變分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分，是一門與其他數(shù)學(xué)分支密切聯(lián)系、并有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)學(xué)科。近幾十年來，變分學(xué)不論是在理論上還是在應(yīng)用中都有了很大發(fā)展，與數(shù)學(xué)其他分支的聯(lián)系也更加緊密，已經(jīng)成為大學(xué)數(shù)學(xué)教育不可缺少的部分。
《變分學(xué)講義》是作者在北京大學(xué)為高年級(jí)本科生和低年級(jí)研究生開設(shè)“變分學(xué)”課程所用的講義。全書共二十講，分為三大部分：第一部分（一到八講）是經(jīng)典變分學(xué)的基本內(nèi)容，第二部分（九到十四講）重點(diǎn)介紹直接方法及其理論基礎(chǔ)，第三部分（十五到二十講）是專題選講。其材料的選取，內(nèi)容的編排，問題與概念的表述，以及證明的分析與講解均極具特色。
《變分學(xué)講義》適用于數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生、教師以及研究人員，也可供工科、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等專業(yè)的教師和學(xué)生使用參考。
作者簡(jiǎn)介：
張恭慶，數(shù)學(xué)家，1936年5月29日生于上海。1954年上海市南洋模范中學(xué)畢業(yè)后進(jìn)入北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系學(xué)習(xí)，1959年畢業(yè)后一直在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院任教。1959–1978年任北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系助教，由于其突出的貢獻(xiàn)，1978年5月和1983年2月，由北京大學(xué)分別破格晉升為副教授和教授，1991年當(dāng)選中國(guó)科學(xué)院院士，1994年當(dāng)選第三世界科學(xué)院(現(xiàn)發(fā)展中國(guó)家科學(xué)院)院士。 曾任北京大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。
1978年越級(jí)升副教授，1983年升教授，后被評(píng)為博士生導(dǎo)師。1978年底作為我國(guó)第一批赴美訪問學(xué)者。曾先后多次到歐美著名大學(xué)及研究所訪問與講學(xué)。1984年被國(guó)家遴選為“有突出貢獻(xiàn)的中青年科學(xué)家”，1990年被授予“全國(guó)高校先進(jìn)科技工作者”稱號(hào)。
以同調(diào)類的極小極大原理為基礎(chǔ)，把許多臨界點(diǎn)定理納入無(wú)窮維Morse理論，使幾種不同理論在這里匯合、交織，形成一個(gè)強(qiáng)有力的理論框架，由此發(fā)現(xiàn)了好幾個(gè)新的重要的臨界點(diǎn)定理，并使過去的許多結(jié)果的證明大為簡(jiǎn)化，所得結(jié)論也更為精確。這一理論被廣泛地應(yīng)用于非線性微分方程，特別是有幾何意義的偏微分方程的研究。此外還曾將一大類數(shù)理方程自由邊界問題抽象成帶間斷非線性項(xiàng)的偏微分方程，發(fā)展了集值映射拓?fù)涠群筒豢晌⒎汉呐R界點(diǎn)理論等工具，成功地解決了這類問題 。
1987年獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，1993年獲第三世界科學(xué)院數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，2007年獲教育部的高等學(xué)校教學(xué)名師獎(jiǎng)，2008年獲北京大學(xué)蔡元培獎(jiǎng)。
目錄：
前言
第一講變分學(xué)與變分問題1
§1.1 前言1
§1.2 泛函3
§1.3 典型例子3
§1.4 進(jìn)一步的例子7
第二講euler-lagrange 方程13
§2.1 函數(shù)極值必要條件之回顧13
§2.2 euler-lagrange 方程的推導(dǎo)14
§2.3 邊值條件19
§2.4 求解euler-lagrange 方程的例子21
第三講泛函極值的必要條件與充分條件29
§3.1 函數(shù)極值的再回顧29
§3.2 二階變分30
§3.3 legendre-hadamard 條件32
§3.4 jacobi 場(chǎng)34
§3.5 共軛點(diǎn)36
第四講強(qiáng)極小與極值場(chǎng)43
§4.1 強(qiáng)極小與弱極小43
§4.2 強(qiáng)極小值的必要條件與weierstrass 過度函數(shù)44
.§4.3 極值場(chǎng)與強(qiáng)極小值46
§4.4 mayer 場(chǎng), hilbert 不變積分52
§4.5 強(qiáng)極小值的充分條件54
§4.6 定理4.4 的證明(n ] 1 的情形)56
第五講hamilton-jacobi 理論61
§5.1 程函與carath′eodory 方程組61
§5.2 legendre 變換62
§5.3 hamilton 方程組64
§5.4 hamilton-jacobi 方程67
§5.5 jacobi 定理 69
第六講含多重積分的變分問題75
§6.1 euler-lagrange 方程的推導(dǎo)76
§6.2 邊值條件82
§6.3 二階變分83
§6.4 jacobi 場(chǎng)86
第七講約束極值問題91
§7.1 等周問題91
§7.2 逐點(diǎn)約束96
§7.3 變分不等式102
第八講守恒律與noether 定理107
§8.1 單參數(shù)微分同胚與noether 定理107
§8.2 能動(dòng)張量與noether 定理111
§8.3 內(nèi)極小117
§8.4 應(yīng)用119
第九講直接方法125
§9.1 dirichlet 原理與極小化方法125
§9.2 弱收斂與弱收斂127
§9.3 弱列緊性130
§9.4 自反空間與eberlein-schmulyan 定理135
第十講sobolev 空間139
§10.1 廣義導(dǎo)數(shù)139
§10.2 空間wm,p(ω) 140
§10.3 泛函表示143
§10.4 光滑化算子144
§10.5 sobolev 空間的重要性質(zhì)與嵌入定理145
§10.6 euler-lagrange 方程151
第十一講弱下半連續(xù)性157
§11.1 凸集與凸函數(shù)157
§11.2 凸性與弱下半連續(xù)性159
§11.3 一個(gè)存在性定理162
§11.4 擬凸性 163
第十二講線性微分方程的邊值問題與特征值問題171
§12.1 線性邊值問題與正交投影171
§12.2 特征值問題175
§12.3 特征展開179
§12.4 特征值的極小極大刻畫183
第十三講存在性與正則性187
§13.1 正則性(n=1) 188
§13.2 正則性續(xù)(n ] 1) 192
§13.3 幾個(gè)變分問題的求解194
§13.4 變分學(xué)的局限201
第十四講對(duì)偶作用原理與ekeland 變分原理203
§14.1 凸函數(shù)的共軛函數(shù)203
§14.2 對(duì)偶作用原理207
§14.3 ekeland 變分原理210
§14.4 fr'echet 導(dǎo)數(shù)與palais-smale 條件212
§14.5 nehari 技巧215
第十五講山路定理及其推廣與應(yīng)用219
§15.1 山路(mountain pass) 定理219
§15.2 應(yīng)用227
第十六講周期解、異宿軌與同宿軌235
§16.1 問題235
§16.2 周期解237
§16.3 異宿軌242
§16.4 同宿軌246
第十七講測(cè)地線與極小曲面251
§17.1 測(cè)地線251
§17.2 極小曲面255
第十八講變分問題的數(shù)值方法267
§18.1 ritz 方法267
§18.2 有限元269
§18.3 cea 定理274
§18.4 最優(yōu)化方法——共軛梯度法276
第十九講最優(yōu)控制問題283
§19.1 問題的提法283
§19.2 pontryagin 極大值原理287
§19.3 bang-bang 原理293
第二十講有界變差函數(shù)與圖像恢復(fù)295
§20.1 一元有界變差函數(shù)的回顧295
§20.2 多元有界變差函數(shù)299
§20.3 松弛函數(shù)305
§20.4 圖像恢復(fù)與rudin-osher-fatemi 模型307
參考文獻(xiàn)311
索引315
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