《從一元一次方程到伽羅瓦理論》共二十八章，是講解解多項(xiàng)式方程及數(shù)域上的伽羅瓦理論的一本入門(mén)讀物�！稄囊辉淮畏匠痰劫ち_瓦理論》按歷史發(fā)展從解一元一次方程講起，詳述了一元二次方程、一元三次方程，以及一元四次方程的各種解案，從而自然地引出了群、域，以及域的擴(kuò)張等概念。由此，《從一元一次方程到伽羅瓦理論》在討論了集合論后，用近代方法詳細(xì)闡明了對(duì)稱群、可遷群、可解群、有限擴(kuò)域、代數(shù)擴(kuò)域、正規(guī)擴(kuò)域以及伽羅瓦理論等，同時(shí)又引導(dǎo)讀者一步步地去解決一系列重大的古典難題，如尺規(guī)作圖問(wèn)題、三次實(shí)系數(shù)不可約方程的“不可簡(jiǎn)化情況”，以及伽羅瓦的根式可解判別定理等。
目錄：
第一部分解三次和四次多項(xiàng)式方程的故事
第一章一次和二次方程的求解
1.1一次方程的求解與數(shù)集的擴(kuò)張
1.2二次方程的求解與根式可解
第二章求解三次方程的故事
2.1波洛那的費(fèi)爾洛
2.2菲俄與塔爾塔里亞
2.3卡丹與費(fèi)拉里
第三章三次方程和四次方程的根式求解
3.1三次方程的根式求解
3.2赫德方法的數(shù)學(xué)背景
3.3四次方程的根式求解
第二部分向五次方程進(jìn)軍
第四章有關(guān)方程的一些理論
4.1韋達(dá)與根和系數(shù)的關(guān)系
4.2牛頓與牛頓定理
4.3歐拉與復(fù)數(shù)
4.41的根
第五章范德蒙與他的“根的對(duì)稱式表達(dá)”方法
5.1范德蒙與范德蒙方法
5.2用范德蒙方法解三次方程
第六章拉格朗日與他的預(yù)解式方法
6.1拉格朗日與他的預(yù)解式
6.2用拉格朗日方法解三次方程
6.3用拉格朗日方法解四次方程
6.4n=5時(shí)的情況
第七章高斯與代數(shù)基本定理
7.1高斯與代數(shù)基本定理
7.2分圓方程與它的根式求解
7.3開(kāi)方運(yùn)算的多值性與卡丹公式
第八章魯菲尼、阿貝爾與伽羅瓦
8.1被人遺忘的魯菲尼
8.2死于貧窮的阿貝爾
8.3死于愚蠢的伽羅瓦
第三部分一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
第九章集合與映射
9.1集合論中的一些基本概念
9.2集合間的映射
9.3集合A中的變換
9.4關(guān)系、等價(jià)關(guān)系與分類
9.5整數(shù)集合Z與同余關(guān)系
9.6算術(shù)基本定理與歐拉函數(shù)（n）
第十章群論基礎(chǔ)
10.1群的定義
10.2群與對(duì)稱性
10.3對(duì)稱群Sn
10.4子群與陪集
10.5正規(guī)子群與商群
10.6循環(huán)群與n次本原根
10.7單群
10.8群的同態(tài)映射與同構(gòu)映射
第十一章數(shù)與代數(shù)系
11.1自然數(shù)集N作為可換半群及其可數(shù)性
11.2整數(shù)集合Z與整環(huán)
11.3域與有理數(shù)域Q
11.4實(shí)數(shù)域R的不可數(shù)性
11.5復(fù)數(shù)域C與子域
第十二章域上的向量空間
12.1向量空間的定義
12.2向量空間的一些基礎(chǔ)理論
12.3數(shù)域作為向量空間
第十三章域上的多項(xiàng)式
13.1一些基本事項(xiàng)
13.2多項(xiàng)式的可約性與艾森斯坦定理
13.3關(guān)于三次方程根的一些定理
第四部分?jǐn)U域理論
第十四章有限擴(kuò)域
14.1擴(kuò)域作為向量空間
14.2維數(shù)公式
第十五章代數(shù)數(shù)與超越數(shù)
15.1代數(shù)元與代數(shù)數(shù)
15.2代數(shù)數(shù)集A是可數(shù)的
15.3超越數(shù)的存在
15.4代數(shù)擴(kuò)域
第十六章單代數(shù)擴(kuò)域
16.1最小多項(xiàng)式
16.2單代數(shù)擴(kuò)域
16.3單代數(shù)擴(kuò)域的性質(zhì)
16.4添加2個(gè)代數(shù)元的情況
16.5有限個(gè)代數(shù)元的添加與單擴(kuò)域
16.6代數(shù)數(shù)集A是域
16.7m型純擴(kuò)域與根式塔
第五部分尺規(guī)作圖問(wèn)題
第十七章尺規(guī)作圖概述
17.1尺規(guī)作圖的出發(fā)點(diǎn)、操作公理與作圖法則
17.2最大可作數(shù)域K
17.3Q的可作擴(kuò)域
第十八章尺規(guī)不可作問(wèn)題
18.1存在不可作數(shù)
18.2立方倍積、三等分任意角與化圓為方
第十九章正n邊形的尺規(guī)作圖
19.1把正n邊形的可作性歸結(jié)為一些簡(jiǎn)單的情況
19.2有關(guān)□邊形的兩個(gè)域列
19.3分圓多項(xiàng)式
19.4數(shù)□應(yīng)滿足的必要條件
19.5對(duì)具有p=2m+1形式的奇素?cái)?shù)的討論
19.6費(fèi)馬數(shù)
19.7作出正n邊形的“充要條件”
第六部分兩類重要的群與一類重要的擴(kuò)域
第二十章對(duì)稱群Sn
20.1循環(huán)與對(duì)換
20.2置換的奇偶性
20.3Sn中元素的對(duì)稱類與其對(duì)換乘積表示
20.4交代群An的性質(zhì)
20.5A5是單群
20.6可遷群
第二十一章可解群
21.1可解群的定義
21.2可解群的性質(zhì)
21.3n≥5時(shí)，Sn是不可解群
第二十二章正規(guī)擴(kuò)域
22.1多項(xiàng)式的基域與根域
22.2正規(guī)擴(kuò)域
22.3正規(guī)擴(kuò)域的性質(zhì)
第七部分伽羅瓦理論
第二十三章從域得到群
23.1域E的自同構(gòu)群
23.2E作為F擴(kuò)域時(shí)的一類特殊自同構(gòu)群
23.3正規(guī)擴(kuò)域時(shí)的伽羅瓦群
23.4伽羅瓦群的一些重要性質(zhì)
23.5域F上方程的伽羅瓦群
23.6域F上的一般的n次多項(xiàng)式方程
第二十四章伽羅瓦理論的基本定理
24.1伽羅瓦對(duì)應(yīng)
24.2伽羅瓦理論的基本定理
第八部分伽羅瓦理論的應(yīng)用
第二十五章多項(xiàng)式方程的根式可解問(wèn)題
25.1一些特殊的伽羅瓦群
25.2根式可解的數(shù)學(xué)含義
25.3根式擴(kuò)域與根式可解的精確數(shù)學(xué)定義
25.4循環(huán)擴(kuò)域與拉格朗日預(yù)解式
25.5多項(xiàng)式方程根式可解的必要條件
25.62x5—10x+5=0不可根式求解
25.7多項(xiàng)式方程根式可解的充分條件
25.8用伽羅瓦理論解三次方程
第二十六章三次實(shí)系數(shù)不可約方程有3個(gè)實(shí)根時(shí)的“不可簡(jiǎn)化情況”
26.1從判別式看根的情況
26.2不可簡(jiǎn)化情況
26.3根域的表達(dá)
26.4xp—a=0，a∈R型方程
26.5實(shí)根要通過(guò)復(fù)數(shù)得到
第二十七章正n邊形尺規(guī)作圖的充分條件
27.1正咒邊形尺規(guī)作圖必要條件的回顧與充分條件的提出
27.2p群的一個(gè)定理
27.3正n邊形尺規(guī)作圖的充分條件
27.4作正17邊形的高斯方法
27.5從伽羅瓦理論看正17邊形的尺規(guī)作圖
第二十八章對(duì)稱多項(xiàng)式的牛頓定理
28.1一個(gè)引理
28.2牛頓定理
附錄
附錄1關(guān)于兩個(gè)正整數(shù)最大公因數(shù)的一個(gè)關(guān)系式
附錄2多項(xiàng)式方程的重根問(wèn)題
附錄3計(jì)算三次方程的判別式D
參考文獻(xiàn)
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