xí)題 85
2.28 關(guān)于二次曲線的綜合性習(xí)題 86
第3 章線性空間 88
3.1 引言 88
3.2 線性空間的公理化定義 88
3.3 線性空間的實(shí)例 89
3.4 公理的簡(jiǎn)單推論 91
3.5 習(xí)題 92
3.6 線性空間的子空間 93
3.7 線性空間的線性相關(guān)組和線性無(wú)關(guān)組 94
3.8 基與維數(shù) 97
3.9 分量 98
3.10 習(xí)題 99
3.11 內(nèi)積?歐氏空間?范數(shù) 100
3.12 歐氏空間中的正交性 103
3.13 習(xí)題 105
3.14 正交組的構(gòu)造? Gram-Schmidt 方法 107
3.15 正交補(bǔ)?投影 111
3.16 用有限維子空間中的元素給出歐氏空間中元素的最優(yōu)逼近 112
3.17 習(xí)題 114
第4 章線性變換?矩陣 115
4.1 線性變換 115
4.2 零化空間?值域 116
4.3 零化度?秩 117
4.4 習(xí)題 119
4.5 線性變換的代數(shù)運(yùn)算 120
4.6 逆 122
4.7 一一線性變換 124
4.8 習(xí)題 125
4.9 基元素的象為指定值的線性變換 127
4.10 線性變換的矩陣表示 127
4.11 對(duì)角形矩陣表示的構(gòu)造 132
4.12 習(xí)題 134
4.13 矩陣組成的線性空間 135
4.14 線性變換與矩陣之間的同構(gòu) 136
4.15 矩陣的乘法 138
4.16 習(xí)題 140
4.17 在線性方程組中的應(yīng)用 142
4.18 計(jì)算技術(shù)? Gauss-Jordan消元法 144
4.19 方陣的逆 148
4.20 習(xí)題 152
4.21 關(guān)于矩陣的綜合性習(xí)題 153
第5 章行列式 155
5.1 引言 155
5.2 行列式函數(shù)公理的選擇 156
5.3 行列式函數(shù)的公理 157
5.4 對(duì)角矩陣的行列式 158
5.5 上三角形矩陣的行列式 159
5.6 用Gauss-Jordan 消元法計(jì)算行列式 160
5.7 行列式函數(shù)的唯一性 160
5.8 習(xí)題 161
5.9 行列式的多重線性性 162
5.10 多重線性性的應(yīng)用 164
5.11 行列式的乘積公式 165
5.12 非奇異矩陣的逆矩陣的行列式 166
5.13 行列式與向量組的線性無(wú)關(guān)性 166
5.14 分塊對(duì)角矩陣的行列式 167
5.15 習(xí)題 168
5.16 行列式關(guān)于余子式的展開(kāi)式 169
5.17 余子式矩陣 170
5.18 Cramer 法則 171
5.19 行列式按子式的展開(kāi)式 172
5.20 習(xí)題 175
5.21 行列式函數(shù)的存在性 175
5.22 關(guān)于行列式的綜合性習(xí)題 178
第6 章特征值與特征向量 180
6.1 具有對(duì)角矩陣表示的線性變換 180
6.2 線性變換的特征值與特征向量 181
6.3 屬于不同特征值的特征向量的線性無(wú)關(guān)性 183
6.4 習(xí)題 184
6.5 有限維線性空間 185
6.6 三角化定理 186
6.7 特征多項(xiàng)式 189
6.8 有限維情形下特征值與特征向量的計(jì)算 190
6.9 特征多項(xiàng)式根的積與和 193
6.10 習(xí)題 194
6.11 表示同一個(gè)線性變換的矩陣?相似矩陣 195
6.12 習(xí)題 199
6.13 Cayley-Hamilton 定理 200
6.14 習(xí)題 202
6.15 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 203
6.16 關(guān)于特征值與特征向量的綜合性習(xí)題 206
第7 章歐氏空間中線性變換的特征值 208
7.1 特征值與內(nèi)積 208
7.2 Hermite 變換與斜Hermite變換 209
7.3 屬于不同特征值的特征向量的正交性 210
7.4 習(xí)題 210
7.5 有限維空間中Hermite算子和斜Hermite 算子的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組的存在性 211
7.6 Hermite 算子與斜Hermite算子的矩陣表示 212
7.7 Hermite 矩陣和斜Hermite矩陣?伴隨矩陣 213
7.8 Hermite 矩陣與斜Hermite矩陣的對(duì)角化 214
7.9 酉矩陣?正交矩陣 215
7.10 習(xí)題 216
7.11 二次型 218
7.12 將實(shí)二次型化為對(duì)角形 220
7.13 對(duì)二次曲線的應(yīng)用 221
7.14 習(xí)題 225
7.15 正定二次型 226
7.16 由二次型的值求對(duì)稱變換的特征值 227
7.17 對(duì)稱線性變換的極值性質(zhì) 228
7.18 有限維情形 229
7.19 酉變換 230
7.20 習(xí)題 233
7.21 作用在函數(shù)空間上的對(duì)稱算子和斜對(duì)稱算子 233
7.22 習(xí)題 235
第8 章在線性微分方程中的應(yīng)用 237
8.1 引言 237
8.2 關(guān)于一階與二階線性微分方程的結(jié)果的回顧 238
8.3 習(xí)題 239
8.4 n 階線性微分方程 240
8.5 存在唯一性定理 241
8.6 齊次線性微分方程解空間的維數(shù) 242
8.7 常系數(shù)線性算子的代數(shù) 242
8.8 由算子的因式分解求常系數(shù)線性微分方程解的一組基 244
8.9 習(xí)題 247
8.10 齊次方程與非齊次方程之間的關(guān)系 248
8.11 求非齊次方程的一個(gè)特解?參數(shù)變易法 249
8.12 齊次線性微分方程n 線性無(wú)關(guān)解的Wronski矩陣的非奇異性 252
8.13 求非齊次方程特解的特殊方法?化為一階線性微分方程組 254
8.14 求非齊次微分方程特解的零化子方法 254
8.15 習(xí)題 257
第9 章在微分方程組理論中的應(yīng)用 260
9.1 引言 260
9.2 矩陣函數(shù)的微積分 262
9.3 矩陣冪級(jí)數(shù)?矩陣的范數(shù) 262
9.4 習(xí)題 264
9.5 指數(shù)矩陣 265
9.6 etA 所滿足的微分方程 265
9.7 矩陣微分方程F0(t) = AF(t)的解的唯一性定理 266
9.8 關(guān)于指數(shù)矩陣的指數(shù)定律 267
9.9 常系數(shù)齊次線性微分方程組的存在唯一性定理 268
9.10 在特殊情形下etA 的計(jì)算 269
9.11 習(xí)題 273
9.12 計(jì)算etA 的Putzer方法 274
9.13 在特殊情形下計(jì)算etA的方法 277
9.14 習(xí)題 279
9.15 常系數(shù)非齊次線性微分方程組 279
9.16 習(xí)題 282
9.17 一般線性微分方程組Y 0(t)=P(t)Y (t)+Q(t) 283
9.18 求解齊次線性方程組的冪級(jí)數(shù)方法 286
9.19 習(xí)題 287
第10 章逐次逼近法 288
10.1 引言 288
10.2 在齊次線性方程組Y 0(t)= A(t)Y (t) 中的應(yīng)用 288
10.3 逐次逼近序列的收斂性 289
10.4 用于一階非線性方程組的逐次逼近法 292
10.5 一階非線性方程組解的存在唯一性定理的證明 294
10.6 習(xí)題 295
10.7 逐次逼近與算子不動(dòng)點(diǎn) 297
10.8 賦范線性空間 297
10.9 收縮算子 298
10.10 關(guān)于收縮算子的不動(dòng)點(diǎn)定理 299
?10.11 不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用 301
習(xí)題解答 304
索引 328
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